Permutationsgruppe, Beweis < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:58 So 25.11.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Jede Gruppe G ist zu einer Untergruppe voN [mm] S_G [/mm] isomorph. |
In der Uni haben wir das so bewiesen:
Es sei [mm] \phi: [/mm] G-> [mm] S_G [/mm] mit [mm] \phi(a) [/mm] = [mm] \sigma_a, [/mm] wobei [mm] \sigma_a [/mm] (x) = ax, [mm] \foralall [/mm] a,x [mm] \in [/mm] G. (Dann ist [mm] \sigma_a \in S_G [/mm] da bijektiv)
[mm] \phi [/mm] ist ein Homomorphismus da [mm] \phi(ab) [/mm] (x) = [mm] \sigma_{ab} [/mm] (x) = (ab) x = a (bx) = [mm] \sigma_a (\sigma_b [/mm] (x))= [mm] (\sigma_a \circ \sigma_b) [/mm] (x)= [mm] (\phi(a) \circ \phi(b)) [/mm] (x)
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] G
Nach Lemma ist [mm] \phi(G) \le S_G. [/mm] Weters ist [mm] \phi [/mm] injektiv , denn [mm] \sigma_a [/mm] = [mm] id_G [/mm] => ax =x, [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] G => a = ae = e, dh. [mm] ker(\phi) [/mm] = [mm] \{e \}
[/mm]
Weeso folgt daraus [mm] \phi(G) \cong [/mm] G ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:09 So 25.11.2012 | | Autor: | diab91 |
Moin,
das folgt direkt aus dem Homomorphiesatz.
Schönen Gruß,
Diab91
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:11 So 25.11.2012 | | Autor: | sissile |
Ah danke, ich seh schon ;)
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