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Forum "Sonstiges" - Pol bei geg. Polarebene Kugel
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Pol bei geg. Polarebene Kugel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:15 Do 20.02.2020
Autor: hase-hh

Aufgabe
Welchen Pol hat die Polarebene E bezüglich der Kugel K?

E:  x + y + z = 4       K: [mm] (\vec{x} [/mm] - [mm] \vektor{5 \\ 3 \\ 5})^2 [/mm] = 36


"Hier geht es um den Lösungsweg mithilfe der Normalen und dem Pythagoras."

Moin Moin,

[Dateianhang nicht öffentlich]

mit dem Berührpunkt Q.

Ist es richtig, dass das Dreieck M Q P  im Berührpunkt immer einen rechten Winkel hat?





1. Ich bestimme zunächst d  und  x.

Ist es richtig, dass x gleich dem Radius des Berührkreises ist?


1.1. Ich berechne d. d ist der Abstand von M zu E.  Mithilfe der Hesseschen Normalenform erhalte ich:

d(M,E) = [mm] \bruch{x + y + z -4}{\wurzel{1^2 +1^2 +1^2}} [/mm]


d(M,E) = [mm] \bruch{5 +3 +5 -4}{\wurzel{3}} [/mm]

d = [mm] 3*\wurzel{3} [/mm]

1.2. Ich berechne x. Mithilfe des Pythagoras erhalte ich:

[mm] x^2 [/mm] + [mm] d^2 [/mm] = [mm] r^2 [/mm]

[mm] x^2 [/mm] = [mm] r^2 [/mm] - [mm] d^2 [/mm]

[mm] x^2 [/mm] = 36 - 27

x = 3


2. Ich berechne w.

Wenn das Dreieck M Q P  bei Q einen rechten Winkel hat (s. Frage oben), gilt der Höhensatz:

[mm] h^2 [/mm] = p*q

h   ist   x
q   ist   d
p   ist   w

=>   [mm] x^2 [/mm] = w*d

w = [mm] \bruch{x^2}{d} [/mm]

w = [mm] \bruch{3^2}{3*\wurzel{3}} [/mm]

w = [mm] \wurzel{3} [/mm]


3. Ich stelle die Normale zu E durch M auf, auf der der Pol P liegt.

h:   [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ 3 \\ 5} [/mm] + [mm] s*\vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm]

3.1. Ich berechne die Länge von M zu P.

l = d + w

l = [mm] 3*\wurzel{3} [/mm] + [mm] \wurzel{3} [/mm]

l  = [mm] 4*\wurzel{3} [/mm]

3.2. Ich normiere den Richtungsvektor der Normalen



h:   [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ 3 \\ 5} [/mm] + [mm] \bruch{s}{\wurzel{3}}*\vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm]


3.3. Ich berechne P durch Einsetzen der Länge l  in die normierte Normale.

[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ 3 \\ 5} [/mm] + [mm] \bruch{4*\wurzel{3}}{\wurzel{3}}*\vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm]

Ich erhalte ein merkwürdiges Ergebnis  [mm] \vektor{9\\ 7 \\ 9}. [/mm]

Die von mir auf anderem Weg berechnete Lösung ist aber [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 1} [/mm] ?!

Gut, wenn ich den Richtungsvektor der Normalen bzw. den Normalenvektor mit (-1) multipliziere, ergibt sich [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 1}. [/mm]

Woran liegt das?



Danke & Gruß!




Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Pol bei geg. Polarebene Kugel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:32 Fr 21.02.2020
Autor: hase-hh

Aufgrund dieser für mich zunächst überraschenden Lösung, bleibt mir nur die Schlussfolgerung, dass es zwei Pole zu einer Polarebene an eine Kugel gibt!?


Hier:

[mm] \vektor{9\\ 7 \\ 9} [/mm]     bzw.     [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 1} [/mm]


Bezug
                
Bezug
Pol bei geg. Polarebene Kugel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:04 Fr 21.02.2020
Autor: leduart

Hallo
nein, es gibt nur einen Pol, (das könntest du deiner Skizze entnehmen)  beim zweiten  Teil hast du statt -4*s +4*s geschrieben, bist also in die falsche Richtung gegangen, eine Normale leicht eben in 2 Richtungen, bis auf das falsch Vorzeichen ist das zweite Verfahren ok aber überflüssig
Gruß leduart
wenn du n mit -1 multiplizierst ergibt sich NICHT (1,-1,1)!

Bezug
                        
Bezug
Pol bei geg. Polarebene Kugel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:25 Fr 21.02.2020
Autor: hase-hh

Aha.

Leider kann ich in meinem Post keine Stelle mit +4*s  bzw. -4*s entdecken...

???

