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Periodische Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:48 Fr 12.04.2013
Autor: JamesDean

Aufgabe
Gegeben sei die Funktion
[mm] f(x)=\begin{cases} 4-x^2, & \mbox{für } -2\le x\le2 \mbox\\f(x-4n), & \mbox{für } x>2 mit \mbox\\\end{cases} [/mm]

[mm] f(x)=\begin{cases} f(x+4n), & \mbox{für } x<2 \mbox\\\end{cases} [/mm]

(sorry für die Darstellung aber ich kenne den Befehl nicht um die Fallweise Definition zu verlängern)

[mm] n\varepsilon\IN [/mm] und der Periode p=4.

Aufgabe a) Skizzieren Sie f(x) für [mm] x\varepsilon[-6;6]. [/mm]

[mm] a_{n}=\bruch{2}{p}\integral_{0}^{p}{f(x)*cos(\bruch{2\pi}{p}*nx) dx} [/mm]

[mm] b_{n}=\bruch{2}{p}\integral_{0}^{p}{f(x)*sin(\bruch{2\pi}{p}*nx) dx} [/mm]

Aufgabe b)

Bestimmen Sie die Koeffizienten für

[mm] f(x)\approx\bruch{a_{0}}{2}+a_{1}*cos(\bruch{2\pi}{p}*x)+b_{1}*sin(\bruch{2\pi}{p}*x)+a_{2}*cos(\bruch{4\pi}{p}*x)+b_{2}*sin(\bruch{4\pi}{p}*x) [/mm]

Schönen guten Abend alle miteinander,

zu Aufgabenteil a) für x muss ich ja das Interval von -6 bis +6 einsetzen aber was setze ich für n ein?

[mm] a_{n} [/mm] und [mm] b_{n} [/mm] gehören ja mit Sicherheit zu Aufgabenteil b)

Zum Aufgabenteil b) Berechnung der Koeffizienten

[mm] \bruch{a_{0}}{2}*\integral_{0}^{p}{f(x) dx} =\bruch{a_{0}}{2}*\integral_{0}^{4}{f(x) dx} [/mm]

= [mm] \bruch{a_{0}}{2}*4 [/mm] - [mm] \bruch{a_{0}}{2}*0 [/mm]

[mm] =2a_{0} [/mm]


[mm] a_{1}=\bruch{2}{4}\integral_{0}^{4}{cos(\bruch{2\pi}{4}*x) dx} [/mm]


Stimmt meine Berechnung für [mm] a_{0} [/mm] und stimmt der Ansatz für die Berechnung von [mm] a_{1}? [/mm]

Mit freundlichen Grüßen

J.Dean

        
Bezug
Periodische Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:17 Fr 12.04.2013
Autor: MathePower

Hallo JamesDean,

> Gegeben sei die Funktion
>   [mm]f(x)=\begin{cases} 4-x^2, & \mbox{für } -2\le x\le2 \mbox\\f(x-4n), & \mbox{für } x>2 mit \mbox\\\end{cases}[/mm]
>  
> [mm]f(x)=\begin{cases} f(x+4n), & \mbox{für } x<2 \mbox\\\end{cases}[/mm]
>


So vielleicht:

[mm]f(x)=\begin{cases} 4-x^2, & \mbox{für } -2\le x\le2 \\ f(x-4n), & \mbox{für } x>2 \\ f(x+4n), & \mbox{für } x<-2 \end{cases}[/mm]


> (sorry für die Darstellung aber ich kenne den Befehl nicht
> um die Fallweise Definition zu verlängern)
>  
> [mm]n\varepsilon\IN[/mm] und der Periode p=4.
>  
> Aufgabe a) Skizzieren Sie f(x) für [mm]x\varepsilon[-6;6].[/mm]
>  
> [mm]a_{n}=\bruch{2}{p}\integral_{0}^{p}{f(x)*cos(\bruch{2\pi}{p}*nx) dx}[/mm]
>  
> [mm]b_{n}=\bruch{2}{p}\integral_{0}^{p}{f(x)*sin(\bruch{2\pi}{p}*nx) dx}[/mm]
>  
> Aufgabe b)
>  
> Bestimmen Sie die Koeffizienten für
>  
> [mm]f(x)\approx\bruch{a_{0}}{2}+a_{1}*cos(\bruch{2\pi}{p}*x)+b_{1}*sin(\bruch{2\pi}{p}*x)+a_{2}*cos(\bruch{4\pi}{p}*x)+b_{2}*sin(\bruch{4\pi}{p}*x)[/mm]
>  Schönen guten Abend alle miteinander,
>  
> zu Aufgabenteil a) für x muss ich ja das Interval von -6
> bis +6 einsetzen aber was setze ich für n ein?
>  


Ich denke das n ist so zu wählen,
daß im Fall x > 2: [mm]x-4n \in \left[-2,2\right][/mm]
und im Fall x < -2:[mm]x+4n \in \left[-2,2\right][/mm]



