Parallelogramme teil 2 < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a)
Zeigen Sie, dass die Punkte A=(1,-2,1), B=(4,3,3), C=(3,4,2) und D=(0,-1,0) ein Parallelogramm ABCD (man beachte die Reihenfolge) bilden. Berechnen Sie den Schnittpunkt der Diagonalen.
b)
Zeigen Sie für beliebige [mm] u,v\in\IR^2:
[/mm]
[mm] |u+v|^2+|u-v|^2=2(|u|^2+|v|^2)
[/mm]
Warum wird dies als Parallelogrammgleichung bezeichnet?
c)
Zeigen Sie für beliebige [mm] u,v\in\IR^3:
[/mm]
u-v, u+v sind genau dann orthogonal, wenn |u|=|v| gilt.
Was bedeutet dies für das Parallelogramm, das von u, v aufgespannt wird ?
d)
skizzieren Sie für gegebene [mm] u,v\in\IR^2 [/mm] die menge
[mm] \{\alpha*u+\beta*v|\alpha, \beta\in [0,1]\} [/mm] |
a)
bei einem Parallelogramm sind die gegenüberliegenden Seiten gleichlang. Das heißt es gilt:
[mm] \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}
[/mm]
ich habe das gesprüft und das trifft zu. Reicht das um zu zeigen, das es sich hier um ein Parallelogramm handelt? oder muss ich noch weitere Bedingungen prüfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 Di 12.04.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> a)
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> Zeigen Sie, dass die Punkte A=(1,-2,1), B=(4,3,3),
> C=(3,4,2) und D=(0,-1,0) ein Parallelogramm ABCD (man
> beachte die Reihenfolge) bilden. Berechnen Sie den
> Schnittpunkt der Diagonalen.
>
> a)
>
> bei einem Parallelogramm sind die gegenüberliegenden
> Seiten gleichlang. Das heißt es gilt:
>
> [mm]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}[/mm]
>
> ich habe das gesprüft und das trifft zu. Reicht das um zu
> zeigen, das es sich hier um ein Parallelogramm handelt?
> oder muss ich noch weitere Bedingungen prüfen?
Theoretisch müsstest du noch zeigen, dass sich die gegenüberliegenden Seiten nicht schneiden. Denn ein ![[]](/images/popup.gif) Parallelogramm fordert genau das. Aber das ist ja recht schnell gemacht.
Marius
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Doofe Frage: wie zeige ich das sich 2 vektoren nicht schneiden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 Di 12.04.2016 | | Autor: | abakus |
> Doofe Frage: wie zeige ich das sich 2 vektoren nicht
> schneiden?
Vektoren schneiden sich sowieso nicht. Vektoren haben unendlich viele Pfeile als Repräsentanten. Du kannst dir zwei Pfeile aussuchen, die meilenweit voneinander entfernt sind.
Ein Parallelogramm ist bereits dann nachgewiesen, wenn man ein Paar gleich langer und (echt) paralleler Seiten hat. (Dazu dient [mm] $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, [/mm] siehe Antwort von Leopold_Gast.)
Man muss lediglich ausschließen, dass die 4 Punkte alle auf einer gemeinsamen Geraden liegen, denn dann hat man kein echtes Parallelogramm.
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Und wenn man auch entartete Parallelogramme zuläßt, muß man nicht einmal das Letzte überprüfen.
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Es reicht vollkommen, [mm]\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}[/mm] oder (!!!) [mm]\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}[/mm] zu zeigen. Denn die eine Bedingung ist eine Folgerung der andern. Nehmen wir Kleinbuchstaben für die Ortsvektoren der Punkte, so gilt:
[mm]\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \ \ \Leftrightarrow \ \ \vec{b} - \vec{a} = \vec{c} - \vec{d} \ \ \Leftrightarrow \ \ \vec{c} - \vec{b} = \vec{d} - \vec{a} \ \ \Leftrightarrow \ \ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}[/mm]
Auch ist es völlig überflüssig, weitere Bedingungen zu überprüfen, wie M.Rex es meint. Das führt nur in die Irre. Der Wikipedia-Artikel ist da nicht gerade hilfreich. Warum fehlt dort die charakterisierende Eigenschaft, von der das Parallelogramm den Namen hat? (Sie ist indirekt in der Punktsymmetrie versteckt.)