Bezug
                                
Bezug
Pol bei geg. Polarebene Kugel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:20 Sa 22.02.2020
Autor: leduart

Hallo
dein Punkt 3.3
ich setze jetzt.....  da steht +4*(1,1,1) es muss -4*(1,1,1) heissen.
ich hatte leider s statt n geschrieben., sorry
Gruß leduart

Bezug
                                        
Bezug
Pol bei geg. Polarebene Kugel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:36 Sa 22.02.2020
Autor: hase-hh

Naja, es steht dort  [mm] +\bruch{4*\wurzel{3}}{\wurzel{3}} [/mm]

Aber das klärt für mich noch lange nicht die Frage, warum es  - 4 [mm] *\vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm]

und nicht + 4 [mm] *\vektor{1 \\ 1 \\ 1}. [/mm]

Wie gesagt, wenn ich die Aufgabe nicht auf anderem Wege gelöst hätte, würde ich davon ausgehen, das [mm] \vektor{9 \\ 7 \\ 9} [/mm] die Lösung ist!


Bezug
                                                
Bezug
Pol bei geg. Polarebene Kugel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:51 Sa 22.02.2020
Autor: leduart

Hallo
die Normalen auf die Ebene sind (1,1,1) und (-1,-1,-1) die erste weisst von der Ebene vom Mittelpunkt der Kugel weg, die zweite von M Richtung E, die brauchst du, wie du auch an deinem Bild sehen kannst.
hätte als Ebenengleichung -x-y-z=0 dagestanden, was hättest du dann gemacht? es ist dieselbe Ebene.
Gruß lul
Gruß

Bezug
                                                        
Bezug
Pol bei geg. Polarebene Kugel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:25 So 23.02.2020
Autor: hase-hh


> Hallo
>  die Normalen auf die Ebene sind (1,1,1) und (-1,-1,-1)
> die erste weisst von der Ebene vom Mittelpunkt der Kugel
> weg, die zweite von M Richtung E, die brauchst du, wie du
> auch an deinem Bild sehen kannst.
>  hätte als Ebenengleichung -x-y-z=0 dagestanden,

Ich vermute mal du meinst:  -x -y -z = 4

> was hättest du dann gemacht? es ist dieselbe Ebene.


... dann hätte ich, wie bereits oben erwähnt, die Normale mit dem Richtungsvektor [mm] \vektor{-1 \\ -1 \\ -1} [/mm] aufgestellt und in die normierte Gleichung die Länge l eingesetzt...

[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ 3 \\ 5} [/mm] + [mm] \bruch{4*\wurzel{3}}{\wurzel{3}}*\vektor{-1 \\ -1 \\ -1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 1}. [/mm]

Das löst aber nicht die Frage, wie ich dahin komme. Denn die Ebene ist ja in der Form  x +y +z = 4  gegeben.

Ich habe gerade eine Idee. Wenn ich es richtig verstanden habe, muss der Richtungsvektor der Hilfsgeraden / des Normalenvektors der Polarebene die Orientierung von M nach P haben.

Ich müsste also dazu

1. den Schnittpunkt von dieser Geraden mit der Polarebene bilden...

Ist das der Schnittkreismittelpunkt M'  ???  


2. und  anschließend, da man  von M über M' nach P gelangt, den Richtungsvektor bilden, der die richtige Orientierung besitzt, d.h. ich bilde den Richtungsvektor der Hilfsgeraden aus  M und M' bzw. [mm] \overrightarrow{MM'}. [/mm]


1. Hilfsgerade erster Ansatz zur Berechnung von M'

h: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ 3 \\ 5} [/mm] + [mm] s*\vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm]

in E  x +y +z = 4  einsetzen:  

5+s +3+s +5+s = 4

3s +13 = 4

s = -3    =>  M' [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 2} [/mm]


2. Hilfsgerade zweiter Ansatz mit Orientierung von M nach P

[mm] \overrightarrow{MM'} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 2} [/mm] - [mm] \vektor{5 \\ 3 \\ 5} [/mm] = [mm] \vektor{-3 \\ -3 \\ -3} [/mm]

=>  

h:  [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ 3 \\ 5} [/mm] + [mm] s*\vektor{-3 \\ -3 \\ -3} [/mm]




bzw. normiert...

h: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ 3 \\ 5} [/mm] + [mm] \bruch{s}{3*\wurzel{3}}*\vektor{-3 \\ -3 \\ -3} [/mm]



3. Einsetzen von l führt zum Pol P

h: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ 3 \\ 5} [/mm] + [mm] \bruch{4*\wurzel{3}}{3*\wurzel{3}}*\vektor{-3 \\ -3 \\ -3} [/mm]  = [mm] \vektor{ 1\\ -1 \\ 1} [/mm]

















Bezug
                                                                
Bezug
Pol bei geg. Polarebene Kugel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:14 Mo 24.02.2020
Autor: meili

Hallo hase-hh,

> > Hallo
>  >  die Normalen auf die Ebene sind (1,1,1) und (-1,-1,-1)
> > die erste weisst von der Ebene vom Mittelpunkt der Kugel
> > weg, die zweite von M Richtung E, die brauchst du, wie du
> > auch an deinem Bild sehen kannst.
>  >  hätte als Ebenengleichung -x-y-z=0 dagestanden,
>
> Ich vermute mal du meinst:  -x -y -z = 4
>  
> > was hättest du dann gemacht? es ist dieselbe Ebene.
>  
>
> ... dann hätte ich, wie bereits oben erwähnt, die Normale
> mit dem Richtungsvektor [mm]\vektor{-1 \\ -1 \\ -1}[/mm] aufgestellt
> und in die normierte Gleichung die Länge l eingesetzt...
>  
> [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{5 \\ 3 \\ 5}[/mm] +
> [mm]\bruch{4*\wurzel{3}}{\wurzel{3}}*\vektor{-1 \\ -1 \\ -1}[/mm] =
> [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ 1}.[/mm]
>  
> Das löst aber nicht die Frage, wie ich dahin komme. Denn
> die Ebene ist ja in der Form  x +y +z = 4  gegeben.
>  
> Ich habe gerade eine Idee. Wenn ich es richtig verstanden
> habe, muss der Richtungsvektor der Hilfsgeraden / des
> Normalenvektors der Polarebene die Orientierung von M nach
> P haben.