> [mm]a_{n}[/mm] und [mm]b_{n}[/mm] gehören ja mit Sicherheit zu Aufgabenteil
> b)
>  
> Zum Aufgabenteil b) Berechnung der Koeffizienten
>  
> [mm]\bruch{a_{0}}{2}*\integral_{0}^{p}{f(x) dx} =\bruch{a_{0}}{2}*\integral_{0}^{4}{f(x) dx}[/mm]
>  
> = [mm]\bruch{a_{0}}{2}*4[/mm] - [mm]\bruch{a_{0}}{2}*0[/mm]
>  
> [mm]=2a_{0}[/mm]
>  
>
> [mm]a_{1}=\bruch{2}{4}\integral_{0}^{4}{cos(\bruch{2\pi}{4}*x) dx}[/mm]
>  
>
> Stimmt meine Berechnung für [mm]a_{0}[/mm] und stimmt der Ansatz
> für die Berechnung von [mm]a_{1}?[/mm]
>  
> Mit freundlichen Grüßen
>
> J.Dean


Gruss
MathePower

Bezug
        
Bezug
Periodische Funktion: Aufgabe b)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:44 Fr 12.04.2013
Autor: MathePower

Hallo JamesDean,

> Gegeben sei die Funktion
>   [mm]f(x)=\begin{cases} 4-x^2, & \mbox{für } -2\le x\le2 \mbox\\f(x-4n), & \mbox{für } x>2 mit \mbox\\\end{cases}[/mm]
>  
> [mm]f(x)=\begin{cases} f(x+4n), & \mbox{für } x<2 \mbox\\\end{cases}[/mm]
>  
> (sorry für die Darstellung aber ich kenne den Befehl nicht
> um die Fallweise Definition zu verlängern)
>  
> [mm]n\varepsilon\IN[/mm] und der Periode p=4.


>  
> Aufgabe b)
>  
> Bestimmen Sie die Koeffizienten für
>  
> [mm]f(x)\approx\bruch{a_{0}}{2}+a_{1}*cos(\bruch{2\pi}{p}*x)+b_{1}*sin(\bruch{2\pi}{p}*x)+a_{2}*cos(\bruch{4\pi}{p}*x)+b_{2}*sin(\bruch{4\pi}{p}*x)[/mm]
>  Schönen guten Abend alle miteinander,
>  
> zu Aufgabenteil a) für x muss ich ja das Interval von -6
> bis +6 einsetzen aber was setze ich für n ein?

>


n durchläuft alle natürlichen Zahlen.

  

> [mm]a_{n}[/mm] und [mm]b_{n}[/mm] gehören ja mit Sicherheit zu Aufgabenteil
> b)
>  
> Zum Aufgabenteil b) Berechnung der Koeffizienten
>  
> [mm]\bruch{a_{0}}{2}*\integral_{0}^{p}{f(x) dx} =\bruch{a_{0}}{2}*\integral_{0}^{4}{f(x) dx}[/mm]
>  
> = [mm]\bruch{a_{0}}{2}*4[/mm] - [mm]\bruch{a_{0}}{2}*0[/mm]
>  
> [mm]=2a_{0}[/mm]

>


[mm]a_{0}[/mm] ist doch ein bestimmter Wert.

  

>
> [mm]a_{1}=\bruch{2}{4}\integral_{0}^{4}{cos(\bruch{2\pi}{4}*x) dx}[/mm]

>


Das stimmt nicht.

[mm]a_{1}=\bruch{2}{4}\integral_{0}^{4}{\red{f(x)}cos(\bruch{2\pi}{4}*x) dx}[/mm]


>
> Stimmt meine Berechnung für [mm]a_{0}[/mm] und stimmt der Ansatz
> für die Berechnung von [mm]a_{1}?[/mm]
>  
> Mit freundlichen Grüßen
>
> J.Dean


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Periodische Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:13 Fr 12.04.2013
Autor: JamesDean

Aufgabe
So dann fangen wir mal an...

Erstens danke für die Formatierungshilfe.

Zweitens "Das n im Integranden durchläuft alle natürlichen  Zahlen."

[mm] f(x)=\begin{cases} 4-x^2, & \mbox{für } -2\le x\le2 \\ f(x-4n), & \mbox{für } x>2 \\ f(x+4n), & \mbox{für } x<-2 \end{cases} [/mm]

Vielleicht verstehe ich was falsch aber in den obigen Funktionen gibt es doch garkein Integral... Oder muss man f(x) für die verschiendenen Fälle in die rot markierten Stellen einsetzen und daraus das Integral bilden?

[mm] a_{n}=\bruch{2}{p}\integral_{0}^{p}{\red{f(x)}\cdot{}cos(\bruch{2\pi}{p}\cdot{}nx) dx} [/mm]

[mm] b_{n}=\bruch{2}{p}\integral_{0}^{p}{\red{f(x)}\cdot{}sin(\bruch{2\pi}{p}\cdot{}nx) dx} [/mm]

Drittens Berechnung von [mm] a_{0}=\bruch{1}{2}\cdot{}\integral_{0}^{p}{f(x) dx} [/mm]
Stimmt [mm] a_{0} [/mm] jetzt?

