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Forum "Topologie und Geometrie" - Produkttopologie
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Produkttopologie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:50 Sa 09.07.2011
Autor: Braten

Hallo,

Ich habe eine Frage bezüglich der Produkttopologie auf dem kartesischen Produkt von top. Räumen [mm] X_1 \times [/mm] ... [mm] \times X_n [/mm]

1)
Gilt in endl. kartesischen Produkten stets diese Aussage:
U [mm] \subset X_1 \times [/mm] ... [mm] \times X_n [/mm] offen <=> U= [mm] U_1 \times [/mm] ... [mm] \times U_n [/mm] mit [mm] U_i [/mm] offen in [mm] X_i [/mm] ?

2)
Ich glaube in unendlichen Produkten gilt das nicht. Warum nicht?

Liebe Grüße

        
Bezug
Produkttopologie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:11 Sa 09.07.2011
Autor: felixf

Moin!

> Ich habe eine Frage bezüglich der Produkttopologie auf dem
> kartesischen Produkt von top. Räumen [mm]X_1 \times[/mm] ... [mm]\times X_n[/mm]
>  
> 1)
>  Gilt in endl. kartesischen Produkten stets diese Aussage:
>  U [mm]\subset X_1 \times[/mm] ... [mm]\times X_n[/mm] offen <=> U= [mm]U_1 \times[/mm]

> ... [mm]\times U_n[/mm] mit [mm]U_i[/mm] offen in [mm]X_i[/mm] ?

Das ist Falsch, es gilt nur die Implikation [mm] "$\Leftarrow$". [/mm]

Betrachte z.B. eine [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] der Diagonalen [mm] $\{ (x, x) \mid x \in \IR \}$ [/mm] in [mm] $\IR^2$. [/mm] Diese ist offen, kann jedoch nicht als direktes Produkt $A [mm] \times [/mm] B$ mit $A, B [mm] \subseteq \IR$ [/mm] geschrieben werden.

> 2)
>  Ich glaube in unendlichen Produkten gilt das nicht. Warum
> nicht?

Weil es in endlichen Produkten bereits nicht gilt.

LG Felix


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