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Forum "Lineare Abbildungen" - Offene Mengen und Metriken
Offene Mengen und Metriken < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Offene Mengen und Metriken: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:12 Sa 09.01.2016
Autor: Canibusm

Aufgabe
Für x, y [mm] \in \IR^{2} [/mm] sei

d(x,y) := [mm] \wurzel{(x_{1}-y_{1})^{2} + (x_{2}-y_{2})^{2}} [/mm]
T(x,y) := [mm] max(|x_{1}-y_{1}|, |x_{2}-y_{2}|) [/mm]
p(x,y) := [mm] |x_{1}-y_{1}| [/mm] + [mm] |x_{2}-y_{2}| [/mm]

d, T und p sind Metriken im [mm] \IR^{2}. [/mm]

Wann eine Teilmenge A eines beliebigen metrischen Raumes offen heißt, hängt per Definition von der gewählten Metrik ab. Zeigen Sie für jede beliebige Teilmenge A [mm] \subseteq \IR^{2} [/mm]

A ist d-offen [mm] \gdw [/mm] A ist T-offen [mm] \gdw [/mm] A ist p-offen.

Eine Teilmenge A eines beliebigen metrischen Raumes heißt offen, wenn die Menge aller inneren Punkte (der Teilmenge) gleich der Teilmenge selbst ist.

Ein Punkt x [mm] \in [/mm] A heißt innerer Punkt von A, wenn ein [mm] \beta>0 [/mm] existiert mit [mm] U_{\beta}(x) \subseteq [/mm] A.

Mit der Definition komme ich hier nicht wirklich weiter. Auch ist mir der Zusammenhang zwischen beliebigen Teilmengen und Metriken im gleichen Raum (hier: [mm] \IR^{2}) [/mm] noch nicht klar.

Vielen Dank im Voraus schon einmal für eure Hilfe!

        
Bezug
Offene Mengen und Metriken: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:53 Sa 09.01.2016
Autor: hippias

Du hast ja keine Frage gestellt, daher:
Kannst Du mir einmal ein Beispiel für eine $d$-offene Menge des [mm] $\IR^{2}$ [/mm] nennen, inklusive Beweis, dass sie tatsächlich $d$-offen ist?


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