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Positive Fouriertransformierte: Fragen
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 01:50 Do 11.12.2014
Autor: HugATree

Guten Abend zusammen,

ich habe zwei Fragen zur Fouriertransformation, bzw. zur Fourierreihe und zwar:

Wir haben letztens in einer Übung bewiesen, dass die Funktionen, deren Fourierkoeffizienten der Fourierreihe  bzgl. der Summennorm endlich sind auch stetig sind (d.h. [mm] $\{f\in L^1(\mathbb{Z}\backslash 2\pi\mathbb{Z})\,|\,\hat f\in\ell^1(\mathbb{Z})\}\subset C(\mathbb{Z}\backslash 2\pi\mathbb{Z})$) [/mm]
Gibt es denn nun auch eine stetige Funktion, deren Reihe der Fourierkoeffizienten nicht konvergiert? Ich habe einiges ausprobiert, jedoch nichts gefunden.

und zweitens:

Gibt es eine eine positive Integrierbare Funktion mit kompakten Träger, deren Fouriertransformierte auch positiv ist?
Auch hier habe ich schon einiges probiert, mit der char. Fkt und ähnlichem, habe jedoch kein Beispiel dafür gefunden.

Vielen Dank

Liebe Grüße
HugATree

        
Bezug
Positive Fouriertransformierte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:42 Do 11.12.2014
Autor: hanspeter.schmid

Hallo HugATree,

Bei der ersten Frage, meinst Du da mit "konveriert" dass der Betrag der Koeffizienten für wachsende Frequenzen gegen null konvertiert?

> Gibt es eine eine positive Integrierbare Funktion mit
> kompakten Träger, deren Fouriertransformierte auch positiv
> ist?

Ich bin nicht sicher, kann es mir aber nicht vorstellen. Ein Kompakter Träger einer Funktion entspricht einer Multiplikation mit der rect(.)-Funktion, was wiederum einer Faltung mit der sinc(.)-Funktion im Bildbereich entspricht. Ich kann mir grad nichts ausdenken, mit dem ich eine sinc(.)-Funktion falten kann, ohne dass die Werte irgendwo negativ werden.

Gruss,
Hanspeter

Bezug
                
Bezug
Positive Fouriertransformierte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:35 Do 11.12.2014
Autor: HugATree

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo Hanspeter und vielen Dank für deine Antwort

> Hallo HugATree,
>  
> Bei der ersten Frage, meinst Du da mit "konveriert" dass
> der Betrag der Koeffizienten für wachsende Frequenzen
> gegen null konvertiert?

Wahrscheinlich habe ich die Frage etwas unübersichtlich gestellt. Ich meinte:
Existiert eine Funktion $f\in C(\mathbb{T})$ mit $\sum\limits_{k\in\mathbb{Z}}|\hat f(k)|=\infty$, wobei $\mathbb{T}:=\mathbb{Z}\backslash{2\pi\mathbb{Z}$.
Alle Funktionen die ich ausprobiert habe hatten Fourierkoeffizienten mit einer Propotionalität zu $\frac{1}{k^2}$, die Betragsfunktion z.B.

>  
> > Gibt es eine eine positive Integrierbare Funktion mit
> > kompakten Träger, deren Fouriertransformierte auch positiv
> > ist?
>  
> Ich bin nicht sicher, kann es mir aber nicht vorstellen.
> Ein Kompakter Träger einer Funktion entspricht einer
> Multiplikation mit der rect(.)-Funktion, was wiederum einer
> Faltung mit der sinc(.)-Funktion im Bildbereich entspricht.
> Ich kann mir grad nichts ausdenken, mit dem ich eine
> sinc(.)-Funktion falten kann, ohne dass die Werte irgendwo
> negativ werden.
>  

Hier habe ich glaube ich inzwischen etwas gefunden:
Betrachte
$$f(x):=\begin{cases}\frac{\sin(x)}{x},&|x|\leq1\\0,&\text{sonst}\end{cases}$$
Dann erhalte ich für die Transformierte:
$$\hat f(\xi)=2\frac{\sin^2(x)}{x^2}$$
Passt das?

