www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Parametrisierung
Parametrisierung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Parametrisierung: "Tipp"
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:21 Di 02.05.2017
Autor: Ardbeg

Aufgabe
Betrachten Sie folgende Parametrisierung von Koordinaten in der xy-Ebene: $ [mm] x=se^{u} [/mm] $ und $ [mm] y=se^{−u} [/mm] $ , wobei u [mm] \in \IR [/mm] und s > 0.

a) Berechnen Sie die Einheitsvektoren [mm] \vec{u} [/mm] und [mm] \vec{s} [/mm] dieses Koordinatensystems.
b) Zeigen Sie, dass [mm] \vec{u} [/mm] und [mm] \vec{s} [/mm] orthogonal zueinander sind.
c) Berechnen Sie den Geschwindigkeitsvektor in den gegebenen Koordinaten.
d) Geben Sie an, wie die Beschleunigung im krummlinigen System lautet.

Hallo!

Ich habe hier eine recht simple Aufgabe, die mich dann doch sehr zum Nachdenken bewegt und ich auch nicht mehr wirklich weiter weiß. Hier mal meine Ansätze.

zu 1:
Eigentlich habe ich gedacht, dass es einfach wäre die Vektoren aufzustellen, da ich nur nach den bestimmenden Parametern umstellen muss und dann die Koordinaten zuordne.

$ [mm] x=se^{u} \gdw s=\bruch{x}{e^{u}}=x*e^{-u} [/mm] $ und $ [mm] y=se^{-u} \gdw s=\bruch{y}{e^{-u}}=y*e^{u} [/mm] $

also: $ [mm] \vec{s}(t)=\vektor{e^{-u} \\ e^{u}}\vec{t} [/mm] $

Für [mm] \vec{u} [/mm] gebe ich direkt mal den Vektor an:

also: $ [mm] \vec{u}(t)=\vektor{ln(\bruch{t}{s}) \\ -ln(\bruch{t}{s})} [/mm] $

Ich habe auch schon beide Vektoren normiert und deren Skalarprodukt gebildet, wollte aber erst einmal wissen, ob denn diese Vektoren überhaupt so stimmen. Sonst wäre der Rest ja auch komplett falsch.

Gruß
Ardbeg

        
Bezug
Parametrisierung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:57 Di 02.05.2017
Autor: Chris84

Huhu,

> Betrachten Sie folgende Parametrisierung von Koordinaten in
> der xy-Ebene: [mm]x=se^{u}[/mm] und [mm]y=se^{−u}[/mm] , wobei u [mm]\in \IR[/mm]
> und s > 0.

Wir merken uns hier mal [mm] $\vec{r}(s,u)=\vektor{se^u \\ se^{-u}} [/mm] $. (Dein Minuszeichen bei der $y$-Komponente ist uebrigens verschollen.)

>  
> a) Berechnen Sie die Einheitsvektoren [mm]\vec{u}[/mm] und [mm]\vec{s}[/mm]
> dieses Koordinatensystems.

Es waere hier deutlich sinniger gewesen, die Einheitsvektoren [mm] $\vec{e}_{u}$ [/mm] und [mm] $\vec{e}_{s}$ [/mm] zu nennen, um nicht mit den Parametern $u$ und $s$ von [mm] $\vec{r}$ [/mm] durcheinander zu kommen.

> b) Zeigen Sie, dass [mm]\vec{u}[/mm] und [mm]\vec{s}[/mm] orthogonal
> zueinander sind.
>  c) Berechnen Sie den Geschwindigkeitsvektor in den
> gegebenen Koordinaten.
>  d) Geben Sie an, wie die Beschleunigung im krummlinigen
> System lautet.
>  Hallo!
>  
> Ich habe hier eine recht simple Aufgabe, die mich dann doch
> sehr zum Nachdenken bewegt und ich auch nicht mehr wirklich
> weiter weiß. Hier mal meine Ansätze.
>  
> zu 1:
> Eigentlich habe ich gedacht, dass es einfach wäre die
> Vektoren aufzustellen, da ich nur nach den bestimmenden
> Parametern umstellen muss und dann die Koordinaten
> zuordne.
>  
> [mm]x=se^{u} \gdw s=\bruch{x}{e^{u}}=x*e^{-u}[/mm] und [mm]y=se^{-u} \gdw s=\bruch{y}{e^{-u}}=y*e^{u}[/mm]
>  
> also: [mm]\vec{s}(t)=\vektor{e^{-u} \\ e^{u}}\vec{t}[/mm]
>
> Für [mm]\vec{u}[/mm] gebe ich direkt mal den Vektor an:
>  
> also: [mm]\vec{u}(t)=\vektor{ln(\bruch{t}{s}) \\ -ln(\bruch{t}{s})}[/mm]
>  

Ich bin mir nicht sicher, was du hier machst (siehe aber auch die Notationsprobleme weiter oben), aber man sieht relativ schnell, dass die beiden Vektoren, die du berechnet hast, nicht senkrecht aufeinander stehen.

