Parallelogramm < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a)
Bestimmen Sie [mm] D\in\IR^3 [/mm] so, dass A = 0, B=(4,1,-1), C=(2,0,-1) zusammen mit D ein Parallelogramm ABCD (in dieser Reihenfolge) bilden. Wie ändert sich die Antwort im Fall A=(1,1,1)
b)
Zeigen Sie für beliebige [mm] u,v\in\IR^3:
[/mm]
[mm] |u+v|^2=|u|^2+|v|^2\gdw{u*v=0}
[/mm]
Was bedeutet das für das druch u, v aufgespannte Parallelogramm?
c)
Skizzieren Sie für gegebene [mm] u,v\in\IR^2 [/mm] die Menge
[mm] \{\alpha*u+(1-\alpha)v|0\le\alpha\le1\}
[/mm]
Betrachten Sie dazu z.B. [mm] \alpha=1/2, [/mm] 1/4, 3/4,... |
a)
Ein Parallelogramm ist doch zweidimensional. Wieso sind die Vektoren dann in [mm] \IR^3 [/mm] ?
Ich habe die Punkte A, B und C gezeichnet. Die Skizzze sieht merkwürdig aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:31 Mi 06.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> a)
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> Bestimmen Sie [mm]D\in\IR^3[/mm] so, dass A = 0, B=(4,1,-1),
> C=(2,0,-1) zusammen mit D ein Parallelogramm ABCD (in
> dieser Reihenfolge) bilden. Wie ändert sich die Antwort im
> Fall A=(1,1,1)
>
> b)
>
> Zeigen Sie für beliebige [mm]u,v\in\IR^3:[/mm]
>
> [mm]|u+v|^2=|u|^2+|v|^2\gdw{u*v=0}[/mm]
>
> Was bedeutet das für das druch u, v aufgespannte
> Parallelogramm?
>
> c)
>
> Skizzieren Sie für gegebene [mm]u,v\in\IR^2[/mm] die Menge
>
> [mm]\{\alpha*u+(1-\alpha)v|0\le\alpha\le1\}[/mm]
>
> Betrachten Sie dazu z.B. [mm]\alpha=1/2,[/mm] 1/4, 3/4,...
>
> a)
>
> Ein Parallelogramm ist doch zweidimensional. Wieso sind die
> Vektoren dann in [mm]\IR^3[/mm] ?
Nimm ein Blatt papier, schneide daraus ein Parallelogramm aus und halte dieses Parallelogramm mit 2 Händen in der Luft. Bingo: Du hast ein Parallelogramm im Raum.
>
> Ich habe die Punkte A, B und C gezeichnet. Die Skizzze
> sieht merkwürdig aus:
Na ja, es fehlt noch der Punkt D....
FRED
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
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bei einem Parallelogramm sind die gegenüberliegenden Seiten gleich lang. Deshalb muss gelten:
[mm] \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AB}=\vektor{4 \\ 1 \\ -1}-\vektor{0 \\ 0 \\ 0}=\vektor{4 \\ 1 \\ -1}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{CD}=\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}-\vektor{2 \\ 0 \\ -1}=\vektor{x_1-2 \\ x_2 \\ x_3+1}
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] \vektor{4 \\ 1 \\ -1}=\vektor{x_1-2 \\ x_2 \\ x_3+1}
[/mm]
[mm] x_1=6
[/mm]
[mm] x_2=1
[/mm]
[mm] x_3=-2
[/mm]
[mm] D=\vektor{6 \\ 1 \\ -2}
[/mm]
Aber das passt nicht. Was habe ich falsch gemacht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:09 Mi 06.04.2016 | | Autor: | Fulla |
> bei einem Parallelogramm sind die gegenüberliegenden
> Seiten gleich lang. Deshalb muss gelten:
>
> [mm]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}[/mm] und
Vom Betrag her schon... Aber die beiden Vektoren zeigen in entgegengesetze Richtung. Deinen Ansatz kannst du mit [mm]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}[/mm] retten.
> [mm]\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}[/mm]
Das stimmt nicht. Im allgemeinen Parallelogramm sind die Diagonalen nicht zwingend gleich lang.
Du kannst dir das Leben aber auch leichter machen:
Wie weit und in welche Richtung musst du von A aus gehen, um bei D zu landen? Richtig, genauso weit und in die gleiche Richtung, wie von B zu C (da bei Parallelogrammen gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang sind).
Es ist also [mm]\overrightarrow D=\overrightarrow A+\overrightarrow{BC}[/mm].
