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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:15 So 31.07.2005 | | Autor: | Styx |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
In einem etwas älteren Formelbuch habe ich folgende interessante Gleichung gefunden:
{(p-1/2) - 2n(n+1)} / {2n+1} = a,
wobei n und a so eine Art Koordinaten
bzw. Indizies in einer Matrix darstellen.
p hingegen ist eine Zahl, deren Position in der Matrix durch n und a definiert wird.
Stellt man die Gleichung nach p um, erhält man:
p = 2a(2n+1) + 4n(n+1) + 1
Jetzt meine Frage:
Kann man über diese Gleichung etwas über die Verteilung der Primzahlen herausfinden?
Ist n nämlich größer als 0 und a eine natürliche Zahl, kann p keine Primzahl sein, da man die obige Gleichung auch wie folgt schreiben kann:
a = {p - (2n+1)²} / {4n+2}
Der Nenner muß sozusagen ein a-faches des Zählers sein.
Aber da der Nenner mit zunehmendem n größer wird, der Zähler sich aber
verkleinert, nähert sich a dem Wert 1.
Unterschreitet a den Wert 1, ohne dass a vorher mit fortlaufendem n einen ganzzahligen Wert erreicht hat, ist p eine Primzahl.
Meine Frage ist also: Wäre es möglich, auf diese Weise etwas über die Verteilung der Primzahlen herauszufinden?
Hier noch zwei Beispiele:
211 ist eine Primzahl, man rechne nach der Formel
a = [mm] {p-(2n+1)^2} [/mm] / {2( 2n+1)}:
2a+1 = 211
a = 105/1
6a+9 = 211
a = 101/3
10a+25 = 211
a = 93/5
14a+49 = 211
a = 81/7
18a+81 = 211
a = 65/9
22a+121 = 211
a = 45/11
26a+169 = 211
a = 21/13
30a+225 = 211
a = -225/3 = -75 , keine natürliche Zahl, also ist 211 eine Primzahl
Für 91 gilt:
2a+1 = 91
a = 45/1
6a+9 = 91
a = 41/3
10a+25 = 91
a = 33/5
14a+49 = 91
a = 21/7 = 3 , natürliche Zahl, also ist 91 keine Primzahl
Vielen Dank im Voraus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:08 Di 02.08.2005 | | Autor: | matrinx |
Hallo!
Kannst Du die Matrix aus dem Formelbuch mal angeben, damit man sich ein besseres Bild von der "Situation" machen kann?
Grüsse
Martin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:18 Do 04.08.2005 | | Autor: | Styx |
Hi, Martin,
danke für Deine Antwort.
Also, ,,Matrix'' ist vielleicht nicht der richtige Ausdruck, da diese Formel unendlich ist. Hier ist der Anfangsteil:
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
9 15 21 27 33 39 45 51 57 63 69 75 81
25 35 45 55 65 75 85 95 105 115 125 135 145
49 63 77 91 105 119 133 147 161 175 189 203 217
Es geht waagerecht und senkrecht nach demselben Schema weiter
Die erste Spalte stellt die die Quadratzahlen (2a+1)² dar.
Die erste Reihe alle ungeraden Zahlen 2a+1.
Die zweite Reihe die Zahlen 6a+9, die dritte die Zahlen 10a+25, die vierte 14a+49 usw.
Das Schema lautet also, das Doppelte jeder ungeraden Zahl b mit a multipliziert und das Ganze mit dem Quadrat dieser Zahl aufaddiert:
2ab + b² = p
b wiederum kann man schreiben als 2n+1, was bedeutet:
p = 2 ( 2n+1 ) a + ( 2n+1 )²
p = 4an + 2a + 4n² + 4n + 1
a kann man auch folgendermaßen definieren:
a = {p - b²} / 2b
oder auch:
a = {p-(2n+1)²} / {2(2n+1)}
Wie im Ausgangthread schon angedeutet, kann man a aber auch so definieren:
a = {(p-1)/2 - 2n(n+1)} / {2n+1}
Setzt man beide Gleichungen gleich und stellt nach p um, ergibt sich eine Division durch Null.
