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| Aufgabe | | Integrieren Sie [mm] \bruch{2x²+3x+4}{x³+x²+2x} [/mm] |
Hi,
irgendwie verwirrt mich die Aufgabe.
Wie schreibe ich denn den Nenner in Linearfaktoren? Ist x(x²+x+2) richtig? Wenn ja, wie gehe ich dann weiter vor? Bisher hatte ich immer unter dem Bruch was in der Art wie (x-1)²(x+2), mit dieser Aufgabe komme ich nicht klar :(
Gruß
Meli
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> Integrieren Sie [mm]\bruch{2x²+3x+4}{x³+x²+2x}[/mm]
> Hi,
>
> irgendwie verwirrt mich die Aufgabe.
> Wie schreibe ich denn den Nenner in Linearfaktoren? Ist
> x(x²+x+2) richtig? Wenn ja, wie gehe ich dann weiter vor?
> Bisher hatte ich immer unter dem Bruch was in der Art wie
> (x-1)²(x+2), mit dieser Aufgabe komme ich nicht klar :(
>
> Gruß
> Meli
Zunächst mal hast du ja schon angefangen, dass es so ähnlich aussieht wie es dir bekannt ist. Dein Nenner-Polynom ist ja vom Grad 3, d.h. es hat 3 komplexe Nullstellen, muss aber nicht unbedingt 3 reelle Nullstellen haben. In deinem Beispiel ist eben nur die 0 eine reelle NST, weil die Klammer [mm]x^2+x+2[/mm] nicht mehr 0 werden kann.
Jetzt musst du nur deinen Ansatz für die Zerlegung verändern. Wenn du erst einmal nur die Nenner betrachtest:
[mm]\bruch{2x²+3x+4}{x³+x²+2x} = \bruch{...}{x} + \bruch{...}{x^2+x+2}[/mm]
Die Kernidee besteht ja darin, dass im Zähler (bis auf einen konstanten Faktor) die Ableitung des Nenners steht, also musst du im zweiten Bruch im Zähler ein lineares Polynom ansetzen, sprich:
[mm]\bruch{2x²+3x+4}{x³+x²+2x} = \bruch{A}{x} + \bruch{B + C*x}{x^2+x+2}[/mm]
Wie gehabt kannst du jetzt die Werte für A, B und C berechnen. Damit bekommst du schon mal den einenTeil des Integrals heraus.
Im zweiten Teil musst du noch eine Substitution machen bevor du das integrieren kannst - wenn du dabei noch Probleme hast, kannst du ja nochmal nachfragen.
Ergebnis sollte sein:
[mm]2*ln(x) + \bruch{2*\wurzel{7}}{7}*arctan \left( \bruch{\wurzel{7}*(2x+1)}{7} \right)[/mm]
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Schon mal vielen Dank für die ausführliche Antwort.
Ich habe dann versucht A,B,C auszurechnen, aber irgendwie komme ich da nicht weiter.
Wenn ich alles auf einen Nenner bringe habe ich:
2x²+3x+4 = A(x²+x+2)+(B+Cx)x
wenn ich jetzt x=0 setze bekomme ich 4=2A --> A=2
Jetzt habe ich für das A die 2 eingesetzt und bekomme:
x=Bx+Cx²
0=B+Cx²
Ich habe dann wieder x=0 gesetzt und habe dann B=0, aber das macht ja irgendwie keinen Sinn. Wo habe ich hier einen Fehler gemacht? Darf ich überhaupt für das A schon die 2 einsetzen?
Gruß
Meli
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:13 Mo 22.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Schon mal vielen Dank für die ausführliche Antwort.
> Ich habe dann versucht A,B,C auszurechnen, aber irgendwie
> komme ich da nicht weiter.
> Wenn ich alles auf einen Nenner bringe habe ich:
> 2x²+3x+4 = A(x²+x+2)+(B+Cx)x
> wenn ich jetzt x=0 setze bekomme ich 4=2A --> A=2
> Jetzt habe ich für das A die 2 eingesetzt und bekomme:
> x=Bx+Cx²
Aus dieser Gleichung folgt durch Koeffizientenvergleich: C = 0 und B=1
> 0=B+Cx²
Wie kommst Du auf diese Gleichung ??
FRED
> Ich habe dann wieder x=0 gesetzt und habe dann B=0, aber
> das macht ja irgendwie keinen Sinn. Wo habe ich hier einen
> Fehler gemacht? Darf ich überhaupt für das A schon die 2
> einsetzen?
>
> Gruß
> Meli
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Das ² sollte da nicht hin, hab mich vertippt.
Danke für die Antwort :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 Mo 22.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Dann muß da aber
1=B+Cx
stehen
FRED
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Leider komme ich mit dem Substituieren auch nicht gut klar. Wäre super, wenn mir jemand den Ansatz sagen könnte, also was substituiert wird.
Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 Mo 22.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Meli!
Ich nehme mal an / rate, dass Du nunmehr folgenden Bruch meinst:
[mm] $$\bruch{1}{x^2+x+2}$$
[/mm]
Dies formen wir mal um zu:
[mm] $$\bruch{1}{x^2+x+2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{x^2+2*\bruch{1}{2}*x+2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{x^2+2*\bruch{1}{2}*x+\bruch{1}{4}-\bruch{1}{4}+2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\left(x+\bruch{1}{2}\right)^2+\bruch{7}{4}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\left(x+\bruch{1}{2}\right)^2+\left(\bruch{\wurzel{7}}{2}\right)^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\left(\bruch{\wurzel{7}}{2}\right)^2}*\bruch{1}{\left(\bruch{x+\bruch{1}{2}}{\bruch{\wurzel{7}}{2}}\right)^2+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4}{7}*\bruch{1}{\left(\bruch{2x+1}{\wurzel{7}}\right)^2+1}$$
[/mm]
Nun den Term in der Klammer substituieren.
Gruß
Loddar
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Ok, danke!
Aber ich glaube unter dem Bruch steht zu Beginn [mm] \bruch{...}{(x+0,5)²..} [/mm] oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:54 Mo 22.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Meli!
Du hast Recht: ein Tippfehler, der sich durch das Kopieren vervielfältigt hat. Es ist nunmehr korrigiert.
Gruß
Loddar
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alles klar.
Vielen Dank :)
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