Radius of Level curves < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | What is the radius of the level curves of [mm] f(x,y)=x^2-4x+y2+6y+9? [/mm] |
Die Ergebnisse sagen mir der Radius ist [mm] r=\wurzel{c+4} [/mm] Woher kommt das c und wie berechnet man den Radius allgemein bei solchen Funktionen?
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> What is the radius of the level curves of
> [mm]f(x,y)=x^2-4x+y2+6y+9?[/mm]
> Die Ergebnisse sagen mir der Radius ist [mm]r=\wurzel{c+4}[/mm]
> Woher kommt das c und wie berechnet man den Radius
> allgemein bei solchen Funktionen?
hier ist ja allgemein nach den höhenlinien gefragt. also setzt man
[mm] c=f(x,y)=x^2-4x+y^2+6y+9
[/mm]
da ja nun schon von radius die rede ist, kommt man auf die idee, auf eine kreisgleichung zu kommen.
allgemeine formel davon:
(x − [mm] x_m)^2 [/mm] + (y − [mm] y_M)^2 [/mm] = [mm] r^2
[/mm]
das bezeichnet einen kreis mit mittelpunkt [mm] (x_m;y_m) [/mm] und den radius r
so nun sieht man bei deinem [mm] c=x^2-4x+y^2+6y+9 [/mm] ja schnell, dass dort 2 binome versteckt sein könnten.. (jeweils [mm] x^2 [/mm] und ax und [mm] y^2 [/mm] und by sind vorhanden)
also quadratische ergänzung:
[mm] c=(x^2-4x+\red{4-4})+(y^2+6y+\red{9-9})+9 [/mm] das was nich zu nem binom gehört schmeissen wir aus den klammern
[mm] \gdw c=(x^2-4x+4)+(y^2+6y+9)-4-9+9
[/mm]
[mm] \gdw c=(x-2)^2+(y+3)^2-4
[/mm]
[mm] \gdw c+4=\sqrt{c+4}^2=(x-2)^2+(y+3)^2
[/mm]
der radius zum quadrat ist c+4, somit der radius [mm] \sqrt{c+4}
[/mm]
gruß tee
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:32 Do 07.01.2010 | | Autor: | toteitote |
vielen lieben dank!! unglaublich! ich habs geschnallt :)
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