Vielen Dank

Liebe Grüße
HugATree

> Gruss,
>  Hanspeter


Bezug
                        
Bezug
Positive Fouriertransformierte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:31 Do 11.12.2014
Autor: hanspeter.schmid

Hallo HugATree,

>  Existiert eine Funktion [mm]f\in C(\mathbb{T})[/mm] mit
> [mm]\sum\limits_{k\in\mathbb{Z}}|\hat f(k)|=\infty[/mm], wobei
> [mm]\mathbb{T}:=\mathbb{Z}\backslash{2\pi\mathbb{Z}[/mm].
>  Alle Funktionen die ich ausprobiert habe hatten
> Fourierkoeffizienten mit einer Propotionalität zu
> [mm]\frac{1}{k^2}[/mm], die Betragsfunktion z.B.

Das weiss ich nun nicht.

>  >  
> > > Gibt es eine eine positive Integrierbare Funktion mit
> > > kompakten Träger, deren Fouriertransformierte auch positiv
> > > ist?
>  >  
> > Ich bin nicht sicher, kann es mir aber nicht vorstellen.
> > Ein Kompakter Träger einer Funktion entspricht einer
> > Multiplikation mit der rect(.)-Funktion, was wiederum einer
> > Faltung mit der sinc(.)-Funktion im Bildbereich entspricht.
> > Ich kann mir grad nichts ausdenken, mit dem ich eine
> > sinc(.)-Funktion falten kann, ohne dass die Werte irgendwo
> > negativ werden.
>  >  
>
> Hier habe ich glaube ich inzwischen etwas gefunden:
>  Betrachte
> [mm]f(x):=\begin{cases}\frac{\sin(x)}{x},&|x|\leq1\\0,&\text{sonst}\end{cases}[/mm]
>  Dann erhalte ich für die Transformierte:
>  [mm]\hat f(\xi)=2\frac{\sin^2(x)}{x^2}[/mm]
>  Passt das?

Das ist sicher nicht richtig. Dein [mm] $\hat f(\xi)$ [/mm] ist die Fouriertransformierte der Dreiecksfuntion (Faltung von zwei Rechtecken).

Gruss,
Hanspeter


Bezug
                                
Bezug
Positive Fouriertransformierte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:06 Do 11.12.2014
Autor: HugATree

Hallo Hanspeter, danke nochmal für deine Antwort.

> > Hier habe ich glaube ich inzwischen etwas gefunden:
>  >  Betrachte
> >
> [mm]f(x):=\begin{cases}\frac{\sin(x)}{x},&|x|\leq1\\0,&\text{sonst}\end{cases}[/mm]
>  >  Dann erhalte ich für die Transformierte:
>  >  [mm]\hat f(\xi)=2\frac{\sin^2(x)}{x^2}[/mm]
>  >  Passt das?
>  
> Das ist sicher nicht richtig. Dein [mm]\hat f(\xi)[/mm] ist die
> Fouriertransformierte der Dreiecksfuntion (Faltung von zwei
> Rechtecken).

Oh, ja, da ist ordentlich was schief gelaufen... keine Ahnung was :D

Ich habe mir nochmal was überlegt:

Betrachte ich die Funktion:
[mm] $$f:=\chi_{[-1,1]}\star\chi_{[-1,1]}$$ [/mm]
Diese sind da ja iwie so aus:
[mm] $$f(x)=\begin{cases}{0,&|x|\geq2\\2+x,&x\in[-2,0]\\2-x,&x\in[0,2]}\end{cases}$$ [/mm]
also insbesondere [mm] $f\in L^1(\mathbb{R})$, $f\geq [/mm] 0$ und [mm] $\mathrm{supp}(f)\Subset \mathbb{R}$. [/mm]

Und mit der Faltungsformel ergibt sich dann:
[mm] $$\mathcal{F}(f)(\xi)=\mathcal{F}(\chi_{[-1,1]}\star\chi_{[-1,1]})(\xi)=\sqrt{2\pi}\mathcal{F}(\chi_{[-1,1]})(\xi)\mathcal{F}(\chi_{[-1,1]})(\xi)=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}^3}\mathrm{sinc}(\xi)^2\geq [/mm] 0$$

Passt das diesmal?