Mache dir klar, wie die Kugel K und die Ebene E zueinander und beide
zum Ursprung (0, 0, 0) liegen.

Dann siehst du auch in welcher Richtung P, von M aus gesehen, liegt.

Der normierte Normalenvektor der Ebene E muss vom Ursprung zur Ebene
zeigen. Aber vielleicht kommst du in dieser Richtung nicht von M nach P.

>
> Ich müsste also dazu
>
> 1. den Schnittpunkt von dieser Geraden mit der Polarebene
> bilden...
>
> Ist das der Schnittkreismittelpunkt M'  ???
>  
>
> 2. und  anschließend, da man  von M über M' nach P
> gelangt, den Richtungsvektor bilden, der die richtige
> Orientierung besitzt, d.h. ich bilde den Richtungsvektor
> der Hilfsgeraden aus  M und M' bzw. [mm]\overrightarrow{MM'}.[/mm]
>  
>
> 1. Hilfsgerade erster Ansatz zur Berechnung von M'
>  
> h: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{5 \\ 3 \\ 5}[/mm] + [mm]s*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>  
> in E  x +y +z = 4  einsetzen:  
>
> 5+s +3+s +5+s = 4
>
> 3s +13 = 4
>  
> s = -3    =>  M' [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ 2}[/mm]

>  
>
> 2. Hilfsgerade zweiter Ansatz mit Orientierung von M nach
> P
>  
> [mm]\overrightarrow{MM'}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ 2}[/mm] - [mm]\vektor{5 \\ 3 \\ 5}[/mm]
> = [mm]\vektor{-3 \\ -3 \\ -3}[/mm]
>  
> =>  

>
> h:  [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{5 \\ 3 \\ 5}[/mm] + [mm]s*\vektor{-3 \\ -3 \\ -3}[/mm]
>  
>
>
>
> bzw. normiert...
>  
> h: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{5 \\ 3 \\ 5}[/mm] +
> [mm]\bruch{s}{3*\wurzel{3}}*\vektor{-3 \\ -3 \\ -3}[/mm]
>  
>
>
> 3. Einsetzen von l führt zum Pol P
>  
> h: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{5 \\ 3 \\ 5}[/mm] +
> [mm]\bruch{4*\wurzel{3}}{3*\wurzel{3}}*\vektor{-3 \\ -3 \\ -3}[/mm]  
> = [mm]\vektor{ 1\\ -1 \\ 1}[/mm]
>  

Gruß
meili  


Bezug
                                                                        
Bezug
Pol bei geg. Polarebene Kugel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:03 Mo 24.02.2020
Autor: hase-hh

Moin!

> > Ich habe gerade eine Idee. Wenn ich es richtig verstanden
> > habe, muss der Richtungsvektor der Hilfsgeraden / des
> > Normalenvektors der Polarebene die Orientierung von M nach
> > P haben.


> Mache dir klar, wie die Kugel K und die Ebene E zueinander
> und beide
>  zum Ursprung (0, 0, 0) liegen.
>  
> Dann siehst du auch in welcher Richtung P, von M aus
> gesehen, liegt.
>  
> Der normierte Normalenvektor der Ebene E muss vom Ursprung
> zur Ebene
>  zeigen. Aber vielleicht kommst du in dieser Richtung nicht
> von M nach P.

Da komme ich nicht mit.

Was kann ich sagen:

Die Ebene schneidet die Kugel.

Wenn ich den Abstand von M zur Ebene bestimme...

d(M,E) = [mm] \bruch{x +y +z -4}{\wurzel{3}} [/mm]

d(M,E) = [mm] \bruch{5 +3 +5 -4}{\wurzel{3}} [/mm] = + [mm] 3*\wurzel{3} [/mm]

d(M,E) > 0  =>  M liegt auf der anderen Seite der Ebene als der Ursprung.

Und P auf der Ursprungsseite also quasi diesseits der Ebene.

Und nun?




> > Ich müsste also dazu
> >
> > 1. den Schnittpunkt von dieser Geraden mit der Polarebene
> > bilden...

Ist das der Schnittkreismittelpunkt M'  ???

