Optimierungsaufgabe 6 < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Die Aufgabe muss ohne Taschenrechner gelöst werden.
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Funktion: $f(x, [mm] y)=x^2 [/mm] - [mm] y^2$
[/mm]
Nullstellen bestimmen: $grad(f)(x, y)=(2x\ \ \ ,\ \ \ -2y)$
$2x=\ 0$
$x=\ 0$
$-2y=\ 0$
$y=\ 0$
Hesse-Matrix:
[mm] $H=\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & -2 }$
[/mm]
$det(2)=\ 2$ positiv Definit
[mm] $det(\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & -2 })=-2*2 [/mm] - 0*0=-4$ negativ Definit
Es gibt keine Extrema, da die Matrix Indefinit ist, da sie einmal positiv und einmal negativ Definit ist.
Stimmt die Aufgabe so?
Danke
Grüße Thomas
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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> Die Aufgabe muss ohne Taschenrechner gelöst werden.
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> Funktion: [mm]f(x, y)=x^2 - y^2[/mm]
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> Nullstellen bestimmen: [mm]grad(f)(x, y)=(2x\ \ \ ,\ \ \ -2y)[/mm]
>
> [mm]2x=\ 0[/mm]
>
> [mm]x=\ 0[/mm]
>
>
> [mm]-2y=\ 0[/mm]
>
> [mm]y=\ 0[/mm]
>
>
> Hesse-Matrix:
>
> [mm]H=\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & -2 }[/mm]
>
> [mm]det(2)=\ 2[/mm] positiv Definit
>
> [mm]det(\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & -2 })=-2*2 - 0*0=-4[/mm] negativ
> Definit
>
>
> Es gibt keine Extrema, da die Matrix Indefinit ist, da sie
> einmal positiv und einmal negativ Definit ist.
>
>
>
>
> Stimmt die Aufgabe so?
Ja.
Du solltest noch erwähnen, daß sie an dieser Stelle eine Sattelfläche hat.
Das mit der Hessematrix mußt Du anders formulieren:
> Hesse-Matrix:
>
> [mm]H=\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & -2 }[/mm]
>
> [mm]det(2)=\ 2[/mm] positiv Definit
positiv. (Oder >0)
>
> [mm]det(\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & -2 })=-2*2 - 0*0=-4[/mm] negativ
> Definit
negativ.
>
>
> Es gibt keine Extrema, da die Matrix Indefinit ist, da sie
> einmal positiv und einmal negativ Definit ist.
... da die Determinante der Hessematrix negativ ist.
Gruß v. Angela
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Hi Angela,
danke fürs nachsehen!
Nur nochmal die Frage: Also hat eine Funktion mit mehreren Variablen, bei denen die eine det <0 und die andere det >0 ist eine Sattelfäche?
Bei Funktionen mit einer Variablen sind das die Sattelstellen oder?
Noch eine Frage zu der det, wozu zähle ich es wenn die det=0 ist? Also angenommen die det=0 und die andere det=4 ist, hat dann die Funktion ein Minimum?
Danke
Grüße Thomas
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> Nur nochmal die Frage: Also hat eine Funktion mit mehreren
> Variablen, bei denen die eine det <0 und die andere det >0
> ist eine Sattelfäche?
Hallo,
wir sprechen hier bei den Kriterien, die ich gesagt habe, immer über Funktionen mit zwei Variablen.
(Bereits wenn Du drei Variable hast, ist das mit der Indefinitheit nicht einfach über die Hauptunterdeterminanten zu machen - aber das braucht Dich im Moment nicht zu interessieren.)
Bei zwei Variablen ist es so: wenn die Hessematrix eine negative Determinante hat, hast Du einen Sattelüunkt. Das linke obere Element darf dann sein, wie es will.
> Bei Funktionen mit einer Variablen sind das die
> Sattelstellen oder?
Sattel haben wir bei Funktionen mit einer Variablen gar nicht.
Wir haben hier Wendepunkte, und unter diesen gibt es solche mit waagerechter Tangente.
Was wir auf den Fall v. einer Variablen übertragen können, ist die Semidefinitheit.
Das entspricht dem Fall, daß erste und zweite Ableitung =0 sind. In diesen Fällen sind wir so schlau wie zuvor. Wir wissen nicht, ob Extremwert, Wendepunkt mit waagerechter Tangente.
> Noch eine Frage zu der det, wozu zähle ich es wenn die
> det=0 ist? Also angenommen die det=0 und die andere det=4
> ist, hat dann die Funktion ein Minimum?
Wenn die Det. der Hessematrix =0 ist, ist die Hessematrix semidefinit, und Du kannst keine Aussagen machen ohne weitere Untersuchungen.
Wenn die Hessematrix positiv ist und das rechte obere Element =0, ist die Matrix semindefinit, und Du kannst keine Aussagen machen.
Gruß v. Angela
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