>  
> Gruss,
>  Hanspeter
>  

Liebe Grüße

HugATree

Bezug
                                        
Bezug
Positive Fouriertransformierte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:20 Do 11.12.2014
Autor: hanspeter.schmid

Das stimmt, gratuliere! Du hast ein Beispiel gefunden!


Bezug
                                        
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Positive Fouriertransformierte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:02 Fr 12.12.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo Hanspeter, danke nochmal für deine Antwort.
>  
> > > Hier habe ich glaube ich inzwischen etwas gefunden:
>  >  >  Betrachte
> > >
> >
> [mm]f(x):=\begin{cases}\frac{\sin(x)}{x},&|x|\leq1\\0,&\text{sonst}\end{cases}[/mm]
>  >  >  Dann erhalte ich für die Transformierte:
>  >  >  [mm]\hat f(\xi)=2\frac{\sin^2(x)}{x^2}[/mm]
>  >  >  Passt
> das?
>  >  
> > Das ist sicher nicht richtig. Dein [mm]\hat f(\xi)[/mm] ist die
> > Fouriertransformierte der Dreiecksfuntion (Faltung von zwei
> > Rechtecken).
>  
> Oh, ja, da ist ordentlich was schief gelaufen... keine
> Ahnung was :D
>  
> Ich habe mir nochmal was überlegt:
>  
> Betrachte ich die Funktion:
>  [mm]f:=\chi_{[-1,1]}\star\chi_{[-1,1]}[/mm]
>  Diese sind da ja iwie so aus:
>  
> [mm]f(x)=\begin{cases}{0,&|x|\geq2\\2+x,&x\in[-2,0]\\2-x,&x\in[0,2]}\end{cases}[/mm]
>  also insbesondere [mm]f\in L^1(\mathbb{R})[/mm], [mm]f\geq 0[/mm] und
> [mm]\mathrm{supp}(f)\Subset \mathbb{R}[/mm].
>  
> Und mit der Faltungsformel ergibt sich dann:
>  
> [mm]\mathcal{F}(f)(\xi)=\mathcal{F}(\chi_{[-1,1]}\star\chi_{[-1,1]})(\xi)=\sqrt{2\pi}\mathcal{F}(\chi_{[-1,1]})(\xi)\mathcal{F}(\chi_{[-1,1]})(\xi)=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}^3}\mathrm{sinc}(\xi)^2\geq 0[/mm]
>  
> Passt das diesmal?

nur zur Info:

    []http://me-lrt.de/u-05-3-fourier-spektrum-und-faltung-eines-rechteck-pulses

Was mich allerdings wundert: Wenn man sich in Matlab mal die fft eines
Dreieck-Pulses ausrechnen läßt, sieht das irgendwie so aus, als wenn es
auch negative Werte hätte...?
Das ist doch eigentlich merkwürdig - woraus erklärt sich das? Numerischer
Effekt?
Oder weil wir dann eigentlich "Dreieck-Puls mal Beobachtungsfenster"
berechnen (also Dreieck-Puls mal Rechteck), denn die FT des
Beobachtungsfenster ist ja wieder sowas wie eine skalierte Sinc-Funktion?
Müsste man vielleicht das Beobachtungsfenster "großziehen"?

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                                
Bezug
Positive Fouriertransformierte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:02 Fr 12.12.2014
Autor: hanspeter.schmid

Ich glaube Du hast einfach das Dreieck nicht ganz richtig gemacht. Die FFT ist ja trotz ihres Nahmens nicht die FourierTRANSFORMATION, sondern die FourierREIHE. Der Datenvektor ist also eine Periode.

