Polynom aufstellen < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:08 Do 03.02.2011 | | Autor: | Halvalon |
| Aufgabe | Aufgabe 3)
(a) Bestimmes Sie die Eigenräume von A
(b) Zeigen Sie: A ist diagonalisierbar.
(c) Bestimmen Sie eine Matrix C, so daß [mm] C^{-1}AC [/mm] in Diagonalgestalt
[mm] \pmat{ -7 & 12 & 6 \\ -3 & 5 & 3 \\ -1 & 2 & 0 } [/mm] |
Ich setze jetzt in die Matrix diagonal [mm] -\lambda
[/mm]
[mm] \pmat{ \lambda+7 & 12 & 6 \\ -3 & \lambda-5 & 3 \\ -1 & 2 & \lambda0 }
[/mm]
dadurch wird a11 zu -7 und a22 zu -5
jetzt stelle ich die Berechnung zum Polynom her mit
[mm] +[(\lambda+7)\*(\lambda-5)\*(\lambda)]
[/mm]
[mm] +[12\*3\*(-1)]
[/mm]
[mm] +[6\*(-3)\*2]
[/mm]
[mm] -[6\*(\lambda-5)\*(-1)]
[/mm]
[mm] -[(\lambda-7)\*3\*2]
[/mm]
[mm] -[12\*(-3)\*\lambda]
[/mm]
Nach Umstellen komme ich auf [mm] \lambda^{3}+2\lambda^{2}+\lambda-144.
[/mm]
Und während dieser Rechnung viel mir auf das [mm] \lambda^{3}+2\lambda^{2}+\lambda [/mm] auch als Resultat passen könnte und das wesentlich sinnvoller ist.
Aber mir fällt kein Vorzeichenfehler auf und -144 scheint falsch zu sein.
Ich finde leider den Fehler nicht.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Halvalon und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Aufgabe 3)
> (a) Bestimmes Sie die Eigenräume von A
> (b) Zeigen Sie: A ist diagonalisierbar.
> (c) Bestimmen Sie eine Matrix C, so daß [mm]C^{-1}AC[/mm] in
> Diagonalgestalt
>
> [mm]\pmat{ -7 & 12 & 6 \\
-3 & 5 & 3 \\
-1 & 2 & 0 }[/mm]
>
> Ich setze jetzt in die Matrix diagonal [mm]-\lambda[/mm]
>
> [mm]\pmat{ \lambda+7 & 12 & 6 \\
-3 & \lambda-5 & 3 \\
-1 & 2 & \lambda0 }[/mm]
>
> dadurch wird a11 zu -7 und a22 zu -5
Nee, nee, da passt doch was nicht.
Entweder du stellst [mm] $\lambda\cdot{}\mathbb{E}_3-A$ [/mm] auf oder [mm] $A-\lambda\cdot{}\mathbb{E}_3$
[/mm]
Du hast ersteres angesetzt, aber es drehen sich in $A$ dann alle Vorzeichen um!
Da musst du wohl nochmal rechnen ...
>
> jetzt stelle ich die Berechnung zum Polynom her mit
>
> [mm]+[(\lambda+7)\*(\lambda-5)\*(\lambda)][/mm]
> [mm]+[12\*3\*(-1)][/mm]
> [mm]+[6\*(-3)\*2][/mm]
> [mm]-[6\*(\lambda-5)\*(-1)][/mm]
> [mm]-[(\lambda-7)\*3\*2][/mm]
> [mm]-[12\*(-3)\*\lambda][/mm]
>
> Nach Umstellen komme ich auf
> [mm]\lambda^{3}+2\lambda^{2}+\lambda-144.[/mm]
>
> Und während dieser Rechnung viel mir auf das
> [mm]\lambda^{3}+2\lambda^{2}+\lambda[/mm] auch als Resultat passen
> könnte und das wesentlich sinnvoller ist.
>
> Aber mir fällt kein Vorzeichenfehler auf und -144 scheint
> falsch zu sein.
> Ich finde leider den Fehler nicht.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:40 Fr 04.02.2011 | | Autor: | Halvalon |
Super, Danke für die Hilfe!
Randbemerkung:
Sind das auch die beiden Methoden um eine Determinatne berechnen zu können?!
Ich habe beide Methoden angewendet und komme bei
[mm] \lambda\*E_{3}-A [/mm] = [mm] \lambda^{3}+2\lambda^{2}+\lambda [/mm] und
[mm] A-\lambda\*E_{3} [/mm] = [mm] -\lambda^{3}-2\lambda^{2}-\lambda
[/mm]
bei welcher Methode sollte ich die Vorzeichen umkehren um auf das richtige Ergebnis bei den Nullstellen zu kommen?
