Pascal-Verteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Seien [mm] X_{1} [/mm] und [mm] X_{2} [/mm] unabhängige Zufallsvariablen, wobei [mm] X_{i} Pasc(r_{i}, [/mm] p)-verteilt sei mit [mm] r_{i} \in \IN [/mm] für i=1,2 und p [mm] \in [/mm] (0, 1). Zeigen Sie, dass [mm] X_{1}+X_{2} Pasc(r_{1}+r_{2}, [/mm] p)-verteilt ist. Wie ist [mm] X_{1} [/mm] gegeben [mm] X_{1}+X_{2}=l [/mm] für l [mm] \ge r_{1}+r_{2} [/mm] verteilt? |
Hallo,
ich hätte erstmal eine allgemeine Frage, weil unser Beweis gerade da hängt.
Wie kann ich zeigen, dass [mm] \summe_{i=1}^{l}\vektor{i-1 \\ r_{1}-1}\vektor{l-i-1 \\ r_{2}-1}=\vektor{l-1 \\ r_{1}+r_{2}-1} [/mm] gilt??
Damit hätten wirs nämlich dastehen. Haben schon ziemlich viel rumprobiert, kommen aber zu keinem Ergebnis.
Vielen Dank schon mal für Bemühungen.
Gruß Michi
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:55 Mi 12.12.2007 | | Autor: | luis52 |
Hallo Michael,
drei Fragen:
1) Mit welcher Spezifikation der Pascalverteilung arbeitest du?
D.h. was ist der kleinste Wert, der angenommen wird, 0 oder [mm] $r_i$?
[/mm]
Also es waere hilfreich, wenn du die Wahrscheinlichkeitsfunktion
einmal mitteilen wuerdest.
2) Du willst die Aufgabe mit dem Faltungssatz loesen, nicht wahr?
3) Kennst du dich schon mit momenterzeugenden Funktionen aus?
vg Luis
|
|
|
| |
|
> 1) Mit welcher Spezifikation der Pascalverteilung arbeitest
> du?
Also ich hab einfach bei Wikipedia nachgeschaut, und mir da folgende Formel genommen:
[mm] P(X=n)=\vektor{n-1 \\ r-1}p^{r}(1-p)^{n-r}
[/mm]
>
> 2) Du willst die Aufgabe mit dem Faltungssatz loesen, nicht
> wahr?
Hmm, der ist mir nicht bekannt. Ich wollte halt einfach unformen bis es dasteht 
> 3) Kennst du dich schon mit momenterzeugenden Funktionen
> aus?
Ähm nee.....bin 3. Semester. Also erst Analysis I und II gehört
MfG Michi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:33 Fr 14.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:32 Mi 12.12.2007 | | Autor: | Zorba |
1) [mm] \vektor{l-1\\ r-1}p^{r}(1-p)^{l-r}
[/mm]
2)Ja will er(und ich auch...).Er muss nur noch die eine Äquivalenz zeigen.
3) Nein haben wir noch nicht gemacht und dürfen sie deswegen nicht verwenden.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:32 Mi 12.12.2007 | | Autor: | Zorba |
Hey,
ich besuch die gleiche Vorlesung wie du und bin auch an der Stelle nich weitergekommen. Aber ich denk ich werds noch hinkriegen und schreib dann die Lösung hier rein. Vlt Induktion? Oder eine Formel über Binomialkoeffizienten?
viele Grüße!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:51 Mi 12.12.2007 | | Autor: | luis52 |
Hallo ihr zwei!
Schoen, dass ihr euch so gut versteht!
Kann mir auch jemand meine Frage beantworten?
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:14 Do 13.12.2007 | | Autor: | luis52 |
> Hey,
> ich besuch die gleiche Vorlesung wie du und bin auch an der
> Stelle nich weitergekommen. Aber ich denk ich werds noch
> hinkriegen und schreib dann die Lösung hier rein.
Hallo Alexis,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Ich freue mich, dass du so beherzt ins Geschehen hier eingreifst.
Bin sehr gespannt auf deine Loesung.