Wenn Dein Datenvektor die Form

[3,2,1,0,1,2]

hat, dann ist die periodische Fortsetzung eine Dreiecksfolge, und Du kriegst tatsächlich keine negativen Werte. Wenn er aber die Form

[3,2,1,0,1,2,3]

hat, wird die 3 doppelt vorkommen, und Du kriegst dann auch negative Werte.

Hab grad Matlab nicht zur Hand, deshalb in Python:

1: import numpy as np
2: import matplotlib.pyplot as plt
3: import scipy.fftpack
4: N=100
5: x=np.arange(0,N,1)
6: y=np.concatenate([np.arange(N/2,-1,-1), np.arange(1,N/2,1)])
7: yf = scipy.fftpack.fft(y)
8: xf = np.linspace(0.0, 1.0, N/2)
9: fig, ax = plt.subplots()
10: ax.plot(xf, 2.0/N * np.real(yf[0:N/2]))
11: [np.min(np.real(yf)), np.max(np.real(yf))]
12: [np.min(np.imag(yf)), np.max(np.imag(yf))]


Min/max des Realteils: [-6.0493277054263217e-14, 2500.0]

Min/max des Imaginärteils: [-9.1566371653915189e-14, 9.1566371653915189e-14]


Bezug
                                                        
Bezug
Positive Fouriertransformierte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:17 Fr 12.12.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Ich glaube Du hast einfach das Dreieck nicht ganz richtig

> gemacht. Die FFT ist ja trotz ihres Nahmens nicht die
> FourierTRANSFORMATION, sondern die FourierREIHE.

das stimmt so eigentlich nicht ganz. Die FFT approximiert sowas wie
[mm] $\int_{-A}^A [/mm] f(t) [mm] \exp(-i [/mm] x t)dt$
an gewissen Stellen, das habe ich mir erst kürzlich aufgeschrieben und
nachgerechnet, man kann es sich auch wunderbar veranschaulichen,
indem man sich ein Rechteckfenster anguckt und mittels Zero-Paddung die
immer feiner werdende FFT-Berechnung anguckt:
Das habe ich nämlich erst kürzlich gemacht und mit der FT verglichen, die
laut Theorie zu erwarten ist!

Soll ich Dir mal den Code-Teil zur Verfügung stellen?
Das das so auch passt, liegt auch dran, wie man die FT herleiten kann. Das
findet man etwa hier:

    []http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?rd2&topic=202217&start=0#p1481072

> Der Datenvektor ist also eine Periode.

>

> Wenn Dein Datenvektor die Form
>  
> [3,2,1,0,1,2]
>  
> hat, dann ist die periodische Fortsetzung eine
> Dreiecksfolge, und Du kriegst tatsächlich keine negativen
> Werte. Wenn er aber die Form
>  
> [3,2,1,0,1,2,3]
>  
> hat, wird die 3 doppelt vorkommen, und Du kriegst dann auch
> negative Werte.

Sowas macht aber dennoch Sinn (das liegt an der Berechnungsform, wie
die FFT-Werte berechnet werden), da muss ich nochmal genau drauf achten.
  

> Hab grad Matlab nicht zur Hand, deshalb in Python:

Kannst Du mir kurz sagen, wo ich mir das downloaden kann und ob Du
dazu eine gute Dokumentation kennst (für den Anfang)?

>
1: import numpy as np
2: >  import matplotlib.pyplot as plt
3: >  import scipy.fftpack
4: >  N=100
5: >  x=np.arange(0,N,1)
6: >  y=np.concatenate([np.arange(N/2,-1,-1), 
7: > np.arange(1,N/2,1)])
8: >  yf = scipy.fftpack.fft(y)
9: >  xf = np.linspace(0.0, 1.0, N/2)
10: >  fig, ax = plt.subplots()
11: >  ax.plot(xf, 2.0/N * np.real(yf[0:N/2]))
12: >  [np.min(np.real(yf)), np.max(np.real(yf))]
13: >  [np.min(np.imag(yf)), np.max(np.imag(yf))]


>  
> Min/max des Realteils: [-6.0493277054263217e-14, 2500.0]
>  
> Min/max des Imaginärteils: [-9.1566371653915189e-14,
> 9.1566371653915189e-14]

Ich schau' mal, ob ich das in Matlab analog umgesetzt bekomme. Ansonsten:
Ich benutze hier (zuhause) eigentlich eh überwiegend Octave. Das ist auch
kostenfrei, ansonsten gäbe es noch Scilab als Alternative.