Ein Viereck ist genau dann ein Parallelogramm, wenn einander gegenüberliegende Seiten jeweils parallel sind.
Oder Folgendes:
Ein Viereck ist genau dann ein Parallelogramm, wenn zwei sich gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang sind.
Und genau die letzte Bedingung überprüft [mm]\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}[/mm].
Denn diese Gleichung könnte man auch so interpretieren: Die Strecken [mm]AB[/mm] und [mm]DC[/mm] sind gleich lang, parallel und gleich gerichtet. Und die Gleichgerichtetheit sorgt dafür, daß [mm]ABCD[/mm], die in dieser Reihenfolge verbunden, ein Viereck ergibt, also ohne überschlagene, d.h. sich schneidende Seiten.
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Bei a) muss ich noch den Schnittpunkt der diagonalen bestimmen. Die Diagonalen halbieren einander. Deshalb gilt für den Schnittpunkt:
[mm] d_{schnitt}=A+\bruch{1}{2}*\overrightarrow{AC}=\vektor{1 \\ -2 \\ 1}+\bruch{1}{2}*\vektor{2 \\ 6 \\ 1}=\vektor{2 \\ 1 \\ 1,5}
[/mm]
oder
[mm] d_{schnitt}=\bruch{1}{2}*\overrightarrow{AC}=\bruch{1}{2}*\vektor{2 \\ 6 \\ 1}=\vektor{1 \\ 3\\ 0,5}
[/mm]
ich bin mir gerade nichgt sicher welche der beiden lösung richtig ist und was der unterschied ist.
Ist die erste Lösung der Schnittpunkt (also die richtige Lösung) und die letztere lösung nur die halbe strecke der Diagonale (also nicht der schnittpunkt, nur die halbe strecke) ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:10 Di 12.04.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Bei a) muss ich noch den Schnittpunkt der diagonalen
> bestimmen. Die Diagonalen halbieren einander. Deshalb gilt
> für den Schnittpunkt:
>
> [mm]d_{schnitt}=A+\bruch{1}{2}*\overrightarrow{AC}=\vektor{1 \\ -2 \\ 1}+\bruch{1}{2}*\vektor{2 \\ 6 \\ 1}=\vektor{2 \\ 1 \\ 1,5}[/mm]
>
> oder
>
>
> [mm]d_{schnitt}=\bruch{1}{2}*\overrightarrow{AC}=\bruch{1}{2}*\vektor{2 \\ 6 \\ 1}=\vektor{1 \\ 3\\ 0,5}[/mm]
>
> ich bin mir gerade nichgt sicher welche der beiden lösung
> richtig ist und was der unterschied ist.
Lösung A ist korrekt, denn du musst vom Ursprung aus zuerst zum Punkt A, danach die halbe Strecke AC entlanglaufen, um den Schnittpunkt der Diagonalen zu bekommen.
Wenn du den Vektor [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] nur halbiert hast du nur die Länge des Vektors halbiert, da du diesen aber immer noch beliebig im Raum verschieben kannst, ist daas noch nicht die Lösung.
Erst, wenn du diesen halben Vektor an den Eckpunkt A anhängst, bekommst du den Diagonalenschnittpunkt.
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:14 Di 12.04.2016 | | Autor: | abakus |
Die erste Lösung ist zwar korrekt, in ihrer unnötigen Kompliziertheit aber trotzdem schlimm.
Um den Mittelpunkt der Strecke AC zu finden, bildet man ganz einfach das arithmetische Mittel der x-Koordinaten, der y-Koordinaten bzw. der z-Koordinaten von A und C.