Viertens Berechnung von [mm] a_{1}=\bruch{1}{2}\integral_{0}^{4}{\red{f(x)}cos(\bruch{2\pi}{4}\cdot{}x) dx} [/mm]

Muss ich für [mm] \red{f(x)} [/mm] noch was einsetzen?

Mit freundlichen Grüßen

J.Dean

Bezug
                        
Bezug
Periodische Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:32 Fr 12.04.2013
Autor: MathePower

Hallo JamesDean,

> So dann fangen wir mal an...
>  
> Erstens danke für die Formatierungshilfe.
>  
> Zweitens "Das n im Integranden durchläuft alle
> natürlichen  Zahlen."


Ich habe diese Antwort  korrigiert.


>
> [mm]f(x)=\begin{cases} 4-x^2, & \mbox{für } -2\le x\le2 \\ f(x-4n), & \mbox{für } x>2 \\ f(x+4n), & \mbox{für } x<-2 \end{cases}[/mm]
>  
> Vielleicht verstehe ich was falsch aber in den obigen
> Funktionen gibt es doch garkein Integral... Oder muss man
> f(x) für die verschiendenen Fälle in die rot markierten
> Stellen einsetzen und daraus das Integral bilden?
>  


> [mm]a_{n}=\bruch{2}{p}\integral_{0}^{p}{\red{f(x)}\cdot{}cos(\bruch{2\pi}{p}\cdot{}nx) dx}[/mm]
>  
> [mm]b_{n}=\bruch{2}{p}\integral_{0}^{p}{\red{f(x)}\cdot{}sin(\bruch{2\pi}{p}\cdot{}nx) dx}[/mm]
>
> Drittens Berechnung von
> [mm]a_{0}=\bruch{1}{2}\cdot{}\integral_{0}^{p}{f(x) dx}[/mm]
> Stimmt [mm]a_{0}[/mm] jetzt?

>


Ja.

  

> Viertens Berechnung von
> [mm]a_{1}=\bruch{1}{2}\integral_{0}^{4}{\red{f(x)}cos(\bruch{2\pi}{4}\cdot{}x) dx}[/mm]

>


[ok]

  

> Muss ich für [mm]\red{f(x)}[/mm] noch was einsetzen?


Da Du von 0 bis 4 integrierst, ist  für f(x) eine modizierte Funktion einzusetzen.


>  Mit freundlichen Grüßen
>  
> J.Dean


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Periodische Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:08 Fr 12.04.2013
Autor: JamesDean

Aufgabe
Sorry die verbesserte Aufgabe habe ich übersehen.

Zur Berechnung von [mm] a_{1} [/mm] wahrscheinlich wird daraus:

[mm] a_{1}=\bruch{1}{2}\integral_{0}^{4}{\red{f(x)}cos(\bruch{2\pi}{4}\cdot{}x) dx} [/mm]

[mm] a_{1}=\summe_{n=0}^{4}*{\red a_{1}}*cos(\bruch{2\pi}{4}*x) [/mm]

und beim Rot unterlegten [mm] a_{1} [/mm] setze ich das [mm] a_{1} [/mm] mit dem Integral ein?

Mit freundlichen Grüßen

J.Dean

Bezug
                                        
Bezug
Periodische Funktion: Fourierreihe
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:03 Sa 13.04.2013
Autor: Infinit

Hallo J. Dean,
das erste Integral ist okay, was Du mit der Summe ausdrücken willst, ist mir allerdings unklar. Dir scheint nicht klar zu sein, dass Du mit solch einer Fourierreihendarstellung eine periodische Funktion mit der Periode L, - die hast du gegeben -, mit Hilfe von sich überlagernden Sinus- und Cosinusschwingungen darstellst. Du berechnest die Koeffizienten [mm] a_i [/mm] und [mm] b_i [/mm] solch einer Fourierreihe mithilfe von Integralen und die Funktion f(x) in Abhängigkeit von Sinus- und Cosinusschwingungen ergibt sich dann zu
[mm] f(x) =  \bruch{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos (\bruch{2 \pi n x}{L}) + b_n \sin (\bruch{2 \pi n x}{L})) [/mm]
Viele Grüße,
Infinit

Bezug
                                                
Bezug
Periodische Funktion: Verwirrung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:50 Sa 13.04.2013
Autor: JamesDean

Aufgabe
Hey Infinit,

jetzt bin ich etwas durcheinander... Also bis hier hin war alles ok:

[mm] a_{1}=\bruch{1}{2}\integral_{0}^{4}{\red{f(x)}cos(\bruch{2\pi}{4}\cdot{}x) dx} [/mm]

Nun müsste ich ja was für f(x) einsetzen. In den Büchern finde ich nur das Beispiel für [mm] a_{n} [/mm] und das Hilft mir nicht weiter.

Oder kann es sein das ich für f(x) ... [mm] cos(\bruch{2\pi}{4}\cdot{}nx) [/mm] einsetze?