Danke für den Hinweis.

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                                                
Bezug
Positive Fouriertransformierte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:59 Fr 12.12.2014
Autor: hanspeter.schmid


> Hallo,
>  
> > Ich glaube Du hast einfach das Dreieck nicht ganz richtig
> > gemacht. Die FFT ist ja trotz ihres Nahmens nicht die
> > FourierTRANSFORMATION, sondern die FourierREIHE.
>
> das stimmt so eigentlich nicht ganz. Die FFT approximiert
> sowas wie
>  [mm]\int_{-A}^A f(t) \exp(-i x t)dt[/mm]
> an gewissen Stellen, das habe ich mir erst kürzlich
> aufgeschrieben und
> nachgerechnet, man kann es sich auch wunderbar
> veranschaulichen,
> indem man sich ein Rechteckfenster anguckt und mittels
> Zero-Paddung die
>  immer feiner werdende FFT-Berechnung anguckt:
>  Das habe ich nämlich erst kürzlich gemacht und mit der
> FT verglichen, die
> laut Theorie zu erwarten ist!

So kann man es sicher sehen, aber die Herleitung als
Sonderfall der Fourierreihe für periodische Spektren ist aus
meiner Sicht naheliegender, weil es keine Approximation ist.

>    
> > Hab grad Matlab nicht zur Hand, deshalb in Python:
>  
> Kannst Du mir kurz sagen, wo ich mir das downloaden kann
> und ob Du dazu eine gute Dokumentation kennst (für den Anfang)?

Ich empfehle die Benutzung von Anaconda:

[]http://continuum.io/downloads

Dann startest Du Spyder (ist Teil von Anaconda), der sieht ähnlich aus wie ein Matlab-Fenster.

Schliesslich lies: []http://wiki.scipy.org/NumPy_for_Matlab_Users

Gruss,
Hanspeter


Bezug
                                                                        
Bezug
Positive Fouriertransformierte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:04 Fr 12.12.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> > Hallo,
>  >  
> > > Ich glaube Du hast einfach das Dreieck nicht ganz richtig
> > > gemacht. Die FFT ist ja trotz ihres Nahmens nicht die
> > > FourierTRANSFORMATION, sondern die FourierREIHE.
> >
> > das stimmt so eigentlich nicht ganz. Die FFT approximiert
> > sowas wie
>  >  [mm]\int_{-A}^A f(t) \exp(-i x t)dt[/mm]
> > an gewissen Stellen, das habe ich mir erst kürzlich
> > aufgeschrieben und
> > nachgerechnet, man kann es sich auch wunderbar
> > veranschaulichen,
> > indem man sich ein Rechteckfenster anguckt und mittels
> > Zero-Paddung die
>  >  immer feiner werdende FFT-Berechnung anguckt:
>  >  Das habe ich nämlich erst kürzlich gemacht und mit
> der
> > FT verglichen, die
> > laut Theorie zu erwarten ist!
>  
> So kann man es sicher sehen, aber die Herleitung als
>  Sonderfall der Fourierreihe für periodische Spektren ist
> aus
>  meiner Sicht naheliegender, weil es keine Approximation
> ist.

numerisch irgendwie schon, denn wir rechnen ja keine Integrale ganz
exakt aus. Aber ich weiß, was Du meinst: Es ist keine Approximation
an eine Approximation. ;-)
  

> >    

> > > Hab grad Matlab nicht zur Hand, deshalb in Python:
>  >  
> > Kannst Du mir kurz sagen, wo ich mir das downloaden kann
> > und ob Du dazu eine gute Dokumentation kennst (für den
> Anfang)?
>  
> Ich empfehle die Benutzung von Anaconda:
>  
> []http://continuum.io/downloads

Danke, das schau' ich mir mal an.