> >
> > 2. und  anschließend, da man  von M über M' nach P
> > gelangt, den Richtungsvektor bilden, der die richtige
> > Orientierung besitzt, d.h. ich bilde den Richtungsvektor
> > der Hilfsgeraden aus  M und M' bzw. [mm]\overrightarrow{MM'}.[/mm]
>  >  


  :

Bezug
                                                                                
Bezug
Pol bei geg. Polarebene Kugel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:16 Mo 24.02.2020
Autor: leduart

Hallo
ja das ist M'
ledum

Bezug
                                                                                        
Bezug
Pol bei geg. Polarebene Kugel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:09 Mo 24.02.2020
Autor: hase-hh

Moin!

> Mache dir klar, wie die Kugel K und die Ebene E zueinander
> und beide zum Ursprung (0, 0, 0) liegen.
>  
> Dann siehst du auch in welcher Richtung P, von M aus
> gesehen, liegt.
>  
> Der normierte Normalenvektor der Ebene E muss vom Ursprung
> zur Ebene zeigen. Aber vielleicht kommst du in dieser Richtung nicht
> von M nach P.

Da komme ich nicht mit.

Was kann ich sagen:

Die Ebene schneidet die Kugel.

Wenn ich den Abstand von M zur Ebene bestimme...

d(M,E) = $ [mm] \bruch{x +y +z -4}{\wurzel{3}} [/mm] $

d(M,E) = $ [mm] \bruch{5 +3 +5 -4}{\wurzel{3}} [/mm] $ = + $ [mm] 3\cdot{}\wurzel{3} [/mm] $

d(M,E) > 0  =>  M liegt auf der anderen Seite der Ebene als der Ursprung.

Und P auf der Ursprungsseite also quasi diesseits der Ebene.

Und nun?


???



Bezug
                                                                                                
Bezug
Pol bei geg. Polarebene Kugel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:25 Mo 24.02.2020
Autor: meili

Hallo hase-hh,

(-1, -1, -1) weist von M in Richtung E. Siehe auch den 3. Post von leduart
zu deiner Frage.

Gruß
meili

Bezug
                                                                                
Bezug
Pol bei geg. Polarebene Kugel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:19 Mo 24.02.2020
Autor: meili

Hallo hase-hh,

> Moin!
>  
> > > Ich habe gerade eine Idee. Wenn ich es richtig verstanden
> > > habe, muss der Richtungsvektor der Hilfsgeraden / des
> > > Normalenvektors der Polarebene die Orientierung von M nach
> > > P haben.
>
>
> > Mache dir klar, wie die Kugel K und die Ebene E zueinander
> > und beide
>  >  zum Ursprung (0, 0, 0) liegen.
>  >  
> > Dann siehst du auch in welcher Richtung P, von M aus
> > gesehen, liegt.
>  >  
> > Der normierte Normalenvektor der Ebene E muss vom Ursprung
> > zur Ebene
>  >  zeigen. Aber vielleicht kommst du in dieser Richtung
> nicht
> > von M nach P.
>  
> Da komme ich nicht mit.
>
> Was kann ich sagen:
>
> Die Ebene schneidet die Kugel.
>
> Wenn ich den Abstand von M zur Ebene bestimme...
>  
> d(M,E) = [mm]\bruch{x +y +z -4}{\wurzel{3}}[/mm]
>  
> d(M,E) = [mm]\bruch{5 +3 +5 -4}{\wurzel{3}}[/mm] = + [mm]3*\wurzel{3}[/mm]
>
> d(M,E) > 0  =>  M liegt auf der anderen Seite der Ebene als

> der Ursprung.

Ja, genau.

>
> Und P auf der Ursprungsseite also quasi diesseits der
> Ebene.
>
> Und nun?

Also, M liegt auf der einen Seite von der Ebene E (in dem einen Teilbereich des gesamten Raumes,
der durch die Ebene E begrenzt wird); und P und der Ursprung
auf der anderen Seite der Ebene E.
Um von M nach P zu kommen, kann man deshalb nicht den normierten
Normalenvektor der Ebene E aus der Hesseschen Normalform benutzen,
sondern den entgegengesetzten Vektor.

>
>
>
>
> > > Ich müsste also dazu
> > >
> > > 1. den Schnittpunkt von dieser Geraden mit der Polarebene
> > > bilden...
>
> Ist das der Schnittkreismittelpunkt M'  ???
>  
> > >
> > > 2. und  anschließend, da man  von M über M' nach P
> > > gelangt, den Richtungsvektor bilden, der die richtige
> > > Orientierung besitzt, d.h. ich bilde den Richtungsvektor
> > > der Hilfsgeraden aus  M und M' bzw. [mm]\overrightarrow{MM'}.[/mm]
>  >  >  
>
>
> :

Gruß
meili

Bezug
                                                                                        
Bezug
Pol bei geg. Polarebene Kugel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:42 Mo 24.02.2020
Autor: hase-hh

Ich kann das gerne auf mich wirken lassen, ganz verstanden habe ich es nicht.


Es gibt zwei Möglichkeiten:

entweder M und P liegen auf verschiedenen Seiten in Bezug auf E und dem Ursprung

oder M und P liegen auf verschiednene Seiten in Bezug auf E aber auf der gleichen Seite bezüglich des Ursprungs...


Kann ich mir nicht vorstellen !!!???