Bei den Nullstellen komme ich bei Methode 1 auf [mm] x_{1/2}=0 [/mm] und [mm] x_{3}=2
[/mm]
Ich glaube jetzt kommt die geometrische und algebraische Vielfachheit zum tragen, kann das sein?
alg.VFH: 2 (da 2 mal 0 als Ergebnis?)
Eigenvektoren
[mm] \lambda=0
[/mm]
[mm] \pmat{ 7 & -12 & -6 \\ 3 & -5 & -3 \\ 1 & -2 & 0 }
[/mm]
komme ich im auf
[mm] \pmat{ 1 & 0 & -6 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
[mm] \lambda=2
[/mm]
[mm] \pmat{ 9 & -12 & -6 \\ 3 & -3 & -3 \\ 1 & -2 & 2 }
[/mm]
komme ich im auf
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Stimmen die Matrizen am Ende?
jetzt komme ich durcheinander weil ich nicht weiß ob ich hier die alg. VFH & die geo. VFH vergleichen musste und es schon nicht weiter geht oder ob ich vorher schon ein Fehler gemacht hatte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:13 Fr 04.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Super, Danke für die Hilfe!
>
> Randbemerkung:
> Sind das auch die beiden Methoden um eine Determinatne
> berechnen zu können?!
Nein , das sind die 2 methoden um eigenwerte auszurechnen, nämlich die mittels Det. die möglichen lösungen der Gl. [mm] A*x=\lambda*x [/mm] zu finden
oder [mm] (A-\lambda*E)*x=0 [/mm] die gl kann man natürlich mit -1 mult und hat dann
[mm] (-A+\lambda*E)*x=0
[/mm]
> Ich habe beide Methoden angewendet und komme bei
> [mm]\lambda\*E_{3}-A[/mm] = [mm]\lambda^{3}+2\lambda^{2}+\lambda[/mm] und
> [mm]A-\lambda\*E_{3}[/mm] = [mm]-\lambda^{3}-2\lambda^{2}-\lambda[/mm]
du solltest sehen, dass du um die Nst zu bestimmen dieselbe gl hast.
> bei welcher Methode sollte ich die Vorzeichen umkehren um
> auf das richtige Ergebnis bei den Nullstellen zu kommen?
>
> Bei den Nullstellen komme ich bei Methode 1 auf [mm]x_{1/2}=0[/mm]
> und [mm]x_{3}=2[/mm]
ich hab die Det nicht nachgerechnet, aber
[mm] $\lambda^{3}+2\lambda^{2}+\lambda=0$
[/mm]
umgeformt [mm] :$\lambda*(\lambda^{2}+2\lambda+1)=0$
[/mm]
das ist eine einfache Nst bei [mm] \lambda [/mm] =0 und keine bei [mm] \lambda=2
[/mm]
sondern bei [mm] (\lambda^{2}+2\lambda+1)=0 [/mm] da findest du ne doppelte Nst.
> Ich glaube jetzt kommt die geometrische und algebraische
> Vielfachheit zum tragen, kann das sein?
>
> alg.VFH: 2 (da 2 mal 0 als Ergebnis?)
>
> Eigenvektoren
>
> [mm]\lambda=0[/mm]
> [mm]\pmat{ 7 & -12 & -6 \\
3 & -5 & -3 \\
1 & -2 & 0 }[/mm]
> komme
> ich im auf
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & -6 \\
0 & 1 & -3 \\
0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> [mm]\lambda=2[/mm]
> [mm]\pmat{ 9 & -12 & -6 \\
3 & -3 & -3 \\
1 & -2 & 2 }[/mm]
> komme
> ich im auf
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Stimmen die Matrizen am Ende?
> jetzt komme ich durcheinander weil ich nicht weiß ob ich
> hier die alg. VFH & die geo. VFH vergleichen musste und es
> schon nicht weiter geht oder ob ich vorher schon ein Fehler
> gemacht hatte.
Dein Fehler liegt früher
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 Fr 04.02.2011 | | Autor: | Halvalon |
Vielen Dank für den weiteren Tip!