> Dann startest Du Spyder (ist Teil von Anaconda), der sieht
> ähnlich aus wie ein Matlab-Fenster.
>  
> Schliesslich lies:
> []http://wiki.scipy.org/NumPy_for_Matlab_Users

Das ist dann der nächste Schritt. Momentan arbeite ich in 4 bis 5
Programmen immer wieder parallel (Matlab, Octave, Scilab, R und manchmal
auch C(++)), aber ich höre immer wieder: Eigentlich ist es am Besten, wenn
man sich in Python einarbeitet (und manchmal kann man dann auch noch
R gebrauchen).

Danke erstmal. :-)

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                                        
Bezug
Positive Fouriertransformierte: Code für Dreieckpuls
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:53 Fr 12.12.2014
Autor: Marcel

Hallo,

ich schreibe mal kurz die Code-Zeilen, ich denke, irgendwas übersehe ich da:

1: x=[-2:0.01:2-0.01];
2: N=length(x);
3: y=y=(2+x).*and(-2 <= x & x <= 0)+(2-x).*and(0 < x & x <= 2); % funktioniert so in Octave, in Matlab die and entfernen
4: Y=fft(y)/N;
5: plot(real(Y));
6: min(real(Y));


Ich bekomme dann -1.6212 als Minimum raus. Also irgendwo mache ich
wohl was falsch? (Der x-Vektor sollte jetzt aber passen!)

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                                                
Bezug
Positive Fouriertransformierte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:14 Fr 12.12.2014
Autor: hanspeter.schmid

Tja, Dein Dreieck hat den Tiefpunkt beim ersten Element des Vektors statt die Spitze. Das gibt Dir im Vergleich zu mir 180 Grad Phasenverschiebung und damit alternierende Vorzeichen. Das ist schon alles.

Ich kriege: 4.00000000e+01,   1.62447639e+01,  ....

Du kriegst: 4.00000000e+01,  -1.62447639e+01, ....

Schreib mal

y=2-((2+x).*(-2 <= x & x <= 0)+(2-x).*(0 < x & x <= 2));

und staune ;)))

Gruss,
Hanspeter


Bezug
                                                                        
Bezug
Positive Fouriertransformierte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:30 Fr 12.12.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Tja, Dein Dreieck hat den Tiefpunkt beim ersten Element des
> Vektors statt die Spitze.

ja - mhm. So dachte ich mir das auch, es stand da doch

    $2+x$ für $-2 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 0$

und

    $2-x$ für $0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le 2\,.$ [/mm]

> Das gibt Dir im Vergleich zu mir
> 180 Grad Phasenverschiebung und damit alternierende
> Vorzeichen.

Okay. Warum die 180 Grad Phasenverschiebung die Vorzeichen alternieren
läßt, muss ich mal nachrechnen. ^^

> Das ist schon alles.
>
> Ich kriege: 4.00000000e+01,   1.62447639e+01,  ....
>  
> Du kriegst: 4.00000000e+01,  -1.62447639e+01, ....
>  
> Schreib mal
>
> y=2-((2+x).*(-2 <= x & x <= 0)+(2-x).*(0 < x & x <= 2));
>  
> und staune ;)))

Mache ich. Danke. :-)

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                                                                
Bezug
Positive Fouriertransformierte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:58 Fr 12.12.2014
Autor: Marcel

Hallo,

ja klar, ich hab's nachgerechnet - diese Phasenverschiebung um 180 bewirkt
das Alternieren der Vorzeichen. Wirklich ein dämlicher Fehler meinerseits.

Und klar: Jetzt sehe ich auch, wieso ich das Signal so zusammenbauen
musste, wie Du es gemacht hast. "Der Teil mit dem negativen Definitionsbereich"
gehört quasi "ganz nach rechts" an $y$ verschoben.