Mit freundlichen Grüßen

J.Dean

Bezug
                                                        
Bezug
Periodische Funktion: die Funktion als solche
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:04 Sa 13.04.2013
Autor: Infinit

Hi James Dean,
das f(x), das Du einsetzt, um die Koeffizienten zu berechnen, hast Du doch in Deinem ersten Beitrag selbst angegeben. es ist eine Funktion mit der Periodenlänge L=4 und sie lautet im Bereich zwischen -2 und 2
[mm] f(x) = 4 - x^2 [/mm]
Das setzt Du ein und Du kannst dann natürlich aufgrund der zwei Terme zwei Integrale getrennt ausrechnen.
Viele Grüße,
Infinit

Bezug
                                                                
Bezug
Periodische Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:42 Sa 13.04.2013
Autor: JamesDean

Aufgabe
Vielen Dank für die Hilfe.

Berechnung von [mm] a_{1}: [/mm]

[mm] a_{1}=\bruch{1}{2}\integral_{0}^{4}{\red{f(x)}cos(\bruch{2\pi}{4}\cdot{}x) dx} [/mm]

[mm] a_{1}=\bruch{1}{2}\integral_{0}^{4}{4-x^2}dx*\integral_{0}^{4}{cos(\bruch{2\pi}{4}\cdot{}x)} [/mm] dx

So getrennt berechnen ist in ordnung oder?

[mm] a_{1}=\bruch{1}{2}[16-\bruch{64}{3}]*0 [/mm]

[mm] a_{1}=0 [/mm]

Stimmt das?

Mit freundlichen Grüßen

J.Dean

Bezug
                                                                        
Bezug
Periodische Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:49 Sa 13.04.2013
Autor: MathePower

Hallo JamesDean,

> Vielen Dank für die Hilfe.
>  
> Berechnung von [mm]a_{1}:[/mm]
>  
> [mm]a_{1}=\bruch{1}{2}\integral_{0}^{4}{\red{f(x)}cos(\bruch{2\pi}{4}\cdot{}x) dx}[/mm]
>  
> [mm]a_{1}=\bruch{1}{2}\integral_{0}^{4}{4-x^2}dx*\integral_{0}^{4}{cos(\bruch{2\pi}{4}\cdot{}x)}[/mm]
> dx
>  
> So getrennt berechnen ist in ordnung oder?


Nein, das ist nicht in Ordnung.

Es ist so gemeint:

[mm]a_{1}=\bruch{1}{2}\left( \ \integral_{0}^{2}{f\left(x\right)*cos(\bruch{2\pi}{4}x) \ dx}+\integral_{2}^{4}{f\left(x-4\right)cos(\bruch{2\pi}{4}\cdot{}x) \ dx} \ \right)[/mm]


>  [mm]a_{1}=\bruch{1}{2}[16-\bruch{64}{3}]*0[/mm]
>  
> [mm]a_{1}=0[/mm]
>  
> Stimmt das?
>  
> Mit freundlichen Grüßen
>  
> J.Dean


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                
Bezug
Periodische Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:53 Sa 13.04.2013
Autor: JamesDean

Vielen Dank für deine Hilfe MathePower.


Mit freundlichen Grüßen

J.Dean

Bezug
                                                                                
Bezug
Periodische Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:18 Sa 13.04.2013
Autor: JamesDean

Aufgabe
Ich hätte noch eine Frage...

Ich habe [mm] a_{1} [/mm] ausgerechnet also [mm] a_{1}=2 [/mm] wenn ich jetzt [mm] a_{2} [/mm] ausrechne würde die Formel folgendermaßen aussehen oder ?:

[mm] a_{2}=\bruch{1}{2}\left( \ \integral_{0}^{2}{f\left(x\right)\cdot{}cos(\bruch{2\pi}{4}x) \ dx}+\integral_{2}^{4}{f\left(x-4\right)cos(\bruch{2\pi}{4}\cdot{}x) \ dx} \ \right)+a_{1} [/mm]

Also im endeffekt genauso nur das man am Ende + [mm] a_{1} [/mm] rechnet?


Mit freundlichen Grüßen


J.Dean

Bezug
                                                                                        
Bezug
Periodische Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:27 Sa 13.04.2013
Autor: MathePower

Hallo JamesDean,

> Ich hätte noch eine Frage...
>  
> Ich habe [mm]a_{1}[/mm] ausgerechnet also [mm]a_{1}=2[/mm] wenn ich jetzt


[mm]a_{1}[/mm] hat eine anderen Wert.


> [mm]a_{2}[/mm] ausrechne würde die Formel folgendermaßen aussehen
> oder ?:
>  
> [mm]a_{2}=\bruch{1}{2}\left( \ \integral_{0}^{2}{f\left(x\right)\cdot{}cos(\bruch{2\pi}{4}x) \ dx}+\integral_{2}^{4}{f\left(x-4\right)cos(\bruch{2\pi}{4}\cdot{}x) \ dx} \ \right)+a_{1}[/mm]
>  
> Also im endeffekt genauso nur das man am Ende + [mm]a_{1}[/mm]
> rechnet?
>


Nein.