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[mm] |u+v|^2+|u-v|^2
[/mm]
[mm] =(u_1+v_1)^2+(u_2+v_2)^2+(u_1-v_1)^2+(u_2-v_2)^2
[/mm]
[mm] =u_1^2+2u_1*v_1+v_1^2+u_2^2+2u_2*v_2+v_2^2+u_1^2-2u_1*v_1+v_1^2+u_2^2-2u_2*v_2+v_2^2
[/mm]
[mm] =u_1^2+v_1^2+u_2^2+v_2^2+u_1^2+v_1^2+u_2^2+v_2^2
[/mm]
Man kann jetzt zusammenfassen: [mm] u_1^2+u_2^2=|u|^2 [/mm] und [mm] v_1^2+v_2^2=|v|^2 [/mm]
[mm] =2(|u|^2+|v|^2)
[/mm]
Ist die aufgabe damit gelöst?
Warum wird die Gleichung bei b) als Parallelogrammgleichung bezeichnet?
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Wieso rechnest du mit Koordinaten? Du brauchst nur:
[mm]|x|^2 = x^2[/mm] für Vektoren [mm]x[/mm]
Ansonsten gelten auch beim Skalarprodukt die binomischen Formeln:
[mm]\left| u + v \right|^2 + \left| u - v \right|^2 = \left( u + v \right)^2 + \left( u - v \right)^2 = u^2 + v^2 + 2uv + u^2 + v^2 - 2uv = 2 \left( u^2 + v^2 \right) = 2 \left( |u|^2 + |v|^2 \right)[/mm]
Wenn man die Vektoren [mm]u,v[/mm] als Spannvektoren eines Parallelogramms nimmt, dann sind [mm]u+v[/mm] und [mm]u-v[/mm] die zwei Diagonalenvektoren.
Man könnte die Gleichung daher so interpretieren: Die Quadrate über den Diagonalen eines Parallelogramms sind zusammen genau so groß wie die Quadrate über den vier Seiten des Parallelogramms zusammen.
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Hallo,
bei aufgabe c) muss ich aber mit Koordinaten rechnen oder?
Ich habe die aufgabe nun so gelöst:
[mm] \vektor{u_1-v_1 \\ u_2-v_2 \\ u_3-v_3}*\vektor{u_1+v_1 \\ u_2+v_2 \\ u_3+v_3}=0
[/mm]
[mm] =(u_1-v_1)*(u_1+v_1)+(u_2-v_2)*(u_2+v_2)+(u_3-v_3)*(u_3+v_3)=0
[/mm]
[mm] =u_1^2-v_1^2+u_2^2-v_2^2+u_3^2-v_3^2=0
[/mm]
[mm] =|u|^2-|v|^2=0
[/mm]
[mm] |u|^2=|v|^2
[/mm]
jetzt kann man die wurzel ziehen:
|u|=|v|
Für das durch u und v aufgespannte Parallelogramm bedeutet das, dass es sich hier um einen Rechteck handelt.
stimmt die lösugn?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:03 Mi 13.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> bei aufgabe c) muss ich aber mit Koordinaten rechnen oder?
Nein, das muss man nicht. Siehe unten.
> Ich habe die aufgabe nun so gelöst:
>
> [mm]\vektor{u_1-v_1 \\ u_2-v_2 \\ u_3-v_3}*\vektor{u_1+v_1 \\ u_2+v_2 \\ u_3+v_3}=0[/mm]
>
>
> [mm]=(u_1-v_1)*(u_1+v_1)+(u_2-v_2)*(u_2+v_2)+(u_3-v_3)*(u_3+v_3)=0[/mm]
>
> [mm]=u_1^2-v_1^2+u_2^2-v_2^2+u_3^2-v_3^2=0[/mm]
>
> [mm]=|u|^2-|v|^2=0[/mm]
>
> [mm]|u|^2=|v|^2[/mm]
>
> jetzt kann man die wurzel ziehen:
>
> |u|=|v|
Ohne Koordinaten:
$(u-v)*(u+v)=u*u+u*v-v*u+v*v [mm] =|u|^2-|v|^2=0 \gdw |u|^2=|v|^2 \gdw [/mm] |u|=|v|$.