(Ich meine das etwa so, wie das folgende Beispiel zeigt:

1: x=[0:0.01:10-0.01];
2: y=(0 <= x & x <= 2).*(2-x)+(8 <= x & x <= 10).*(2+x-10);


Ich muss nochmal in die FFT-Berechnung gucken, ob bzw. wieso man das
so interpretieren kann. Oder denke ich da falsch?)

Mein Denkfehler lag darin, dass ich dachte, dass diese Phasenverschiebung
keinen Einfluss auf den Real- und Imaginärteil hat bis auf eine Verschiebung.
Aber wenn man das nachrechnet, so ist das ja Quatsch - natürlich
alterniert das Vorzeichen dann beim Realteil.

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                        
Bezug
Positive Fouriertransformierte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:35 Fr 12.12.2014
Autor: Marcel

Hallo,

Dank der Hilfe des mitdenkenden hanspeter.schmid habe ich nun Dein
Ergebnis mal visualisiert, und zwar mit Octave.

[a]FT_von_Dreieckpuls.m

P.S. Ich habe dort einen anderen Vorfaktor bei der sinc-Funktion am Ende.
Welche Formel für die FT hast Du den benutzt? Da gibt es ja verschiedene
Varianten: Mal steht vor dem Integral nur 1, oder [mm] $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ [/mm] oder [mm] $1/(2\pi)\,.$ [/mm]
Je nach Variante muss man bei den FFT-Werten das entsprechend anpassen.
Ich habe es für die [mm] $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$-Variante [/mm] angepasst!

Gruß,
  Marcel

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: m) [nicht öffentlich]
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Positive Fouriertransformierte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:41 Fr 12.12.2014
Autor: HugATree

Hallo Marcel und Hanspeter,

wow, danke für die Mühe :)

Ja, ich habe mich bei dem Vorfaktor vertan. Müsste ein [mm] $\sqrt{\frac{2}{\pi}}$ [/mm] vor dem sinc stehen. Wir haben die FT mit Vorfaktor [mm] $(2\pi)^{-\frac{n}{2}}$ [/mm] definiert.

Liebe Grüße

HugATree

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Positive Fouriertransformierte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:51 Sa 13.12.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo Marcel und Hanspeter,
>  
> wow, danke für die Mühe :)
>  
> Ja, ich habe mich bei dem Vorfaktor vertan. Müsste ein
> [mm]\sqrt{\frac{2}{\pi}}[/mm] vor dem sinc stehen. Wir haben die FT
> mit Vorfaktor [mm](2\pi)^{-\frac{n}{2}}[/mm] definiert.

gut, dann passt das ja.

Ich visualisiere momentan alles, was mit FT (Fouriertransformation bzw.
auch Fourierreihen) zu tun hat, sowieso sehr gerne. Das zeigt nämlich
sehr schön, wie Theorie und Praxis zusammenpassen (außerdem bekommt
man damit auch erst mal ein gutes Verständnis dahingehend).

Gruß,
  Marcel


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Positive Fouriertransformierte: Superior inferior
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:50 Fr 12.12.2014
Autor: Julia_S

Beweisen sie die folgende Aussagen:
1) Limes Superior und Limes Imferior einer reellen, beschränkte Folgen sind Häufungswerte dieser Folge.
2)

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Positive Fouriertransformierte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:52 Fr 12.12.2014
Autor: hanspeter.schmid

Das passt irgendwie nicht hierhin ;)

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Positive Fouriertransformierte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:59 Fr 12.12.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Beweisen sie die folgende Aussagen:
>  1) Limes Superior und Limes Imferior einer reellen,
> beschränkte Folgen sind Häufungswerte dieser Folge.

stelle diese Frage im (Hochschule)-Analysis-Forum, und bitte: Es ist unabdingbar,
die Definition von Limes Superior und Limes Inferior mitanzugeben!

Gruß,
  Marcel

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