Richtig ist:

[mm]a_{\blue{n}}=\bruch{1}{2}\left( \ \integral_{0}^{2}{f\left(x\right)\cdot{}cos(\bruch{2\pi*\blue{n}}{4}x) \ dx}+\integral_{2}^{4}{f\left(x-4\right)cos(\bruch{2\pi*\blue{n}}{4}\cdot{}x) \ dx} \ \right)[/mm]


>
> Mit freundlichen Grüßen
>
>
> J.Dean


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                
Bezug
Periodische Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:35 Sa 13.04.2013
Autor: JamesDean

Aufgabe
Hey MathePower,

also ist der Wert für [mm] a_{1}=4 [/mm] weil [mm] a_{0} [/mm] den Wert 2 hat?


Mit freundlichen Grüßen

J.Dean

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Periodische Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:53 Sa 13.04.2013
Autor: MathePower

Hallo JamesDean,

> Hey MathePower,
>  
> also ist der Wert für [mm]a_{1}=4[/mm] weil [mm]a_{0}[/mm] den Wert 2 hat?
>  


Auch nicht.

Rechne das doch mal vor, wie Du auf [mm]a_{1}=4[/mm] kommst.


> Mit freundlichen Grüßen
>  
> J.Dean


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                                
Bezug
Periodische Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:00 Sa 13.04.2013
Autor: JamesDean

Aufgabe
[mm] a_{1}=\bruch{1}{2}\left( \ \integral_{0}^{2}{f\left(x\right)\cdot{}cos(\bruch{2\pi}{4}x) \ dx}+\integral_{2}^{4}{f\left(x-4\right)cos(\bruch{2\pi}{4}\cdot{}x) \ dx} \ \right) [/mm]

[mm] a_{1}=\bruch{1}{2}[sin(\bruch{2\pi}{4}x)]\vmat{ 2\\ 0 }+[sin(\bruch{2\pi}{4}x)*(x-4)-(-cos(\bruch{2\pi}{4}x)*1]\vmat{ 4\\ 2 } [/mm]

[mm] a_{1}=0+0+cos(2\pi)-cos(\pi) [/mm]

[mm] a_{1}=2 [/mm]

Das wer meine Lösung ... [mm] a_{1}=4 [/mm] habe ich nur gesagt weil es ja evtl. möglich ist das man [mm] a_{0} [/mm] mit rein rechnet.


Mein Wert für [mm] a_{0} [/mm] ist übrigens = 2


Mit freundlichen Grüßen

J.Dean

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Periodische Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:05 Sa 13.04.2013
Autor: MathePower

Hallo JamesDean,


> [mm]a_{1}=\bruch{1}{2}\left( \ \integral_{0}^{2}{f\left(x\right)\cdot{}cos(\bruch{2\pi}{4}x) \ dx}+\integral_{2}^{4}{f\left(x-4\right)cos(\bruch{2\pi}{4}\cdot{}x) \ dx} \ \right)[/mm]
>  
> [mm]a_{1}=\bruch{1}{2}[sin(\bruch{2\pi}{4}x)]\vmat{ 2\\ 0 }+[sin(\bruch{2\pi}{4}x)*(x-4)-(-cos(\bruch{2\pi}{4}x)*1]\vmat{ 4\\ 2 }[/mm]
>  
> [mm]a_{1}=0+0+cos(2\pi)-cos(\pi)[/mm]
>  
> [mm]a_{1}=2[/mm]
>  Das wer meine Lösung ... [mm]a_{1}=4[/mm] habe ich nur gesagt weil
> es ja evtl. möglich ist das man [mm]a_{0}[/mm] mit rein rechnet.
>  
>
> Mein Wert für [mm]a_{0}[/mm] ist übrigens = 2
>  


[mm]f\left(x\right)[/mm] ist doch [mm]4-x^{2}[/mm].


>
> Mit freundlichen Grüßen
>
> J.Dean


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                                                
Bezug
Periodische Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:18 Sa 13.04.2013
Autor: JamesDean

Mist.... stimmt ja!!!

danke

Bezug
                                                                                                                                        
Bezug
Periodische Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:28 Sa 13.04.2013
Autor: JamesDean

Aufgabe
Hey MathePower?

ich frag lieber nochmal bevor ich weiter rechne... hat [mm] a_{1} [/mm] den Wert 0 ?

Mit freundlcihen Grüßen

J.Dean

Bezug
                                                                                                                                                
Bezug
Periodische Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:36 Sa 13.04.2013
Autor: MathePower

Hallo JamesDean,

> Hey MathePower?
>  
> ich frag lieber nochmal bevor ich weiter rechne... hat
> [mm]a_{1}[/mm] den Wert 0 ?


Für [mm]n \ge 1[/mm] gilt: [mm]a_{n} \not= 0[/mm].


>  Mit freundlcihen Grüßen
>
> J.Dean


Gruss
MathePower

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Periodische Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:46 Sa 13.04.2013
Autor: JamesDean

Aufgabe
[mm] a_{1}=\bruch{1}{2}[sin(\bruch{2\pi}{4}x)]\vmat{ 2\\ 0 }+[sin(\bruch{2\pi}{4}x)\cdot{}(-6+x^2)+2x+cos(\bruch{2\pi}{4}x)]\vmat{ 4\\ 2 } [/mm]


[mm] a_{1}=0+0+[2*4*cos(\bruch{2\pi}{4}*4]-[2*2*cos(\bruch{2\pi}{4}*2] [/mm]

[mm] a_{1}=12 [/mm]

Hey MathePower,

letzte Störung wenn das nicht stimmt gebe ich es auf...