Bezug
                                                                                                
Bezug
Pol bei geg. Polarebene Kugel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:47 Di 25.02.2020
Autor: meili

Hallo hase-hh,

M und P liegen immer auf verschiedenen Seiten von E, abgesehen von der
Ausnahme, dass E genau durch M geht.

Wichtig, ob man mit dem normierten Normalenvektor der Ebene E aus der
Hesseschen Normalform rechnet oder mit dem entgegengesetzten Vektor,
ist, ob der Ursprung auf der Seite liegt, auf der auch M liegt, oder auf der
Seite auf der P liegt.

Gruß
meili

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Pol bei geg. Polarebene Kugel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:10 Do 27.02.2020
Autor: hase-hh

Ok, aber mir ist nach wie vor unklar, was daraus für die Bestimmung von P folgt?


1. Der Abstand der Ebene E:  x +y +z = 4  zum Punkt M(5/3/5) beträgt

d = [mm] \bruch{x +y +z -4}{\wurzel{3}} [/mm]  

d = [mm] \bruch{5 +3 +5 -4}{\wurzel{3}} [/mm] = + [mm] 3*\wurzel{3} [/mm]  > 0

=> M und O liegen auf verschiedenen Seiten der Ebene.

[folglich liegt P auf der gleichen Seite wie O.]


2. Der Abstand der mit (-1) multiplizierten Ebene E:  -x -y -z = -4  zum Punkt M(5/3/5) beträgt

d = [mm] \bruch{-x -y -z +4}{\wurzel{3}} [/mm]  

d = [mm] \bruch{-5 -3 -5 +4}{\wurzel{3}} [/mm] = - [mm] 3*\wurzel{3} [/mm]  < 0

=> M und O liegen auf der gleichen Seite der Ebene.

[folglich liegt P auf der anderen Seite wie O.]



Und nun???



Bezug
                                                                                                                
Bezug
Pol bei geg. Polarebene Kugel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:49 Do 27.02.2020
Autor: leduart

Hallo
wenn du n*x=d zu -nx=-d umformst ist auch der Abstand zu 0 -d hier also -4/sqrt(3)
aber der Nullpunkt liegt immer noch auf derselben Seite von E
die Normale weisst einmal von E zu 0 im anderen Fall von 0 zu E
Gruß ledum

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Pol bei geg. Polarebene Kugel: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 08:51 Fr 28.02.2020
Autor: hase-hh

Was muss ich also tun?

Den Abstand von O zu E und den Abstand von M zu E berechnen?

Wenn beide Abstände kleiner Null sind bzw. beide Abstände größer Null sind, muss  ich [mm] \vec{n} [/mm] umdrehen (mit (-1) multiplizieren) um zu P zu gelangen, sonst nicht?



1. Fall

E: x +y + z = 4        M(5 / 3 / 5)


d(O,E) = [mm] \bruch{0+0+0-4}{\wurzel{3}} [/mm] = - [mm] \bruch{4}{\wurzel{3}} [/mm]


d(M,E) = [mm] \bruch{5+3+5-4}{\wurzel{3}} [/mm] = + [mm] 3*\wurzel{3} [/mm]


=> h Richtung P

h:  [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ 3 \\ 5} [/mm] + [mm] (-1)*\lambda*\vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm]




2. Fall

E: -x -y -z = -4        M(5 / 3 / 5)


d(O,E) = [mm] \bruch{-0-0-0+4}{\wurzel{3}} [/mm] = + [mm] \bruch{4}{\wurzel{3}} [/mm]

???


d(M,E) = [mm] \bruch{-5-3-5+4}{\wurzel{3}} [/mm] = - [mm] 3*\wurzel{3} [/mm]


=> h Richtung P

h:  [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ 3 \\ 5} [/mm] + [mm] (-1)*\lambda*\vektor{-1 \\ -1 \\ -1} [/mm]




Leider wieder kein stimmiges Ergebnis!  ???


Bezug
                                                                                                                                
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Pol bei geg. Polarebene Kugel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:43 Mo 02.03.2020
Autor: hase-hh

Die Frage ist nach wie vor offen.

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Pol bei geg. Polarebene Kugel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:22 Mo 02.03.2020
Autor: leduart

Vielleicht sagst du - statt Rechnungen- nochmal klar: Kannst du feststellen, wo der Mittelpunkt M der Kugel relativ zu der Polaren E liegt, weisst du dass  der Pol auf der anderen Seite von E liegt?
weisst du damit in welcher Richtung von M aus gesehen der Pol liegt?
und dann was verbindet dieses Wissen mit deinen Rechnungen?
Gruß lul

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Pol bei geg. Polarebene Kugel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:17 So 08.03.2020
Autor: hase-hh

I. Der Abstand der Ebene E:  x +y +z = 4  zum Punkt M(5/3/5) beträgt
  
d = [mm][mm] \bruch{x +y +z -4}{\wurzel{}}[/mm3] [/mm]  

d = [mm]\bruch{5 +3 +5 -4}{\wurzel{3}}[/mm] = + [mm] 3*\wurzel{3} [/mm]


II. Zur Konstruktion der Hilfsgeraden h müsste ich die Orientierung des Normalenvektors bestimmen.

Für eine Ebene  [mm] n_1*x_1 [/mm] + [mm] n_2*x_2 [/mm] + [mm] n_3*x_3 [/mm] = b   gilt:

wenn b > 0  => zeigt [mm] \vec{n} [/mm] vom Ursprung weg,
wenn b < 0  => zeigt [mm] \vec{n} [/mm] zum Ursprung hin.