{p-(2n+1)²} / {2(2n+1)} = {(p-1)/2 - 2n(n+1)} / {2n+1}
So kann man also keine allgemeine Lösung für alle Nichtprimzahlen finden.
Bleibt einzig und allein die Frage:
Gibt es eine feste Regel für die Teilbarkeit von (p-1)/2 - 2n(n+1) durch 2n+1?
Anders ausgedrückt:
Kann man sagen, dass sich in der Gleichung {(p-1)/2 - 2n(n+1)} / {2n+1} = a für eine ganz bestimmte p und ein beliebiges n eine natürliche Zahl a ergibt?
Wenn man diese Frage beantworten könnte, wäre es möglich, festzustellen, ob Primzahlen chaotisch sind.
Gibt es keine n für eine bestimmte Zahl p, die in dieser Gleichung eine natürliche Zahl a ergeben, ist p eine Primzahl.
Gibt es doch eine n, welches für a als natürliche Zahl definiert, ist p keine Primzahl und würde ab der 2. Reihe in der ,,Matrix'' zu finden sein, und zwar in der waagerechten a-ten Position.
( Die erste Reihe stellt alle ungeraden Zahlen dar, sodas sich zwangsläufig auch Primzahlen dort aufhalten. Primzahlen findet man aber nur in der ersten Reihe)
Allerdings muß man bei Null anfangen zu zählen.
Ich weiß es klingt ein bißchen abgehoben, aber es funktioniert.
P.S.:
Die ,,Matrix'' ist in der Endfassung ein bißchen verzerrt, ich hoffe, das stellt kein Problem dar.
Danke, nochmal
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Hallo Styx,
wenn ich Dich richtig verstanden habe, willst Du testen, ob eine Zahl p prim ist, indem Du für alle ungeraden natürlichen Zahlen m [mm] \le \wurzel{p} [/mm] die Zahlen
[mm] a_{m} [/mm] = (p - m²)/(2m)
berechnest und prüfst, ob keine der [mm] a_{m} [/mm] eine natürliche Zahl ist. In diesem Fall soll p eine Primzahl sein. (Bei Dir ist m = 2n+1 und die Bedingung, dass [mm] a_{m} [/mm] positv sein muss, wird durch m² [mm] \le [/mm] p erreicht.)
Dazu zwei Mitteilungen:
- Im Wesentlichen stimmt Deine Vermutung (p muss allerdings ungerade sein, für gerade p sind die [mm] a_{m} [/mm] auch alle echte Brüche).
- Leider bringt Dir diese Gleichung nichts, da Du direkt prüfen kannst, ob p/m bei unngeraden m ein echter Bruch ist oder nicht:
Du hast dann bei weniger Fließkommaoperationen genausoviele Rechenschritte zu absolvieren, nämlich [mm] int(\wurzel{p}/2).
[/mm]
Zum Beweis:
Ist p Primzahl, dann ist [mm] a_{m} [/mm] wegen 2 [mm] a_{m} [/mm] + m = p/m für alle m ein echter Bruch (Gleichung umformen).
Hat das ungerade p einen echten Teiler, dann sind es mindestens 2, mit
p = [mm] m_{1} m_{2} [/mm] , beide ungerade und einer davon [mm] \le \wurzel{p} [/mm] (andernfalls wären beide größer und ihr Produkt größer als p).
Sei also [mm] m_{1} [/mm] dieser Teiler, dann ist
2 [mm] a_{m} [/mm] = [mm] p/m_{1} [/mm] - [mm] m_{1} [/mm] = [mm] m_{2} [/mm] - [mm] m_{1}
[/mm]
eine gerade natürliche Zahl [mm] (m_{2} [/mm] und [mm] m_{1} [/mm] sind beide ungerade) und [mm] a_{m} [/mm] eine natürliche Zahl.