Dein Urteil?


Mit freundlichen Grüßen

J.Dean

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Periodische Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:24 Sa 13.04.2013
Autor: MathePower

Hallo JamesDean,

> [mm]a_{1}=\bruch{1}{2}[sin(\bruch{2\pi}{4}x)]\vmat{ 2\\ 0 }+[sin(\bruch{2\pi}{4}x)\cdot{}(-6+x^2)+2x+cos(\bruch{2\pi}{4}x)]\vmat{ 4\\ 2 }[/mm]
>  
>
> [mm]a_{1}=0+0+[2*4*cos(\bruch{2\pi}{4}*4]-[2*2*cos(\bruch{2\pi}{4}*2][/mm]
>  
> [mm]a_{1}=12[/mm]
>  Hey MathePower,
>  
> letzte Störung wenn das nicht stimmt gebe ich es auf...
>  


Morgen ist ja auch noch ein Tag.


> Dein Urteil?
>  


Leider Stimmt das auch nicht.


>
> Mit freundlichen Grüßen
>  
> J.Dean


Gruss
MathePower

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Periodische Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:40 Sa 13.04.2013
Autor: JamesDean

Aufgabe
Könntest du mir bitte evtl nur die Rechnung von [mm] a_{1} [/mm] zeigen ?

Mit freundlichen grüßen


J.dean




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Periodische Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:03 Sa 13.04.2013
Autor: MathePower

Hallo JamesDean,

> Könntest du mir bitte evtl nur die Rechnung von [mm]a_{1}[/mm]
> zeigen ?


Der Ansatz zur Berechnung dieses Koeffizienten:

[mm]a_{1}=\bruch{1}{2}*\left( \integral_{0}^{2}{\left(4-x^{2}\right)*\cos\left(\bruch{2*\pi}{4}*x\right) \ dx}+\integral_{2}^{4}{\left(4-\left(x-4\right)^{2}\right)*\cos\left(\bruch{2*\pi}{4}*x\right) \ dx}\right)[/mm]

Die Integrale  löst Du mit Hilfe der partiellen Integration.


>  Mit freundlichen grüßen
>  
>
> J.dean
>  


Gruss
MathePower

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Periodische Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:57 So 14.04.2013
Autor: JamesDean

Aufgabe
Berechnung von [mm] a_{1} [/mm]

[mm] a_{1}=\bruch{1}{2}\cdot{}\left( \integral_{0}^{2}{\left(4-x^{2}\right)\cdot{}\cos\left(\bruch{2\cdot{}\pi}{4}\cdot{}x\right) \ dx}+\integral_{2}^{4}{\left(4-\left(x-4\right)^{2}\right)\cdot{}\cos\left(\bruch{2\cdot{}\pi}{4}\cdot{}x\right) \ dx}\right) [/mm]

[mm] =\bruch{1}{2}([sin(\bruch{2\pi}{4}*x)*(6-x^2)+cos(\bruch{2\pi}{4}*x)*(-2x)]\vmat{ 2 \\ 0 }+[sin(\bruch{2\pi}{4}*x)*(-10+8x-x^2)+cos(\bruch{2\pi}{4}*x)*(8-2x)]\vmat{4 \\ 2}) [/mm]

[mm] =\bruch{1}{2}*(0-0-4-0+0-0+0-4) [/mm]

=2+2

[mm] a_{1}=4 [/mm]


Schönen guten Tag alle zusammen,


stimmt der Wert für [mm] a_{1} [/mm] jetzt?


Mit freundlichen Grüßen

J.DEan

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Periodische Funktion: Integrieren
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:01 So 14.04.2013
Autor: Infinit

Hallo James Dean,
dazu sage ich nur: Die Technik des Integrierens ist augenscheinlich spurlos an Dir vorrübergegangen, interessanterweise scheint Dir jedoch die Kettenregel etwas zu sagen, die Du mitunter munter in Dein Ergebnis einstreust.
Ich kann Dir nur den Tipp geben, erst einmal integrieren zu lernen.
Viele Grüße,
Infinit

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Periodische Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:58 So 14.04.2013
Autor: JamesDean

Aufgabe
Hey,

[mm] a_{1}=\bruch{1}{2}\cdot{}\left( \integral_{0}^{2}{\left(4-x^{2}\right)\cdot{}\cos\left(\bruch{2\cdot{}\pi}{4}\cdot{}x\right) \ dx}+\integral_{2}^{4}{\left(4-\left(x-4\right)^{2}\right)\cdot{}\cos\left(\bruch{2\cdot{}\pi}{4}\cdot{}x\right) \ dx}\right) [/mm]

[mm] a_{1}=\bruch{1}{2}\cdot{}\( \integral_{0}^{2}{\left(4-x^{2}\right)\cdot{}\cos\left(\bruch{2\cdot{}\pi}{4}\cdot{}x\right) \ dx} [/mm]

[mm] =\bruch{(2\pi^{2}*x^{2}-8\pi^{2}-16)*sin(\bruch{\pi*x}{2})+8\pi*x*cos(\bruch{\pi*x}{2})}{\pi^3} [/mm]

ist diese Integration besser?