Lieben Gruß,
Fulla
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a)
Für A=(0,0,0) gilt D=(-2,-1,0)
Für A=(1,1,1) gilt D=(-1,0,1)
b)
[mm] |u+v|^2=(\wurzel{(u_1+v_1)^2+(u_2+v_2)^2+(u_3+v_3)^2})^2
[/mm]
[mm] =(u_1+v_1)^2+(u_2+v_2)^2+(u_3+v_3)^2
[/mm]
[mm] =u_1^2+2u_1*v_1+v_1^2+u_2^2+2u_2*v_2+v_2^2+u_3^2+2u_3*v_3+v_3^2
[/mm]
Man kann jetzt zusammenfassen: [mm] u_1^2+u_2^2+u_3^2=|u|^2 [/mm] und [mm] v_1^2+v_2^2+v_3^2=|v|^2
[/mm]
[mm] =|u|^2+|v|^2+2u_1*v_1+2u_2*v_2+2u_3*v_3
[/mm]
Wie werde ich den Rest: [mm] 2u_1*v_1+2u_2*v_2+2u_3*v_3 [/mm] los?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:22 Mi 06.04.2016 | | Autor: | chrisno |
Der Rest hat was mit dem Skalarprodukt zu tun. Du musst übrigens eine Äquivalenz zeigen.
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Wenn die Vektoren senkrechtzueinander sind, dann gilt: v*u=0
und somit gilt für den Rest gilt dann:
[mm] 0=2u_1*v_1+2u_2*v_2+2u_3*v_3
[/mm]
[mm] 0=u_1*v_1+u_2*v_2+u_3*v_3
[/mm]
0=u*v
Daraus folgt dann:
[mm] |u+v|^2=|u|^2+|v|^2
[/mm]
ist die Aufgabe damit gelöst?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:41 Mi 06.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> Wenn die Vektoren senkrechtzueinander sind, dann gilt:
> v*u=0
>
> und somit gilt für den Rest gilt dann:
>
> [mm]0=2u_1*v_1+2u_2*v_2+2u_3*v_3[/mm]
>
> [mm]0=u_1*v_1+u_2*v_2+u_3*v_3[/mm]
>
> 0=u*v
>
> Daraus folgt dann:
>
> [mm]|u+v|^2=|u|^2+|v|^2[/mm]
>
> ist die Aufgabe damit gelöst?
>
Ja
FRED
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Die antwort auf die frage in aufgabe b)
" Was bedeutet das für das druch u, v aufgespannte Parallelogramm? "
lautet dann einfach: u und v sind senkrecht zueinander, richtig?
c)
Ich weiß nicht wie man die menge zeichnen soll. Die vektoren u und v sind nicht gegeben und damit sind ihre richtungen nicht bekannt. Wie soll ich das dann zeichnen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:47 Mi 06.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> Die antwort auf die frage in aufgabe b)
>
> " Was bedeutet das für das druch u, v aufgespannte
> Parallelogramm? "
>
> lautet dann einfach: u und v sind senkrecht zueinander,
> richtig?
könnte es sein, dass dann das Parallelogrammgleichung vielleicht, eventuell, möglicherweise ein Rechteck ist ? ich mein ja nur....
>
> c)
>
> Ich weiß nicht wie man die menge zeichnen soll. Die
> vektoren u und v sind nicht gegeben und damit sind ihre
> richtungen nicht bekannt. Wie soll ich das dann zeichnen?
Tipp : verbindungsstrecke
fred
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Ich weiß immer noch nicht wie man die menge in aufgabe c) zeichnet.
Ich habe 2 unbekannte vektoren u und v die unterschiedliche Faktoren haben.
Für [mm] \alpha=0 [/mm] befindet sich der Vektor u im ursprung. Die position von v ist unbekannt.
Für [mm] \alpha=1 [/mm] befindet sich der vektor v auch im ursprung. Die position von u ist unbekannt.
Mit diesen Informationen komme ich nicht weiter und mehr Information erkenne ich aus der aufgabe nicht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:27 Mi 06.04.2016 | | Autor: | Chris84 |
> Ich weiß immer noch nicht wie man die menge in aufgabe c)
> zeichnet.
>
> Ich habe 2 unbekannte vektoren u und v die unterschiedliche
> Faktoren haben.
Nicht wirklich unbekannt. $u$ und $v$ sollen ja als gegeben und fix vorausgesetzt sein.
>
> Für [mm]\alpha=0[/mm] befindet sich der Vektor u im ursprung. Die
> position von v ist unbekannt.
Versteh ich nicht: Wieso ist $u$ dann im Ursprung; $v$ ist gegeben!
