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Forum "Differenzialrechnung" - Quadratische Funktion
Quadratische Funktion < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Quadratische Funktion: Scheitelpunkt (allgemein)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:35 Sa 05.12.2009
Autor: BarbaraS.

Aufgabe
Gegeben sei die quadratische Funktion : [mm] ax^2+bx+c. [/mm]
Bestimme den Scheitelpunkt durch Anwendung der Differentialrechnung

Ich habe die Aufgabe in keinem anderen Forum gestellt

Hallo,
habe die Aufgabe eigentlich schon gelöst, nur komme ich an einem Punkt nicht weiter.

Ich leite die Funktion ab und suche die Nullstelle der ersten Ableitung:
f'(x) = 2ax+b
[mm] \bruch{-b}{2a}= [/mm] x

Um den y-Wert zu errechnen, setze ich nun in f den x-wert ein, so dass:

f(x) = [mm] a*(\bruch{-b}{2a}){^2}+b*\bruch{-b}{2a}+c [/mm]

Ich kenne das Ergbnis: [mm] \bruch{4ac-b^2}{4a} [/mm] habe aber keinen Plan wie ich von der Ausgangsgleichung zu der Lösung komme..... .(

        
Bezug
Quadratische Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:44 Sa 05.12.2009
Autor: schachuzipus

Hallo Barbara,

> Gegeben sei die quadratische Funktion : [mm]ax^2+bx+c.[/mm]
>  Bestimme den Scheitelpunkt durch Anwendung der
> Differentialrechnung
>  
> Ich habe die Aufgabe in keinem anderen Forum gestellt
>  Hallo,
>  habe die Aufgabe eigentlich schon gelöst, nur komme ich
> an einem Punkt nicht weiter.
>  
> Ich leite die Funktion ab und suche die Nullstelle der
> ersten Ableitung:
>  f'(x) = 2ax+b
>  [mm]\bruch{-b}{2a}=[/mm] x [ok]
>  
> Um den y-Wert zu errechnen, setze ich nun in f den x-wert
> ein, so dass:
>  
> f(x) = [mm]a*(\bruch{-b}{2a}){^2}+b\bruch{-b}{2a}+c[/mm] [ok]

Alles ok, nur weiterrechnen:

Es ist [mm] $f\left(-\frac{b}{2a}\right)=a\cdot{}\left(-\frac{b}{2a}\right)^2+b\cdot{}\left(-\frac{b}{2a}\right)+c=a\cdot{}\frac{b^2}{4a^2}-b\cdot{}\frac{b}{2a}+c=\frac{b^2}{4a}-\frac{b^2}{2a}+c$ [/mm]

Das rechne nun mal weiter aus: gleichnamig machen ...


>  
> Ich kenne das Ergbnis: [mm]\bruch{4ac-b^2}{4a}[/mm] habe aber keinen
> Plan wie ich von der Ausgangsgleichung zu der Lösung
> komme..... .(


Nun aber ...

LG

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Quadratische Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:33 So 06.12.2009
Autor: BarbaraS.

Hallo,

vielen Dank für deine Hilfe, jetzt komme ich auch auf das Ergebnis (nach dieser Hilfe war es klar, vielen Dank!:

Frage zu 2 Schritten in der Rechnung:
Du schreibst, dass
Es ist $ [mm] f\left(-\frac{b}{2a}\right)=a\cdot{}\left(-\frac{b}{2a}\right)^2+b\cdot{}\left(-\frac{b}{2a}\right)+c$ [/mm]
[mm] [red]$=a\cdot{}\frac{b^2}{4a^2}-b\cdot{}\frac{b}{2a}+c$[/red] [/mm]
Auf einmal ist das Minus-Zeichen weg (im ersten Glied). Ist es so, weil man davon ausgehen kann, dass [mm] b^2 [/mm] immer positiv ist?



[mm] $=\frac{b^2}{4a}-\frac{b^2}{2a}+c [/mm] $
Hast du dann den folgenden Term benutz?
[mm] \bruch{(ab)^2}{4a^2}-\bruch{b^2}{2a} [/mm] +c, damit du dann das [mm] a^2 [/mm] kürzen kannst?

Danke, Gruß


Bezug
                        
Bezug
Quadratische Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:58 So 06.12.2009
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Hallo,
>  
> vielen Dank für deine Hilfe, jetzt komme ich auch auf das
> Ergebnis (nach dieser Hilfe war es klar, vielen Dank!:
>  
> Frage zu 2 Schritten in der Rechnung:
>  Du schreibst, dass
>  Es ist
> [mm]f\left(-\frac{b}{2a}\right)=a\cdot{}\left(-\frac{b}{2a}\right)^2+b\cdot{}\left(-\frac{b}{2a}\right)+c[/mm]
>  [mm]=a\cdot{}\frac{b^2}{4a^2}-b\cdot{}\frac{b}{2a}+c[/mm]
>  Auf einmal ist das Minus-Zeichen weg (im ersten Glied).
> Ist es so, weil man davon ausgehen kann, dass [mm]b^2[/mm] immer
> positiv ist?

Du kannst ja [mm] $\left(-\frac{b}{2a}\right)^2$ [/mm] schreiben als [mm] $\left((-1)\cdot{}\frac{b}{2a}\right)^2$ [/mm]

Nun Potenzgesetz [mm] $(a\cdot{}b)^m=a^m\cdot{}b^m$ (\star) [/mm]

[mm] $=(-1)^2\cdot{}\left(\frac{b}{2a}\right)^2=1\cdot{}\frac{b^2}{(2a)^2}$ [/mm] nach Potenzgesetz [mm] $\frac{a^m}{b^m}=\left(\frac{a}{b}\right)^m$ [/mm]

[mm] $=\frac{b^2}{4a^2}$ [/mm] wieder nach [mm] (\star) [/mm]

>  
>
>
> [mm]=\frac{b^2}{4a}-\frac{b^2}{2a}+c[/mm]
>  Hast du dann den folgenden Term benutz?
> [mm]\bruch{(ab)^2}{4a^2}-\bruch{b^2}{2a}[/mm] +c, damit du dann das
> [mm]a^2[/mm] kürzen kannst?

Nein, wie man den Klammerterm im ersten Summanden quadriert, steht hierüber.

Das Ganze wird noch mit dem davorstehenden a multipliziert, das kürzt sich also einmal gegen ein a im Nenner weg.

Damit bleibt als Hauptnenner 4a, die anderen Brüche sind entsprechend gleichnamig gemacht, rechne in Ruhe mal nach ... (du kannst c auffassen als [mm] $\frac{c}{1}$ [/mm] ...)

>
> Danke, Gruß
>  
>  

LG

schachuzipus


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