TIPP: Es ist [mm] $\vec{e}_{j}=\frac{\frac{\partial \vec{r}}{\partial j}}{|\frac{\partial \vec{r}}{\partial j}|}$ [/mm] mit [mm] $j\in \{u,s\}$ [/mm] und [mm] $|\cdot|$ [/mm] bezeichne hier die euklidische Norm.

Hilft das?

> Ich habe auch schon beide Vektoren normiert und deren
> Skalarprodukt gebildet, wollte aber erst einmal wissen, ob
> denn diese Vektoren überhaupt so stimmen. Sonst wäre der
> Rest ja auch komplett falsch.
>
> Gruß
>  Ardbeg

Gruss,
Chris

Bezug
                
Bezug
Parametrisierung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:01 Mi 03.05.2017
Autor: Ardbeg

Hallo Chris,

danke erst einmal für deine Hilfe. Und stimmt, mir ist da beim Tippen wohl ein Minuszeichen verloren gegangen. Meine Idee war es, die Vektoren über die x und y Koordinate auszudrücken, wobei es wohl wirklich einfacher mit dem typischen Formalismus geht.

Dennoch scheine ich dabei ebenfalls einen Fehler gemacht zu haben oder die Funktionen wären nur für einen bestimmten Fall orthogonal, was ich mir nicht vorstellen kann.

Es ist: $ [mm] \vec{e_{u}}=\bruch{1}{s*\wurzel{e^{2u}+e^{-2u}}}*\vektor{s*e^{u} \\ -s*e^{-u}} [/mm] $ und $ [mm] \vec{e_{s}}=\bruch{1}{\wurzel{e^{2u}+e^{-2u}}}*\vektor{e^{u} \\ e^{-u}} [/mm] $

Bilde ich jetzt das Skalarprodukt, dann komme ich auf den Term: $ [mm] e^{2u}-e^{-2u} [/mm] $
Dieser kann aber nur $ 0 $ werden, wenn $ u=-u $ ist, würde somit ja nicht auf alle $ u [mm] \in \IR [/mm] $ zutreffen. Das will mir noch nicht so richtig einleuchten.

Gruß
Dennis

Bezug
                        
Bezug
Parametrisierung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:20 Mi 03.05.2017
Autor: Chris84


> Hallo Chris,

Huhu,

>
> danke erst einmal für deine Hilfe. Und stimmt, mir ist da
> beim Tippen wohl ein Minuszeichen verloren gegangen. Meine
> Idee war es, die Vektoren über die x und y Koordinate
> auszudrücken, wobei es wohl wirklich einfacher mit dem
> typischen Formalismus geht.
>
> Dennoch scheine ich dabei ebenfalls einen Fehler gemacht zu
> haben oder die Funktionen wären nur für einen bestimmten
> Fall orthogonal, was ich mir nicht vorstellen kann.
>
> Es ist:
> [mm]\vec{e_{u}}=\bruch{1}{s*\wurzel{e^{2u}+e^{-2u}}}*\vektor{s*e^{u} \\ -s*e^{-u}}[/mm]
> und
> [mm]\vec{e_{s}}=\bruch{1}{\wurzel{e^{2u}+e^{-2u}}}*\vektor{e^{u} \\ e^{-u}}[/mm]

Das bekomme ich auch (beim ersten Basisvektor kann man noch das $s$ kuerzen).

>  
> Bilde ich jetzt das Skalarprodukt, dann komme ich auf den
> Term: [mm]e^{2u}-e^{-2u}[/mm]

Du hast das Produkt der Wurzeln im Nenner vergessen, also eigentlich kommt da
[mm] $\frac{e^{2u}-e^{-2u}}{e^{2u}+e^{-2u}}$ [/mm] raus.

>  Dieser kann aber nur [mm]0[/mm] werden, wenn [mm]u=-u[/mm] ist, würde somit
> ja nicht auf alle [mm]u \in \IR[/mm] zutreffen. Das will mir noch
> nicht so richtig einleuchten.

Hmm, also wenn wir nicht beide irgendwo einen groben Schnitzer gemacht haben, sehe ich tatsaechlich keine Orthogonalitaet fuer alle $(s,u)$!?
Hast du nochmal die Aufgabenstellung ueberprueft?

>
> Gruß
>  Dennis

Gruss,
Chris

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de