Also die Eigenwerte sind {0,-1,-1}
alg VFH von 0 = 1
alg VFH von -1= 2
[mm] \lambda [/mm] = 0
[mm] \pmat{ 1 & 0 & -6 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] daraus folgt [mm] \vektor{6 \\ 3 \\ 0}
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] = -1
[mm] \pmat{ 1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm]
daraus folgt [mm] \vektor{-2 \\ 0 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
geo VFH von 0 = 1
geo VFH von -1 = 2
daraus folgt letztendlich
Vielfachheiten von 0: alg VFH 1=1 geo VFH
Vielfachheiten von -1: alg VFH 2=2 geo VFH
demzufolge ist A diagonalisierbar.
Stimmt das Ergbnis? (dann hätte ich es Begriffen *Vorfreude)
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> Vielen Dank für den weiteren Tip!
>
> Also die Eigenwerte sind {0,-1,-1}
> alg VFH von 0 = 1
> alg VFH von -1= 2
>
> [mm]\lambda[/mm] = 0
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & -6 \\
0 & 1 & -3 \\
0 & 0 & 0 }[/mm] daraus
> folgt [mm]\vektor{6 \\
3 \\
\red{-1}}[/mm]
>
> [mm]\lambda[/mm] = -1
> [mm]\pmat{ 1 & -2 & -1 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> daraus folgt [mm]\vektor{-2 \\
\red{-1}\\
0}[/mm] und [mm]\vektor{-1 \\
0 \\
\red{-1}}[/mm]
Hallo,
.
Deine Eigenvektoren sind fast richtig, der Fehler, den Du machst, ist ein systematischer.
Ich erkläre es an der zweiten Matrix:
die Nichtnullzeile sagt Dir
[mm] x_1-2x_2-x_3=0 [/mm] <==> [mm] x_1= 2x_2+x_3
[/mm]
Wenn nun [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3} [/mm] eine Lösung ist, dann hat der Lösungsvektor die Gestalt
[mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{2x_2+x_3\\x_2\\x_3}=x_2*\vektor{2\\1\\0} [/mm] + [mm] x_3*\{1\\0\\1}.
[/mm]
Diese beiden Vektoren sind eine Basis des Lösungsraumes (naturlich kann man auch Vielfache davon nehmen.)
Oder Du arbeitest mit dem -1-Trick: wenn Du die reduzierte ZSF hast, in den Nullzeilen eine -1 auf die Diagonale setzen.
Die Spalten mit solch einer eingefügen -1 sind eine Basis des Lösungsraumes.
[mm] $\pmat{ 1 & -2 & -1 \\ 0 & \green{-1} & 0 \\ 0 & 0 & \green{-1} }$ [/mm]
>
> geo VFH von 0 = 1
> geo VFH von -1 = 2
Ja.
>
> daraus folgt letztendlich
>
> Vielfachheiten von 0: alg VFH 1=1 geo VFH
> Vielfachheiten von -1: alg VFH 2=2 geo VFH
>
> demzufolge ist A diagonalisierbar.
Ja.
>
> Stimmt das Ergbnis? (dann hätte ich es Begriffen
> *Vorfreude)
Bis auf die Sache mit den Basisvektoren: ja.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 So 06.02.2011 | | Autor: | Halvalon |
Den -1 Trick bzw. den Grund verstehe ich nicht.
Ich finde auch nirgendwo ein Beispiel oder etwas vergleichbares zum verstehen.
$ [mm] \pmat{ 1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] $
x3 = 0 bzw. t =0 -> 1 = 0
oder übersehe ich etwas?
Gruß an die Helferlein
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> [mm]\pmat{ 1 & -2 & -1 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 }[/mm]
>
Hallo,
ausgeschrieben steht hier:
[mm] x_1 -2x_2 -x_3= [/mm] 0 <==> [mm] x_1=2x_2+x_3.
[/mm]
Du kannst [mm] x_2 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] völlig beliebig wählen, sofern nur Dein [mm] x_1 [/mm] dann von der richtigen Machart ist.
Also haben alle Lösungen die gestalt [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{2x_2+x_3\\x_2\\x_3}=x_2*\vektor{2\\1\\0} [/mm] + [mm] x_3*\vektor{1\\0\\1} [/mm] mit [mm] x_2, x_3\in \IR [/mm] beliebig.
Der Trick ist nicht so wichtig. Er beruht genau auf der angeführten überlegung.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 So 06.02.2011 | | Autor: | Halvalon |
Aufgabenteil C)
Bestimmen Sie eine Matrix C, so daß [mm] C^{-1}AC [/mm] in Diagonalgestalt.