>
> Für [mm]\alpha=1[/mm] befindet sich der vektor v auch im ursprung.
> Die position von u ist unbekannt.
Ebenso hier.
>
> Mit diesen Informationen komme ich nicht weiter und mehr
> Information erkenne ich aus der aufgabe nicht.
Wenn man allgemein nicht weiter weisst, hilft immer ein Zahlenbeispiel.
Also $u$ und $v$ sind gegeben, dann nehme ich mal
[mm] $u=\vektor{1 \\ -1 \\ 2}$ [/mm] und [mm] $v=\vektor{3 \\ 2 \\ -4}$
[/mm]
Wie sieht dann die Menge
$ [mm] \alpha\cdot{}u+(1-\alpha)v$
[/mm]
mit [mm] $\alpha$ [/mm] als Parameter aus (vlt. erstmal fuer beliebiges [mm] $\alpha$)? [/mm] (Das kennt man eig. aus der Schule.)
Wie aendert sich die Situation, wenn man [mm] $\alpha$ [/mm] einschraenkt :)
Gruss,
Chris
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Hallo,
Wieso ist [mm]u[/mm] und [mm]v[/mm] gegeben?
> > Für [mm]\alpha=0[/mm] befindet sich der Vektor u im ursprung. Die
> > position von v ist unbekannt.
>
> Versteh ich nicht: Wieso ist [mm]u[/mm] dann im Ursprung; [mm]v[/mm] ist
> gegeben!
>
weil [mm]u[/mm] den Faktor 0 hat. Dann gilt für u=(0,0). Das ist der Punkt am ursprung
> Wenn man allgemein nicht weiter weisst, hilft immer ein
> Zahlenbeispiel.
>
> Also [mm]u[/mm] und [mm]v[/mm] sind gegeben, dann nehme ich mal
>
> [mm]u=\vektor{1 \\ -1 \\ 2}[/mm] und [mm]v=\vektor{3 \\ 2 \\ -4}[/mm]
>
Es gilt [mm]u, v\in\IR^2[/mm]
Aber wie kommst du auf die Werte? einfach ausgedacht? Wenn ich andere zahlenwerte einsetze, dann bekomme ich andere vektoren und somit auch eine andere Menge.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:49 Do 07.04.2016 | | Autor: | fred97 |
Wir machen das jetzt mal so: gegeben sind $u,v [mm] \in \IR^2$ [/mm] und die Menge
$S:= [mm] \{\alpha\cdot{}u+(1-\alpha)v|0\le\alpha\le1\} [/mm] $.
Fall 1: u=v. Dann ist [mm] S=\{u\}.
[/mm]
Fall 2: u [mm] \ne [/mm] v. Zeichne nun Du die Vektoren u und v in ein x-y- Koordinatensystem ein, als Pfeile, die im Ursprung beginnen. u und v sind zwar nicht konkret gegeben, zeichne also irgendwelche.
Dann verbindest Du die Spitzen der Pfeile von u und v durch ein Geradenstück. Markiere auf diesem Geradenstück einen Punkt und zeichne den Vektor , der in (0,0) begint und in dem markierten Punkt endet. Die Menge all dieser Vektoren ist gerade die obige Menge S.
FRED
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Ach jetzt verstehe ich die aufgabe. ich darf für u und v irgendwelche vektoren annehmen.
u=(1,-1)
v=(3,2)
Für [mm] \alpha=0 [/mm] gilt [mm] s=\alpha*u+(1-\alpha)*v=(3,2)
[/mm]
Für [mm] \alpha=1/4 [/mm] gilt [mm] s=\alpha*u+(1-\alpha)*v=(\bruch{5}{2},\bruch{5}{4})
[/mm]
Für [mm] \alpha=1/2 [/mm] gilt [mm] s=\alpha*u+(1-\alpha)*v=(2,\bruch{1}{2})
[/mm]
Für [mm] \alpha=3/4 [/mm] gilt [mm] s=\alpha*u+(1-\alpha)*v=(\bruch{3}{2},-\bruch{1}{4})
[/mm]
Für [mm] \alpha=1 [/mm] gilt [mm] s=\alpha*u+(1-\alpha)*v=(1,-1)
[/mm]
so sieht meine skizze aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Zur Menge [mm] s=\{\alpha*u+(1-\alpha)v|0\le\alpha\le1\} [/mm] gehören alle Vektoren, die im ursprung beginnen und an der verbindungslinie zwischen den u und v enden.
Das stimmt doch oder?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: unbekannt) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:08 Do 07.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> Ach jetzt verstehe ich die aufgabe. ich darf für u und v
> irgendwelche vektoren annehmen.
