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| Aufgabe 1 | | Beweisen Sie mittels Optimierung unter Nebenbedingungen (Lagrange Multiplikatoren) folgende Behauptung: Das Rechteck, welches bei gegebenen Umfang U maximalen Flächeninhalt besitzt ist ein Quadrat. |
| Aufgabe 2 | | Zeigen Sie mittels Optimierung unter Nebenbedingungen (Lagrange Multiplikatoren): Unter allen Rechtecken mit einer Diagonalen der gegebenen Länge l besitzt das Quadrat maximalen Umfang. |
Halli Hallo,
habe hier zwei Aufgaben die sich sehr ähnlich sind, bei denen ich einfach nicht weiß wie ich anfangen soll. Das ausrechnen an sich wäre egtl. kein Problem, nur das aufstellen der Formeln.
Schöne Grüße
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> Beweisen Sie mittels Optimierung unter Nebenbedingungen
> (Lagrange Multiplikatoren) folgende Behauptung: Das
> Rechteck, welches bei gegebenen Umfang U maximalen
> Flächeninhalt besitzt ist ein Quadrat.
> Zeigen Sie mittels Optimierung unter Nebenbedingungen
> (Lagrange Multiplikatoren): Unter allen Rechtecken mit
> einer Diagonalen der gegebenen Länge l besitzt das Quadrat
> maximalen Umfang.
> habe hier zwei Aufgaben die sich sehr ähnlich sind, bei
> denen ich einfach nicht weiß wie ich anfangen soll. Das
> ausrechnen an sich wäre egtl. kein Problem, nur das
> aufstellen der Formeln.
Hallo,
Du mußt Dir zuerst darüber im Klaren werden, welches Deine Zielfunktion, die zu optimierende Funktion, ist, und welches die (begrenzende) Nebenbedingung.
Gehen wir zur ersten Aufgabe. Maximieren sollst Du den Flächeninhalt A eines Rechtecks.
Nun, Rechteckfläche gleich Seite1 x Seite2, das weiß jeder.
Nennen wir die beisen Seiten x und y, dann haben wir A(x,y)= ...
Du kannst nun nicht x und y frei wählen, sondern das ist begrenzt dadurch, daß der Umfang U fest vorgegeben ist.
Was hat U mit x und y zu tun? U=... Das ist Deine Nebenbedingung, sie muß dann umgeformt werden zu 0=...
Dann kannst Du ans Aufstellen der Lagrangefunktion gehen.
Gruß v. Angela
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> Hallo,
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> Du mußt Dir zuerst darüber im Klaren werden, welches Deine
> Zielfunktion, die zu optimierende Funktion, ist, und
> welches die (begrenzende) Nebenbedingung.
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> Gehen wir zur ersten Aufgabe. Maximieren sollst Du den
> Flächeninhalt A eines Rechtecks.
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> Nun, Rechteckfläche gleich Seite1 x Seite2, das weiß
> jeder.
>
> Nennen wir die beisen Seiten x und y, dann haben wir
> A(x,y)= ...
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> Du kannst nun nicht x und y frei wählen, sondern das ist
> begrenzt dadurch, daß der Umfang U fest vorgegeben ist.
>
> Was hat U mit x und y zu tun? U=... Das ist Deine
> Nebenbedingung, sie muß dann umgeformt werden zu 0=...
>
> Dann kannst Du ans Aufstellen der Lagrangefunktion gehen.
>
> Gruß v. Angela
>
>
>
>
Zunächst mal vielen Dank für die Antwort :), dass dürfte dann wohl folgendermaßen aussehen
[mm] f(a,b,\lambda)=a*b+\lambda*(2*a+2*b-U)
[/mm]
Nur weis ich jetzt nicht genau wie ich weitermachen soll, ich kenne das normale Ablaufschema (Gradient berechnen, Gleichungen aufstellen, Werte berechnen etc.) bei Aufgaben wo alle Werte zur Berechnung gegeben sind, aber hier komme ich jetzt ein bisschen ins straucheln...
Schöne Grüße
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> > Hallo,
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> > Du mußt Dir zuerst darüber im Klaren werden, welches Deine
> > Zielfunktion, die zu optimierende Funktion, ist, und
> > welches die (begrenzende) Nebenbedingung.
> >
> > Gehen wir zur ersten Aufgabe. Maximieren sollst Du den
> > Flächeninhalt A eines Rechtecks.
> >
> > Nun, Rechteckfläche gleich Seite1 x Seite2, das weiß
> > jeder.
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> > Nennen wir die beisen Seiten x und y, dann haben wir
> > A(x,y)= ...
> >
> > Du kannst nun nicht x und y frei wählen, sondern das ist
> > begrenzt dadurch, daß der Umfang U fest vorgegeben ist.
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> > Was hat U mit x und y zu tun? U=... Das ist Deine
> > Nebenbedingung, sie muß dann umgeformt werden zu 0=...
> >
> > Dann kannst Du ans Aufstellen der Lagrangefunktion gehen.
> >
> > Gruß v. Angela
> >
> >
> >
> >
> Zunächst mal vielen Dank für die Antwort :), dass dürfte
> dann wohl folgendermaßen aussehen
>
> [mm]f(a,b,\lambda)=a*b+\lambda*(2*a+2*b-U)[/mm]
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> Nur weis ich jetzt nicht genau wie ich weitermachen soll,
> ich kenne das normale Ablaufschema (Gradient berechnen,
> Gleichungen aufstellen, Werte berechnen etc.) bei Aufgaben
> wo alle Werte zur Berechnung gegeben sind, aber hier komme
> ich jetzt ein bisschen ins straucheln...
Hallo,
die Ermittlung der kritischen Punkte geht hier recht ähnlich.
Deine Funktion f, die Lagrangefunktion, ist nun partiell nach a,b, [mm] \lambda [/mm] zu differenzieren, also der Gradient aufzustellen.
Dann den Gradienten = Nullvektor setzen, und aus den drei Gleichungen a und b ermitteln.
Damit hast Du dann Deine Kritischen Punkte.
Gruß v. Angela
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