Mit freundlichen Grüßen

J.Dean

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Periodische Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:04 So 14.04.2013
Autor: MathePower

Hallo JamesDean,

> Hey,
>  
> [mm]a_{1}=\bruch{1}{2}\cdot{}\left( \integral_{0}^{2}{\left(4-x^{2}\right)\cdot{}\cos\left(\bruch{2\cdot{}\pi}{4}\cdot{}x\right) \ dx}+\integral_{2}^{4}{\left(4-\left(x-4\right)^{2}\right)\cdot{}\cos\left(\bruch{2\cdot{}\pi}{4}\cdot{}x\right) \ dx}\right)[/mm]
>  
> [mm]a_{1}=\bruch{1}{2}\cdot{}\( \integral_{0}^{2}{\left(4-x^{2}\right)\cdot{}\cos\left(\bruch{2\cdot{}\pi}{4}\cdot{}x\right) \ dx}[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{(2\pi^{2}*x^{2}-8\pi^{2}-16)*sin(\bruch{\pi*x}{2})+8\pi*x*cos(\bruch{\pi*x}{2})}{\pi^3}[/mm]
>  ist diese Integration besser?
>  


Ja, das ist bis auf's Vorzeichen eine Stammfunktion des Integranden.


> Mit freundlichen Grüßen
>
> J.Dean


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                                                                                                                                        
Bezug
Periodische Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:44 So 14.04.2013
Autor: JamesDean

Aufgabe
Hey,

sorry hatte das Minus vergessen...
also mein Ergebnis für [mm] a_{1} [/mm] lautet [mm] a_{1}\approx1,62. [/mm]

Stimmt der Wert für [mm] a_{1}? [/mm]

für die Berechnung von [mm] b_{1} [/mm] kann ich da auch diese Integrale nutzen:

[mm] b_{1}=\bruch{1}{2}\cdot{}\left( \integral_{0}^{2}{\left(4-x^{2}\right)\cdot{}\cos\left(\bruch{2\cdot{}\pi}{4}\cdot{}x\right) \ dx}+\integral_{2}^{4}{\left(4-\left(x-4\right)^{2}\right)\cdot{}\cos\left(\bruch{2\cdot{}\pi}{4}\cdot{}x\right) \ dx}\right)? [/mm]

Zur Berechnung von [mm] a_{2} [/mm] müssten diese dann ja auch gelten oder? bis auf den Unterschied das es nicht [mm] 2\pi [/mm] sondern [mm] 4\pi [/mm] sind.

[mm] a_{2}=\bruch{1}{2}\cdot{}\left( \integral_{0}^{2}{\left(4-x^{2}\right)\cdot{}\cos\left(\bruch{4\cdot{}\pi}{4}\cdot{}x\right) \ dx}+\integral_{2}^{4}{\left(4-\left(x-4\right)^{2}\right)\cdot{}\cos\left(\bruch{4\cdot{}\pi}{4}\cdot{}x\right) \ dx}\right) [/mm]



Mit freundlichen Grüßen

J.Dean

Bezug
                                                                                                                                                                                                                                
Bezug
Periodische Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:23 So 14.04.2013
Autor: MathePower

Hallo JamesDean,

> Hey,
>  
> sorry hatte das Minus vergessen...
>  also mein Ergebnis für [mm]a_{1}[/mm] lautet [mm]a_{1}\approx1,62.[/mm]
>  Stimmt der Wert für [mm]a_{1}?[/mm]
>  


Nein, das ist erst die halbe Wahrheit.


> für die Berechnung von [mm]b_{1}[/mm] kann ich da auch diese
> Integrale nutzen:
>  
> [mm]b_{1}=\bruch{1}{2}\cdot{}\left( \integral_{0}^{2}{\left(4-x^{2}\right)\cdot{}\cos\left(\bruch{2\cdot{}\pi}{4}\cdot{}x\right) \ dx}+\integral_{2}^{4}{\left(4-\left(x-4\right)^{2}\right)\cdot{}\cos\left(\bruch{2\cdot{}\pi}{4}\cdot{}x\right) \ dx}\right)?[/mm]

>


Hier statt dem Cosinus ist der Sinus zu verwenden.

  

> Zur Berechnung von [mm]a_{2}[/mm] müssten diese dann ja auch gelten
> oder? bis auf den Unterschied das es nicht [mm]2\pi[/mm] sondern
> [mm]4\pi[/mm] sind.
>  
> [mm]a_{2}=\bruch{1}{2}\cdot{}\left( \integral_{0}^{2}{\left(4-x^{2}\right)\cdot{}\cos\left(\bruch{4\cdot{}\pi}{4}\cdot{}x\right) \ dx}+\integral_{2}^{4}{\left(4-\left(x-4\right)^{2}\right)\cdot{}\cos\left(\bruch{4\cdot{}\pi}{4}\cdot{}x\right) \ dx}\right)[/mm]

>


Ja.