Für E:  x + y + z = 4  mit  4 > 0 gilt:  [mm] \vec{n} [/mm] zeigt vom Ursprung weg.


III. Hilfsgerade aufstellen


*** Ergänzung / Korrektur ***
Da der Abstand von E zum Ursprung d(O,E) = | [mm] \bruch{0 +0 +0 -4}{\wurzel{3}} [/mm] | [mm] =\bruch{4}{\wurzel{3}}\approx [/mm] 2,31 kleiner ist, als der Abstand von M zum Ursprung  
| [mm] \overline{OM} [/mm] | = [mm] \wurzel{59} \approx [/mm] 7,68 folgt:



Da M zum Ursprung einen größeren Abstand hat als E, müsste ich (bspw.) von M' in Richtung [mm] \vec{n} [/mm] gehen, um zu M zu gelangen.

=> Um zu P zu kommen, müsste ich also von M' in Richtung des Gegenvektors von [mm] \vec{n} [/mm] gehen, d.h. [mm] \vec{n}*(-1). [/mm]

Meine Hilfsgerade mit der "richtigen" Orientierung des Normalenvektors bzw. Richtungsvektors ist also:

h: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ 3\\5} [/mm] + [mm] s*(-1)*\vektor{1 \\ 1\\ 1} [/mm]

h: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ 3\\5} [/mm] + [mm] s*\vektor{-1 \\ -1\\ - 1} [/mm]

anschließend Normieren und den errechneten Abstand d in h einsetzen führt zu P, s. oben.


Variante

Wäre  E in der Form  -x -y -z = -4  gegeben, so würde sich ergeben:

I. Der Abstand der Ebene E:  -x -y -z = -4  zum Punkt M(5/3/5) beträgt
  
d = [mm]\bruch{-x -y -z +4}{\wurzel{3}}[/mm]  

d = [mm]\bruch{-5 -3 -5 +4}{\wurzel{3}}[/mm] = - [mm] 3*\wurzel{3} [/mm]
  

II. Zur Konstruktion der Hilfsgeraden h müsste ich die Orientierung des Normalenvektors bestimmen.

Für E:  -x -y -z = -4  mit  -4 < 0 gilt:  [mm] \vec{n} [/mm] zeigt zum Ursprung hin.


III. Hilfsgerade aufstellen


*** Ergänzung / Korrektur ***

Da der Abstand von E zum Ursprung d(O,E) = | [mm] \bruch{0 +0 +0 -4}{\wurzel{3}} [/mm] | [mm] =\bruch{4}{\wurzel{3}} \approx [/mm] 2,31 kleiner ist, als der Abstand von M zum Ursprung  
| [mm] \overline{OM} [/mm] | = [mm] \wurzel{59} \approx [/mm] 7,68 folgt:


Da M aber zum Ursprung einen kleineren Abstand hat als E, müsste ich (bspw.) von M' in Richtung [mm] (-1)*\vec{n} [/mm] gehen, um zu M zu gelangen.
=>  Um zu P zu kommen, müsste ich also von M' in Richtung des
Gegenvektors von [mm] \vec{n} [/mm] gehen, d.h. [mm] (-1)*\vec{n}... [/mm]



Allerdings würde ich mich hier fragen, wieso M einmal  weiter von O und E entfernt ist und einmal zwischen E und O ist??? Passt irgendwie nicht zusammen.


Da M zum Ursprung einen größeren Abstand hat als E, müsste ich (bspw.) von M' in Richtung [mm] (-1)*\vec{n} [/mm] gehen, um zu M zu gelangen.

=> Um zu P zu kommen, müsste ich also von M' in Richtung des Gegenvektors von [mm] (-1)*\vec{n} [/mm] gehen, d.h. [mm] \vec{n}. [/mm]

Meine Hilfsgerade mit der "richtigen" Orientierung des Normalenvektors bzw. Richtungsvektors ist also:


h: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ 3\\5} [/mm] + [mm] s*\vektor{-1 \\ -1\\ - 1} [/mm]

anschließend Normieren und den errechneten Abstand d in h einsetzen führt zu P, s. oben.



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Pol bei geg. Polarebene Kugel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:25 Mo 09.03.2020
Autor: leduart

Hallo
bei dir III am Anfang :
"Da M aber zum Ursprung einen größeren Abstand hat als E....."
III gegen Ende:
“Da M aber zum Ursprung einen kleineren Abstand hat als E...."
was nun?was gilt?
ledum

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Pol bei geg. Polarebene Kugel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:29 Di 10.03.2020
Autor: hase-hh


> Hallo
>  bei dir III am Anfang :
>  "Da M aber zum Ursprung einen größeren Abstand hat als
> E....."
>  III gegen Ende:
>  “Da M aber zum Ursprung einen kleineren Abstand hat als
> E...."
>  was nun?was gilt?
>  ledum

Das ist der Widerspruch und der Grund, warum ich die Frage gestellt habe!

