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Ordnung auf IR(X) < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ordnung auf IR(X): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:44 Fr 16.01.2015
Autor: UniversellesObjekt

Aufgabe
Sei $K$ der Körper der rationalen Funktionen mit reellen Koeffizienten. Dann gibt es zu jedem [mm] $f\in [/mm] K$ eindeutig bestimmte teilerfremde Polynome $p$ und $q$ mit $f=p/q$, sodass der Leitkoeffizient von $q$ genau $1$ ist. Eine rationale Funktion heiße positiv, wenn der Leitkoeffizient von $p$ größer oder gleich $1$ ist. Man zeige, dass $K$ auf diese Weise angeordnet, aber nicht archimedisch angeordnet ist.

Hallo,

ich glaube, ich verstehe die Definition der Ordnung nicht richtig. Wenn ich zum Beispiel [mm] $f=1/2\in [/mm] K$ betrachte, mit $p=1/2$, $q=1$, beides konstante Polynome. Dann ist doch sowohl $f$, als auch $-f$ positiv, oder?

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

        
Bezug
Ordnung auf IR(X): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:52 Fr 16.01.2015
Autor: fred97


> Sei [mm]K[/mm] der Körper der rationalen Funktionen mit reellen
> Koeffizienten. Dann gibt es zu jedem [mm]f\in K[/mm] eindeutig
> bestimmte teilerfremde Polynome [mm]p[/mm] und [mm]q[/mm] mit [mm]f=p/q[/mm], sodass
> der Leitkoeffizient von [mm]q[/mm] genau [mm]1[/mm] ist. Eine rationale
> Funktion heiße positiv, wenn der Leitkoeffizient von [mm]p[/mm]
> größer oder gleich [mm]1[/mm] ist. Man zeige, dass [mm]K[/mm] auf diese
> Weise angeordnet, aber nicht archimedisch angeordnet ist.
>  Hallo,
>  
> ich glaube, ich verstehe die Definition der Ordnung nicht
> richtig. Wenn ich zum Beispiel [mm]f=1/2\in K[/mm] betrachte, mit
> [mm]p=1/2[/mm], [mm]q=1[/mm], beides konstante Polynome. Dann ist doch sowohl
> [mm]f[/mm], als auch [mm]-f[/mm] positiv, oder?

Das sehe ich nicht so. Es ist doch

[mm] f=\bruch{\bruch{1}{2}}{1}, [/mm] also hat p Leitkoeffizienten  [mm] \bruch{1}{2} [/mm]

FRED

>  
> Liebe Grüße,
>  UniversellesObjekt


Bezug
                
Bezug
Ordnung auf IR(X): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:54 Fr 16.01.2015
Autor: UniversellesObjekt

Ja, du hast Recht. Keines von beiden ist positiv, $p$ hat Leitkoeffizient $1/2$, $-p$ hat Leitkoeffizient $-1/2$, das ist beides $<1$. Außerdem ist $f$ nicht Null. Wie kann das sein?

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
                        
Bezug
Ordnung auf IR(X): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:30 Fr 16.01.2015
Autor: fred97


> Ja, du hast Recht. Keines von beiden ist positiv, [mm]p[/mm] hat
> Leitkoeffizient [mm]1/2[/mm], [mm]-p[/mm] hat Leitkoeffizient [mm]-1/2[/mm], das ist
> beides [mm]<1[/mm]. Außerdem ist [mm]f[/mm] nicht Null.



> Wie kann das sein?

Diese Frage verstehe ich nicht.

FRED

>  
> Liebe Grüße,
>  UniversellesObjekt


Bezug
                                
Bezug
Ordnung auf IR(X): Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 10:32 Fr 16.01.2015
Autor: UniversellesObjekt

Wenn  es sich hier tatsächlich um einen geordneten Körper handelt, sollte doch jedes Element positiv sein, oder Null sein, oder sein Inverses sollte positiv sein, oder nicht?

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
                                        
Bezug
Ordnung auf IR(X): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:52 Fr 16.01.2015
Autor: UniversellesObjekt

Ist meine Verwunderung klar?

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
                                                
Bezug
Ordnung auf IR(X): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:09 Sa 17.01.2015
Autor: UniversellesObjekt

Mir ist es nun klar. Das scheint ein Fehler zu sein. In der Englischen Übersetzung von Amann Escher []hier muss der Leitkoeffizient von $p$ größer oder gleich Null sein, Nicht Eins.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

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