>
> Für das durch u und v aufgespannte Parallelogramm bedeutet
> das, dass es sich hier um einen Rechteck handelt.
Das stimmt i.a. nicht. Es gibt Parallelogramme, die keine Rechtecke sind, mit 4 gleichlangen Seiten ! Die nennt man Rauten. Male mal eine solche.
FRED
>
> stimmt die lösugn?
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Ich habe als beispiel die Vektoren u=(1,-1) und v=(3,2) genommen
Zur der menge in aufgabe d) gehören alle Vektoren die im ursprung beginnen und innerhalb des Parallelogramms sind im foglenden Bild:
[Dateianhang nicht öffentlich]
stimmt die Lösung?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: unbekannt) [nicht öffentlich]
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die frage läuft gleich ab, aber ich bin immer noch an einer antwort interessiert.
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Du solltest hier besser von Punkten als von Vektoren sprechen. Beachte, daß auch die Punkte auf dem Rand des Parallelogramms zur gefragten Menge gehören.
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> a)
>
> bei einem Parallelogramm sind die gegenüberliegenden
> Seiten gleichlang. Das heißt es gilt:
>
> [mm]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}[/mm]
Nein, das heißt keineswegs dasselbe !
Zwar folgt aus [mm]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}[/mm] , dass die
Vektoren [mm] $\overrightarrow{AB}$ [/mm] und [mm] $\overrightarrow{DC}$ [/mm] gleich lang sind.
Die Umkehrung dieser Aussage ist jedoch falsch.
LG , Al-Chw.
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Hallo,
ich verstehe nicht genau was du meinst. gegeben ist ein parallelogramm mit der Reihenfolge ABCD.
Die gegenüberliegenden Seiten sind gleichlang dann gilt:
[mm]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}[/mm]
[mm]\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Rebellismus behauptet ja gar nicht, daß aus der Längengleichheit der Vektoren die Gleichheit der Vektoren folgt. Er macht eine Aussage für Vektoren, denen ein Parallelogramm zugrunde liegt.
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> Rebellismus behauptet ja gar nicht, daß aus der
> Längengleichheit der Vektoren die Gleichheit der Vektoren
> folgt.
Doch, genau dies sagt er mit seinen Worten:
> bei einem Parallelogramm sind die gegenüberliegenden
> Seiten gleichlang. Das heißt es gilt:
>
> [mm] $\red{ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} }$ [/mm]
>
> [mm] $\red{ \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC} }$
[/mm]
Dass er möglicherweise nicht das gemeint hat, was er
geschrieben hat, ist mir schon bewusst - aber hier in
diesem Forum wollen wir uns doch nicht mit Mutmaßungen
befassen, was jemand vielleicht gemeint hat, sondern
Klartext schreiben und lesen dürfen.
Schönen Abend !
Al-Chw.
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Vielleicht liegt unsere unterschiedliche Einschätzung darin begründet, daß ich bei "Parallelogramm" automatisch die definierende Eigenschaft "je gegenüberliegende Seiten sind parallel" höre. Und da sie nun auch noch gleich lang sind, gilt die von Rebellismus angegebene Vektorbeziehung. Natürlich kann man "Parallelogramm" gleichwertig auch durch andere Eigenschaften definieren. Dann ist die Parallelität gegenüberliegender Seiten nicht automatisch inbegriffen. Übrigens ist hier ja auch noch die Orientierung von Interesse, [mm]\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}[/mm] wäre ja nicht richtig. Man muß daher das Parallelogramm im geistigen Auge vor sich sehen, um auf die richtige Vektorgleichheit zu kommen.
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