Matrix [mm] C^{-1} [/mm] -> Inverse Matrix
[mm] \pmat{ -1 & -2 & 1 \\ 3 & -5 & -3 \\ 1 & -2 & 0 }
[/mm]
Matrix C -> Eigenraum
[mm] \pmat{ 6 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 }
[/mm]
Matrix A -> gegeben
[mm] \pmat{ -7 & 12 & 6 \\ -3 & 5 & 3 \\ -1 & 2 & 0 }
[/mm]
aber wie berechne ich jetzt die Diagonalmatrix? [mm] C^{-1}AC
[/mm]
[mm] \pmat{ -1 & -2 & 1 \\ 3 & -5 & -3 \\ 1 & -2 & 0 } \pmat{ 6 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 } \pmat{ -7 & 12 & 6 \\ -3 & 5 & 3 \\ -1 & 2 & 0 }
[/mm]
Multipliziere ich alle 3 Matrizen miteinander?
also Zeile [mm] C^{-1} \* [/mm] Spalte A [mm] \* [/mm] Zeile C
Danke im Vorraus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:00 So 06.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
im prinzip ja, aber was passiert denn wenn du einen Eigenvektor (innerhalb C mit A mult.?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 Di 08.02.2011 | | Autor: | Halvalon |
Na es würde eine Matrix enstehen die ein Vielfaches von sich selber ensteht würde ich denken.
Aber ich weiß nicht wie mir das weiter hilft.
Ich habe jetzt einfach mal A mit C multipliziert. Leider weiß ich nicht wie es richtig gerechnet wird. Matrixmultiplikation ist klar aber nicht der Weg zu der Lösung
Denn mein Ergebnis hat keine Form einer Diaginalmatrix und auch im Buch von H.Anton; "Lineare Algebra" steht nur Ausgangs- und Endmatrix aber nicht wie man sowas löst.
Meine Rechnung:
[mm] A=\pmat{ -7 & -12 & 6 \\ -3 & 5 & 3 \\ -1 & 2 & 0} C=\pmat{ 6 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 6 & 0 & -1}
[/mm]
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Hi,
> Na es würde eine Matrix enstehen die ein Vielfaches von sich selber ensteht würde ich denken.
Nein -
Nochmal allgemein zur Berechnung der Diagonalmatrix
Seien [mm] b_j [/mm] die Spaltenvektoren von C bzw. die Eigenvektoren aus den Eigenräumen und [mm] \lambda_j [/mm] die zugehörigen Eigenwerte. Dann gilt (setze die Standardbasisvektoren [mm] e_j [/mm] für j=1,2,3 ein):
[mm] C^{-1}AC e_j [/mm] = [mm] C^{-1}A b_j [/mm] = [mm] \lambda_j C^{-1}b_j [/mm] = [mm] \lambda_j e_j
[/mm]
Also hat [mm] C^{-1}AC [/mm] Diagonalgestalt, denn die jte Spalte ist [mm] \lambda_j e_j
[/mm]
Die ganze Rechnerei im Folgenden kannst du dir also sparen 
>
> Aber ich weiß nicht wie mir das weiter hilft.
>
> Ich habe jetzt einfach mal A mit C multipliziert. Leider
> weiß ich nicht wie es richtig gerechnet wird.
> Matrixmultiplikation ist klar aber nicht der Weg zu der
> Lösung
>
> Denn mein Ergebnis hat keine Form einer Diaginalmatrix und
> auch im Buch von H.Anton; "Lineare Algebra" steht nur
> Ausgangs- und Endmatrix aber nicht wie man sowas löst.
>
> Meine Rechnung:
>
> [mm]A=\pmat{ -7 & -12 & 6 \\ -3 & 5 & 3 \\ -1 & 2 & 0} C=\pmat{ 6 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1}[/mm]
> = [mm]\pmat{ 0 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 6 & 0 & -1}[/mm]
Kamaleonti
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> Meine Rechnung:
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> [mm]A=\pmat{ -7 & -12 & 6 \\
-3 & 5 & 3 \\
-1 & 2 & 0} C=\pmat{ 6 & 2 & 1 \\
3 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1}[/mm] = <span style="color: green;">[mm]\green{\pmat{ 0 & -2 & -1 \\
0 & 1 & 0 \\
6 & 0 & -1}}[/mm] </span>
Hallo,
die Matrix A kennen wir, die Matrix C ist richtig, aber was soll die hinter dem gleichheitszeichen darstellen? Das ist nicht C.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:41 Mi 09.02.2011 | | Autor: | Halvalon |
Ich habe es jetzt raus und hätte nicht gedacht, dass die Lösung so naheligend ist.
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1}
[/mm]
Herzlichen Dank an meine Helfer für die schnellen und sehr Hilfreichen Antworten
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