  

>
>
> Mit freundlichen Grüßen
>  
> J.Dean


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                                                                                                                                                        
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Periodische Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:35 So 14.04.2013
Autor: JamesDean

Aufgabe
[mm] b_{1}=\bruch{1}{2}\cdot{}\left( \integral_{0}^{2}{\left(4-x^{2}\right)\cdot{}\sin\left(\bruch{2\cdot{}\pi}{4}\cdot{}x\right) \ dx}+\integral_{2}^{4}{\left(4-\left(x-4\right)^{2}\right)\cdot{}\sin\left(\bruch{2\cdot{}\pi}{4}\cdot{}x\right) \ dx}\right) [/mm]

ich meinte das natürlich so ...

Die halbe Wahrheit....was heißt die halbe Wahrheit?

[mm] a_{1}+a_{0} [/mm] vielleicht? oder muss man noch irgendwelche Grenzen oder ähnliches beachten?


Mit freundlichen Grüßen

J.Dean


Bezug
                                                                                                                                                                                                                                                
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Periodische Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:05 So 14.04.2013
Autor: MathePower

Hallo JamesDean,

> [mm]b_{1}=\bruch{1}{2}\cdot{}\left( \integral_{0}^{2}{\left(4-x^{2}\right)\cdot{}\sin\left(\bruch{2\cdot{}\pi}{4}\cdot{}x\right) \ dx}+\integral_{2}^{4}{\left(4-\left(x-4\right)^{2}\right)\cdot{}\sin\left(\bruch{2\cdot{}\pi}{4}\cdot{}x\right) \ dx}\right)[/mm]
>  
> ich meinte das natürlich so ...
>  Die halbe Wahrheit....was heißt die halbe Wahrheit?
>  
> [mm]a_{1}+a_{0}[/mm] vielleicht? oder muss man noch irgendwelche
> Grenzen oder ähnliches beachten?
>  


Du hast erst über das Intervall [mm]\left[0,2\right][/mm] integriert.
Es ist auch noch über das Intervall [mm]\left[2,4\right][/mm] zu integrieren.


>
> Mit freundlichen Grüßen
>
> J.Dean

>


Gruss
MathePower  

Bezug
                                                                                                                                                                                                                                                        
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Periodische Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:23 So 14.04.2013
Autor: JamesDean

Aufgabe
??? also ich habe:

[mm] \bruch{1}{2}\cdot{}\( \integral_{0}^{2}{\left(4-x^{2}\right)\cdot{}\sin\left(\bruch{2\cdot{}\pi}{4}\cdot{}x\right) \ dx} [/mm]  im Intervall $ [mm] \left[0,2\right] [/mm] $ integriert.

Ergebnis=1,62

dann habe ich:

[mm] \integral_{2}^{4}{\left(4-\left(x-4\right)^{2}\right)\cdot{}\sin\left(\bruch{2\cdot{}\pi}{4}\cdot{}x\right) \ dx}\) [/mm] im Intervall $ [mm] \left[2,4\right] [/mm] $ integriert.

Ergebnis=1,62

anschließend habe ich folgendes gerechnet:

[mm] a_{1}=\bruch{1}{2}(1,62+1,62) [/mm]

Resultat [mm] a_{1}=1,62 [/mm]

und das habe ich sogar mehrmals getan um Rechenfehler auszuschließen.

Mit freundlichen Grüßen

J.Dean

Bezug
                                                                                                                                                                                                                                                                
Bezug
Periodische Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:00 So 14.04.2013
Autor: MathePower

Hallo JamesDean,

> ??? also ich habe:
>  
> [mm]\bruch{1}{2}\cdot{}\( \integral_{0}^{2}{\left(4-x^{2}\right)\cdot{}\sin\left(\bruch{2\cdot{}\pi}{4}\cdot{}x\right) \ dx}[/mm]
>  im Intervall [mm]\left[0,2\right][/mm] integriert.
>  
> Ergebnis=1,62
>  
> dann habe ich:
>  
> [mm]\integral_{2}^{4}{\left(4-\left(x-4\right)^{2}\right)\cdot{}\sin\left(\bruch{2\cdot{}\pi}{4}\cdot{}x\right) \ dx}\)[/mm]
> im Intervall [mm]\left[2,4\right][/mm] integriert.
>  
> Ergebnis=1,62
>  
> anschließend habe ich folgendes gerechnet:
>  
> [mm]a_{1}=\bruch{1}{2}(1,62+1,62)[/mm]
>  
> Resultat [mm]a_{1}=1,62[/mm]


Vom Zahlenwert  her ist das korrekt.

Besser Du bringst das in diese Form:

[mm]a_{1}=\bruch{16}{\pi^{2}}[/mm]


>  und das habe ich sogar mehrmals getan um Rechenfehler
> auszuschließen.
>  
> Mit freundlichen Grüßen
>  
> J.Dean


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                                                                                                                                                                                        
Bezug
Periodische Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:16 So 14.04.2013
Autor: JamesDean

Achso.... Habe das Ergebnis mittels Taschenrechner berechnet.

Naja vielen Dank für deine Geduld.

Mit freundlichen Grüßen


J.Dean

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