ODE zweiter Ordnung normieren < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo liebes Matheforum,
ich hänge hier länger an einem Problem und bräuchte jemanden der mir die "Augen öffnet"  . Es geht um die Lösung der ODE
[mm] \frac{d^2}{dx^2}u(x)-a*u(x)=\varphi(x)
[/mm]
Nebenbei: Die Lösung dieser ODE ist das System cosh & sinh. Der Einfachheit halber nehmen wir (transformationsinvariante) homogene RB an. z.B. u'(0)=0 und u'(1)=0.
Jetzt kann man die ODE direkt lösen, was auf ein u(x) führt. Man kann aber auch vor dem Lösen normieren. Z.B. mit [mm] $y=\sqrt{a}x$, [/mm] weswegen [mm] $\frac{d^2}{dx^2}=a\frac{d^2}{dy^2}$ [/mm] und [mm] $u(x)=u(\frac{y}{\sqrt{a}})$=\tilde{u}(y) [/mm] bzw. [mm] $\varphi (x)=\varphi (\frac{y}{\sqrt{a}})$=\tilde{\varphi }(y)
[/mm]
Setzt man das in die ODE ein erhält man
[mm] \frac{d^2}{dy^2}\tilde{u}(y)-\tilde{u}(y)=\frac{1}{a} \varphi (\frac{y}{\sqrt{a}})
[/mm]
Inhaltlich interpretiere ich das so: Es ist mir gestattet die Lösung $u(x)$ zu finden, indem ich die normierte Gleichung nach [mm] $\tilde{u}(y)$ [/mm] löse sofern ich die Störfunktion in [mm] $\frac{1}{a} \varphi (\frac{y}{\sqrt{a}})$ [/mm] modifiziere und die Lösung aus [mm] $u(x)=\tilde{u}(\sqrt{a}x)$ [/mm] rekonstruiere.
Soweit die Theorie. Ich habe das mal versucht mit Matlab zu verifizeren. Leider passt das überhaupt nicht. Nach Matlab bekomme ich identische Lösungen wenn ich
[mm] \frac{d^2}{dy^2}\tilde{u}(y)-\tilde{u}(y)=\frac{1}{\sqrt{a}} \varphi (\sqrt{a}y)
[/mm]
löse und die Lösung als
[mm] $u(x)=\tilde{u}(\frac{y}{\sqrt{a}})$
[/mm]
schreibe. Wo ist der Denkfehler? In der Theorie oder der Software? V.a. das [mm] $\frac{1}{\sqrt{a}}$ [/mm] in der Störfunktion passt mir überhaupt nicht (kein Schreibfehler!)
PS.: Den Matlab Code kann ich auch posten - wollte das Forum hier aber nicht spammen.
Für eure Hilfe schon mal vielen Dank!
Mondfisch
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:09 Di 19.12.2017 | | Autor: | leduart |
Hallo
mit [mm] y=\sqrt(a)*x [/mm] wie kommst du auf u(x)=u(y/sqrt(a)) statt u(x)=u(sqrt(a)*y) entsprechend auf [mm] \phi(x)?
[/mm]
Gruß leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:45 Mi 20.12.2017 | | Autor: | mondfisch |
Hallo leduart,
> mit [mm] $y=\sqrt{a}*x$ [/mm] wie kommst du auf [mm] $u(x)=u(y\sqrt{a})$ [/mm] statt [mm] $u(x)=u(\sqrt{a}*y)$ [/mm] entsprechend auf [mm] $\phi(x)$?
[/mm]
[mm] $y=\sqrt{a}*x$ [/mm] nehmen und auf linker und rechter Seite durch [mm] $\sqrt{a}$ [/mm] dividieren und dann [mm] $x=\frac{y}{\sqrt{a}}$ [/mm] linksseitig in $u(x)$ und rechtsseitig in [mm] $\phi(x)$ [/mm] einsetzen.
Ich habs durchmultipliziert angeschrieben weil man beim Differentialoperator die Umkehrabbildung [mm] $\frac{dy}{dx}=\sqrt{a}$ [/mm] braucht:
[mm] \frac{d^2}{dx^2}u(x)=\frac{dy}{dx}\frac{d}{dy}(\frac{dy}{dx}\frac{d}{dy}u(\frac{y}{\sqrt{a}}))=a\frac{d^2}{dy^2}u(\frac{y}{\sqrt{a}})
[/mm]
Nach stundenlangem Rumprobieren habe ich den ersten Fehler in der Software gefunden: "V.a. das $ [mm] \frac{1}{\sqrt{a}} [/mm] $ in der Störfunktion passt mir überhaupt nicht (kein Schreibfehler!)" --> Ist geklärt - es gehört tatsächlich $ [mm] \frac{1}{a} [/mm] $ hin.
Ich glaube die Schwierigkeit liegt darin zu verstehen in welchen Koordinatensystem man gerade arbeitet: y läuft von 0 bis [mm] $1*\sqrt{a}$ [/mm] während x von 0 bis 1 läuft. Deswegen wird man vermutlich [mm] $\tilde{u}$ [/mm] (läuft von 0 bis [mm] $1*\sqrt{a}$), [/mm] wenn man es in "x-Koordinaten" zurücktransformieren möchte mit [mm] $u(x)=\tilde{u}(\sqrt{a}*x)$ [/mm] umsetzen müssen. So 100% kapiert hab ichs aber immer noch nicht. Ist schwieriger als man auf den ersten Blick denken würde.
Gruß Mondfisch
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