KONKRET: Wo ist der Denkfehler?

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Pol bei geg. Polarebene Kugel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:01 Di 10.03.2020
Autor: leduart

Hallo
M hat größeren Abstand zu 0 als E, ich weiss nicht wie du auf eine andere Idee kommen kannst. der Abstand von E zu 0 ist [mm] 4/\wurzel{3} [/mm] der von M [mm] ist\wurzel{5^2+3^2+5^2}=7.68.. [/mm]
leduart

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Pol bei geg. Polarebene Kugel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:29 Mi 11.03.2020
Autor: hase-hh

Jubilate! Vielen Dank!!!

Das war der Knoten...  

Also ich bestimme den Abstand von E zu O  und vergleiche ihn mit dem Abstand von M zu O.

Da hier  [mm] |\overrightarrow{OM} [/mm] | = [mm] \wurzel{59}\approx [/mm] 7,68  >  d (M,E) = [mm] \bruch{4}{\wurzel{3}}\approx [/mm] 2,31 ist, liegt M weiter weg vom Ursprung als E.

Ich korrigiere das im betreffenden Beitrag.

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Pol bei geg. Polarebene Kugel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:15 Di 10.03.2020
Autor: meili

Hallo hase-hh,

>
> Für eine Ebene  [mm]n_1*x_1[/mm] + [mm]n_2*x_2[/mm] + [mm]n_3*x_3[/mm] = b   gilt:
>
> wenn b > 0  => zeigt [mm]\vec{n}[/mm] vom Ursprung weg,
> wenn b < 0  => zeigt [mm]\vec{n}[/mm] zum Ursprung hin.
>  

Woher weist du, dass das gilt?
Hast du Belege (Beweise) dafür?
Und noch wichtiger: Falls es gilt, unter welchen Voraussetzungen gilt es?

Gruß
meili

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Pol bei geg. Polarebene Kugel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:12 Mi 11.03.2020
Autor: hase-hh

Soweit ich weiß gilt dieser Zusammenhang allgemein. Ich habe leider nicht die Zeit nach Quellen zu suchen, m.W. wird das an Universitäten gelehrt; in Fächern, die sich etwas tiefer mit Vektorrechnung beschäftigen.

Auf die Schnelle habe ich nur gefunden (klar, unzulänglich aber immerhin):

https://www.gutefrage.net/frage/in-welche-richtung-zeigt-der-normalenvektor

VG

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Pol bei geg. Polarebene Kugel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:02 Fr 28.02.2020
Autor: leduart

Hallo
irgendwie kannst du nicht mit den Normalen umgehen, zeichne mal in 2d und g:  x+y=4
einen Punkt links davon , einen rechts. wie findest du welcher zwischen g und 0 liegt, und wo g zwischen  Punkt und 0 liegt. anschaulich und wie musst du jeweils rechnen, 3d ist es dasselbe,
ledum

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Pol bei geg. Polarebene Kugel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:54 Mo 02.03.2020
Autor: hase-hh


> Hallo
>   irgendwie kannst du nicht mit den Normalen umgehen,
> zeichne mal in 2d und g:  x+y=4


Eine orthogonale Gerade  z.b. wäre h: -x+y = 4


P(1/1) liegt zwischen Ursprung und Gerade, Q (3/4) jenseits der Geraden.

[Dateianhang nicht öffentlich]


Abstand von P zu g

d(P,g) = [mm] \bruch{x+y-4}{\wurzel{1^2+1^2}} [/mm]

bzw.

d(P,g) = [mm] \bruch{1+1-4}{\wurzel{2}} [/mm] = - [mm] \bruch{2}{\wurzel{2}} [/mm]

Da d <0 liegt P näher am Ursprung als E.




Abstand von Q zu g

d(Q,g) = [mm] \bruch{x+y-4}{\wurzel{1^2+1^2}} [/mm]

bzw.

d(Q,g) = [mm] \bruch{3+4-4}{\wurzel{2}} [/mm] = [mm] \bruch{3}{\wurzel{2}} [/mm]

Da d >0 liegt Q weiter weg vom Ursprung als E.



Und nun? Nützt mir gar nichts, für das Problem.





Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Pol bei geg. Polarebene Kugel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:17 Mo 02.03.2020
Autor: leduart

Hallo
dass du jeweils [mm] (-1)*\lambda*n [/mm] schreibst ist irritierend.
[mm] \lambda [/mm] kann i.A. natürlich jedes Vorzeichen haben. in deiner Zeichnung 2 d etwa muss man um von Q zu E zu kommen  [mm] Q+\lambda*(-1,-1) \lambda>0 [/mm]
um von P zu E zu kommen [mm] P+\lambda*(1,1) \lambda>0 [/mm]
in jedem Fall weisst du doch auf welcher Seite die Polare vom Mittelpunkt ist, und deshalb wo der Pol ist, nämlich auf der Seite der Polaren die vom Mittelpunkt der Kugel entfernt ist. Deshalb verstehe ich deine wiederholten Rechnungen nicht. Du weisst doch wie der Mittelpunkt relativ zu der Polaren liegt.
Gruß ledum

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Pol bei geg. Polarebene Kugel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:57 Fr 06.03.2020
Autor: hase-hh

Moin!