Im Endeffekt berechnest Du bei Deinem Verfahren auch alle Quotienten p/m, wie man es bei simplen Algorithmen macht. Man muss für ungerade p dabei nur ungerade m und nur bis zu Größe [mm] \wurzel{p} [/mm] berücksichtigen.
Grüße, Richard
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 Sa 06.08.2005 | | Autor: | Styx |
Hey Richard,
Danke für deine schnelle Antwort.
Wenn ich dich richtig verstanden habe, braucht man eigentlich nur p/m statt (p-m²)/2m zu rechnen, wenn m kleiner als die Wurzel von p und ungerade ist.
m kann auch als 2n+1 dargestellt werden
Trotzdem ist da noch etwas:
Für {p-(2n+1)²} / {2(2n+1)} und {(p-1)/2 - 2n(n+1)} / {2n+1} erhalte ich dieselben Werte, d.h. es gilt nach meiner Rechnung:
{p-(2n+1)²} / {2(2n+1)} = {(p-1)/2 - 2n(n+1)} / {2n+1}
Hab versucht, es nach p umzustellen, ist mir aber nicht gelungen *schäm*
Kriege immer eine Division durch Null raus, sprich es scheint für keine p definiert zu sein.
Meine Frage deshalb:
Ist {p-(2n+1)²} / {2(2n+1)} dasselbe wie {(p-1)/2 - 2n(n+1)} / {2n+1}?
Wenn ja, muß ich irgendwie einen Fehler gemacht haben.
Grüsse
Jan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:09 Sa 06.08.2005 | | Autor: | Benedikt17 |
habe mich jetzt nicht so ganz in die thematik eingearbeitet, aber die beiden formeln
[mm] {p-(2n+1)^2}/{2*(2n+1)}
[/mm]
und
{(p-1)/2 - 2n(n+1)}/(2n+1)
sind nur gleich, wenn
n=0 oder n=-1/2 ist
hoffe es hilft euch weiter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:47 Sa 06.08.2005 | | Autor: | Styx |
Hi Benedikt,
Formal hast du recht.
Allerdings gilt es nur für n=0, denn für n=-0.5 würden beide Nenner 0 ergeben, was etwas problematisch werden könnte.
n=0 würde die oberste Zahlenreihe ergeben, die 2a+1- Reihe
n=1 die 6a+9 - Reihe,
n=2 die 10a+25 - Reihe usw.
Aber {(p-1)/2-2n(n+1)} / {2n+1} = {p-(2n+1)²} / {2(2n+1)} ist unter bestimmten Vorraussetzungen, nämlich bei bestimmten p auch für andere Werte als n=0 definiert:
z.B.
p = 77 und n = 7, ergibt 2=2 oder einfach a = 2
oder p = 91 und n = 7, ergibt 3=3 oder eben a = 3
Diese p dürfen bei n>0 aber keine Primzahlen sein, wenn a eine natürliche Zahl sein soll.
n und a stellen die Koordinaten in der Tabelle oder ,,Matrix'', wie ich es zugegeben etwas hochtrabend genannt habe, dar.
Offenbar gibt es keine Möglichkeit, p in Abhängigkeit von nur EINER Komponente, n oder a, darzustellen, sonst würde bei der Formel
{(p-1)/2-2n(n+1)} / {2n+1} = {p-(2n+1)²} / {2(2n+1)} bei der Isolierung
von p keine Division durch Null herauskommen.
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Betrachte den Zähler Deines Bruches:
p - (2n+1)² = p - (4n² + 4n + 1) = (p-1) - (4n² + 4n) = (p-1) - 4n(n+1)
Jetzt teilst Du das durch 2 (dann verschwindet die 2 aus dem Nenner Deines Bruchs) und Du siehst, dass die Terme äquivalent sind:
(p - (2n+1)²)/(2(2n+1)) = ((p-1)/2 - 2n(n+1))/(2n+1)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:34 Di 09.08.2005 | | Autor: | Styx |
Hat mir sehr geholfen, wirklich.
Grüße Jan
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