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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Polynomdivison: Produktzerlegung von Polynomen
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Polynomdivison: Produktzerlegung von Polynomen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:34 Sa 03.07.2004
Autor: Tomas

Hi !

Dies ist mein erster Thread und ich hoffe nix falsch zu machen. Ich habe eine kurze Frage..

Aufgabe: Dieses Polynom hat Nullstelle bei 1. Bestimmen sie alle weiteren reellen NS und zerlegen sie die Polynome in Produkte von Polynomen möglichst kleinen Grades:

[mm] (4x^4 [/mm] - 4x³ - 19x² + 34x - 15) : (x-1)

Ergebnis: [mm] (4x^4 [/mm] - 4x³ - 19x² + 34x - 15) : (x-1) = 4x³ - 19x + 15

           -->(4x³ - 19x + 15) : (x-1) = 4x² + 4x -15
          
           --> 4x² + 4x -15 = 0  /pq-Formel
          
           --> x1 = 1,5   und   x2= -2,5   x3=1

Bis hier hin war es ja isi, aber dann sah ich folgende Ergänzung in der Lösung

--> [mm] (4x^4 [/mm] - 4x³ - 19x² + 34x - 15) = 4(x-1)² (x-1,5)(x+2,5)

Wie stelle ich sowas auf und warum ??

VIELEN DANK

Tomas

PS: Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.

        
Bezug
Polynomdivison: Produktzerlegung von Polynomen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:27 Sa 03.07.2004
Autor: Gnometech

Eigentlich lernt man das ja schon in der Schule. ;)

Für jede reelle Nullstelle, sagen wir r, ist (x - r) ein Teiler Deines Polynoms. Das heißt, man kann (x - r) als Linearfaktor abspalten, wie Du es ja auch mit (x - 1) am Anfang mehrfach getan hast.

Kennt man alle Nullstellen eines Polynoms (sofern es ebenso viele Nullstellen hat, wie sein Grad angibt - das ist ja nicht selbstverständlich), so kann man es auf diese schöne Art hinschreiben:

[mm] f(x) = c \cdot (x - r_1) (x - r_2) \ldots (x - r_k) [/mm]

Dabei ist c eine reelle Konstante ungleich 0 und die r's sind die Nullstellen von f. Das c kann man immer am Leitkoeffizienten ablesen, also an dem Koeffizienten, der an der höchsten Potenz von x steht, in Deinem Fall also 4.

War das verständlich? Sonst führe ich das gern noch etwas aus.

Gnometech

Bezug
                
Bezug
Polynomdivison: Produktzerlegung von Polynomen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:56 Sa 03.07.2004
Autor: Tomas

Hi !

Das war sehr gut erklärt danke..aber noch ein Punkt

Warum 4(x-1)² und nicht 4(x-1) ??

Und dieses Verfahren geht nur, wenn man soviele NS hat wie der höchste Grad der Funtkion ?
Hier haben wir aber Grad 4 und drei NS und es wurde trotzdem angewandt.

:)

Danke schonmal !!

Bezug
                        
Bezug
Polynomdivison: Produktzerlegung von Polynomen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:58 Sa 03.07.2004
Autor: Gnometech

Nun, Du konntest ja (x - 1) zweimal herausziehen... also, was ich meine ist: nach dem Du (x - 1) einmal herausgezogen hattest, war aber 1 auch noch Nullstelle des Restpolynoms. In einem solchen Fall spricht man von einer "mehrfachen" Nullstelle (in diesem Fall ist es eine doppelte). Der entsprechende Faktor kommt dann eben mehrfach vor.

Ein extremes Beispiel dafür ist ein Polynom der Form [mm] f(x) = x^n [/mm]. Dieses hat nur eine Nullstelle bei 0, aber diese wird n-fach gezählt, man redet also von einer n-fachen Nullstelle bei 0.

Und eben weil man die 1 doppelt zählt, hat Dein Polynom 4. Grades auch 4 Nullstellen. :)

Gnometech

Bezug
                                
Bezug
Polynomdivison: Produktzerlegung von Polynomen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:03 Sa 03.07.2004
Autor: Tomas

Hmm..stimmt ja... Okay jetzt habe ich es :)

Also riesen Dank...

Ich wünsch dir noch ein schönes wochenende..

mfg Tomas

Bezug
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