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:12 Fr 14.12.2007 | | Autor: | luis52 |
> Wie kann ich zeigen, dass [mm]\summe_{i=1}^{l}\vektor{i-1 \\ r_{1}-1}\vektor{l-i-1 \\ r_{2}-1}=\vektor{l-1 \\ r_{1}+r_{2}-1}[/mm]
> gilt??
Gar nicht, denn sie ist falsch: Betrachte [mm] $r_1=r_2=2$ [/mm] und $l=5$:
[mm] $\summe_{i=1}^{l}\vektor{i-1 \\ 2-1}\vektor{5-i-1 \\ 2-1}=\sum_{i=1}^5(i-1)(4-i)=0 [/mm] +2 + 2+ 0 [mm] -4=0\ne 4={5-1\choose 2+2-1}$
[/mm]
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:23 Fr 14.12.2007 | | Autor: | Zorba |
Die Summe muss von 0 beginnen. Aber dann gehts irgendwie auch nicht.Wie löst man denn dann die ursprüngliche Aufgabe?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:04 Fr 14.12.2007 | | Autor: | luis52 |
> Die Summe muss von 0 beginnen. Aber dann gehts irgendwie
> auch nicht.Wie löst man denn dann die ursprüngliche
> Aufgabe?
@Alexis: Na, das klingt ja schon etwas kleinlauter...
Das Problem besteht darin, dass ihr mit den Wahrscheinlichkeitsfunktionen
schlampig rumhantiert. Die sind naemlich so gegeben:
[mm] $P(X_i=x)=\binom{x-1}{r_i-1}p^{r_i}q^{x-r_i}\chi_{_{M_i}}(x)$.
[/mm]
Dabei ist [mm] $\chi_M_i$ [/mm] die Indikatorfunktion der Menge [mm] $M_i=\{r_i,r_i+1,...\}$ [/mm] mit [mm] $\chi_M_i(x)=1$
[/mm]
fuer [mm] $x\in [/mm] M$ und [mm] $\chi_M_i(x)=0$ [/mm] fuer [mm] $x\not\in M_i$. [/mm] Damit ist der Ausdruck oben
so zu lesen: [mm] $P(X_i=x)=\binom{x-1}{r_i-1}p^{r_i}q^{x-r_i}$ [/mm] fuer [mm] $x=r_i,r_i+1,r_i+2,...$ [/mm] und [mm] $P(X_i=x)=0$ [/mm] sonst.
Wollt ihr nun den Faltungssatz anwenden, so ist also fuer
[mm] $z=r_1+r_2,r_1+r_2+1,...$ [/mm] (ich verwende ungern l, weil man es nur schwer
von 1 unterscheiden kann)
[mm] \begin{matrix}
P(X_1+X_2=z) &=&\sum_iP(X_1=i)P(X_2=z-i) \\
&=&\sum_iP(X_1=i)P(X_2=z-i) \\
&=&\sum_i\binom{i-1}{r_1-1}p^{r_1}q^{i-r_1}\chi_{M_1}(i) \binom{z-i-1}{r_2-1}p^{r_2}q^{z-i-r_2}\chi_{M_2}(z-i) \\
&=&p^{r_1+r_2}q^{z-r_1-r_2}\sum_{i=r_1}^{z-r_2}\binom{i-1}{r_1-1}\binom{z-i-1}{r_2-1}
\end{matrix}
[/mm]
Und in der Tat, es gilt:
[mm] $\sum_{i=r_1}^{z-r_2}\binom{i-1}{r_1-1}\binom{z-i-1}{r_2-1}=\binom{z-1}{r_1+r_2-1}\,,$
[/mm]
was in meinen Augen eine bemerkenswerte Formel ist.
Aber wie beweist man das? Ich habe einen Beweis, der euch wahrscheinlich nicht gefallen wird:
[mm] $X_i$ [/mm] zaehlt aus, wieviel Versuche benoetigt werden, bis zum [mm] $r_i$-ten
[/mm]
Mal ein Treffer auftritt. Wegen der Unabhaengigkeit der Versuche zaehlt
[mm] $X_1+X_2$ [/mm] die Anzahl der Versuche, bis zum [mm] $(r_1+r_2)$-ten [/mm] Mal ein
Treffer aufgetreten ist. Das aber ist die Behauptung.
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:12 Fr 14.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