>
> u=(1,-1)
>
> v=(3,2)
>
> Für [mm]\alpha=0[/mm] gilt [mm]s=\alpha*u+(1-\alpha)*v=(3,2)[/mm]
>
> Für [mm]\alpha=1/4[/mm] gilt
> [mm]s=\alpha*u+(1-\alpha)*v=(\bruch{5}{2},\bruch{5}{4})[/mm]
>
> Für [mm]\alpha=1/2[/mm] gilt
> [mm]s=\alpha*u+(1-\alpha)*v=(2,\bruch{1}{2})[/mm]
>
> Für [mm]\alpha=3/4[/mm] gilt
> [mm]s=\alpha*u+(1-\alpha)*v=(\bruch{3}{2},-\bruch{1}{4})[/mm]
>
> Für [mm]\alpha=1[/mm] gilt [mm]s=\alpha*u+(1-\alpha)*v=(1,-1)[/mm]
>
> so sieht meine skizze aus:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Zur Menge [mm]s=\{\alpha*u+(1-\alpha)v|0\le\alpha\le1\}[/mm]
> gehören alle Vektoren, die im ursprung beginnen und an der
> verbindungslinie zwischen den u und v enden.
>
> Das stimmt doch oder?
Ja
FRED
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> Zur Menge [mm]s=\{\alpha*u+(1-\alpha)v|0\le\alpha\le1\}[/mm]
> gehören alle Vektoren, die im ursprung beginnen und an der
> verbindungslinie zwischen den u und v enden.
Die Vektoren müssen nicht am Ursprung beginnen oder?
Ich hätte die vektoren u und v auch einfach zum Punkt (1,1) verschieben können. Dann ist der oben zitierte Satz faslch.
Richtig wäre dann:
Zur Menge [mm]s=\{\alpha*u+(1-\alpha)v|0\le\alpha\le1\}[/mm] gehören alle Vektoren, die mit dem gemeinsamen Ortsvektoren bzw. im gleichen Punkt von u und v beginnen und an der verbindungslinie zwischen den u und v enden.
ist der satz so richtig oder kann man es besser formulieren?
außerdem wer sagt das die vektoren u und v am selben Punkt beginnen? Wenn die Vektoren an unterschiedlichen Punkten beginnen, dann sehe die Menge ganz anders aus.
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auch wenn die frage abgelaufen ist bin ich an einer antwort interessiert.
kann jemand die Gültigkeit verlängern bitte?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Sa 16.04.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:07 Do 07.04.2016 | | Autor: | Chris84 |
> Hallo,
Huhu,
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> Wieso ist [mm]u[/mm] und [mm]v[/mm] gegeben?
weil das die Aufgabe doch vorgibt :)
>
> > > Für [mm]\alpha=0[/mm] befindet sich der Vektor u im ursprung. Die
> > > position von v ist unbekannt.
> >
> > Versteh ich nicht: Wieso ist [mm]u[/mm] dann im Ursprung; [mm]v[/mm] ist
> > gegeben!
> >
>
> weil [mm]u[/mm] den Faktor 0 hat. Dann gilt für u=(0,0). Das ist
> der Punkt am ursprung
Ok, verstehe deinen Gedankengang nun. Du meinst praeziserweise aber nicht $u$, sondern [mm] $\alpha [/mm] u$.
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>
> > Wenn man allgemein nicht weiter weisst, hilft immer ein
> > Zahlenbeispiel.
> >
> > Also [mm]u[/mm] und [mm]v[/mm] sind gegeben, dann nehme ich mal
> >
> > [mm]u=\vektor{1 \\ -1 \\ 2}[/mm] und [mm]v=\vektor{3 \\ 2 \\ -4}[/mm]
> >
>
> Es gilt [mm]u, v\in\IR^2[/mm]
Oh, sorry... aber das kommt aufs gleiche hinaus :) Streich einfach die letzte Koordinate!
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> Aber wie kommst du auf die Werte? einfach ausgedacht? Wenn
> ich andere zahlenwerte einsetze, dann bekomme ich andere
> vektoren und somit auch eine andere Menge.
Richtig, einfach ausgedacht. Nochmal: $u$ und $v$ sind gegeben. Wenn man ne Idee hat, einfach ein Zahlenbeispiel waehlen. Du hast zwar Recht, dass man fuer andere $u$ und $v$ ein andere Menge herausbekommt, aber die Geometrie dieser Menge wird sich nicht aendern. Also kann man durch Wahl von $u$ und $v$ 'ne Idee bekommen, wie die Menge aussehen muss.
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>
Gruss,
Chris
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