Es geht mir darum, den einfachsten Lösungsweg für die Aufgabe zu finden.

P ist gesucht.  

Daher sind Rechnungen für mich das Entscheidende.


1. Beim Lösungsweg über Koeffizientenvergleich komme ich auf den richtigen Punkt P.


2. Wenn ich aber den Lösungsweg über die Normale (Hilfsgerade) gehe, ist es aber ein Glücksspiel auf den richtigen Punkt zu kommen. Alles das habe ich lang in diesem Post dargestellt und gefragt.

Ich habe auch zum Lösungsweg über die Normale eine Lösung gefunden, und ebenfalls gepostet.


3. Nun wurde mir mitgeteilt, dass es einen einfacheren Lösungsweg gibt.

Dieser ist mir bisher nicht klar geworden.

Ok, P liegt auf der anderen Seite der Ebene als M.


Aber was muss ich tun um P zu bestimmen, wenn

3.1. M und E auf derselben Seite bezüglich des Ursprungs liegen,
3.2. M und E auf verschiedenen Seiten des Ursprungs liegen?





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Pol bei geg. Polarebene Kugel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:17 Fr 06.03.2020
Autor: leduart

Hallo
ich verstehe langsam deine Fragen nicht mehr. Die Lage des Ursprungs relativ zu M und E ist von keinerlei Bedeutung: wie du leicht an deiner Zeichnung der Polaren siehst, kannst du deinen Ursprung irgendwo hinlegen, P liegt immer auf dem Strahl der von M nach E geht, oder anders gesagt, M und P liegen IMMER auf verschiedenen Seiten  von E -
Irgendwie siehst du Geometrie nur als Rechnerei, und versuchst dir anscheinend nichts dabei vorzustellen.
Gruß ledum


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Pol bei geg. Polarebene Kugel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:52 Sa 07.03.2020
Autor: hase-hh

Sorry, was für ein blöde Antwort!

Schade, wieder nicht auf meine Frage eingegangen.

So schwer ist meine Frage gar nicht zu verstehen. Offenbar bist du nicht in der  Lage, dich in meine Frage hineinzuversetzen. Schade.

Und im übrigen, ist nicht jeder mit einem genialen Vorstellungsvermögen gesegnet. Das mir vorzuwerfen entbehrt nicht einer gewissen Frechheit. Wenn ich das alles wüßte, würde ich nicht fragen.


Ich habe inzwischen herausgefunden, wie ich den von euch ins Spiel gebrachten Weg, für die Lösung nutzen kann. Poste ich später (bis Montag Mittag).


Dass haben wir schon mehrfach hier festgehalten, dass M und P auf verschiedenen Seiten der Ebene liegen. Bringt mich keinen Schritt weiter.

Es fehlt(e) mir bisher der Baustein.


Der Baustein ist: Ich muss wissen, wohin der Normalenvektor der Ebene zeigt... und dann kann ich dies mit dem Richtungsvektor der Hilfsgeraden vergleichen bzw. die Hilfsgerade entsprechend anpassen.  


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Pol bei geg. Polarebene Kugel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:16 Mo 02.03.2020
Autor: HJKweseleit


> Ich erhalte ein merkwürdiges Ergebnis  [mm]\vektor{9\\ 7 \\ 9}.[/mm]
>  
> Die von mir auf anderem Weg berechnete Lösung ist aber
> [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ 1}[/mm] ?!
>  
> Gut, wenn ich den Richtungsvektor der Normalen bzw. den
> Normalenvektor mit (-1) multipliziere, ergibt sich
> [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ 1}.[/mm]
>  
> Woran liegt das?



Du hast alles richtig gemacht und herausgefunden, dass du von M aus 4 mal den Normalenvektor entlang gehen musst, um zu P zu gelangen. Dafür gibt es aber zwei Richtungen. Deine Skizze zeigt, dass du von M in Richtung Ebene gehen musst. Der Abstand dazu ist [mm] d=3\wurzel{3}. [/mm]

[mm]\vektor{5 \\ 3 \\ 5}[/mm][mm] +\bruch{3\wurzel{3}}{\wurzel{3}}[/mm] [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]=[mm]\vektor{8 \\ 6 \\ 8}[/mm], aber dieser Punkt liegt nicht in E.

[mm]\vektor{5 \\ 3 \\ 5}[/mm][mm] +\bruch{3\wurzel{3}}{\wurzel{3}}[/mm] [mm]\vektor{-1 \\ -1 \\ -1}[/mm]=[mm]\vektor{2 \\ 0 \\ 2}[/mm], und dieser Punkt liegt in E.

Also musst du bei deiner Lösung in Richtung [mm]\vektor{-1 \\ -1 \\ -1}[/mm] gehen, so dass du zu [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ 1}[/mm] gelangst.

MERKE: Wenn du eine bestimmte Länge in Richtung eines Vektors gehen sollst, kann das Ganze auch "nach hinten" losgehen!

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