Nutzung von Dualbasen ? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:08 So 12.12.2004 | | Autor: | Faenol |
Hi Forum !
Ich hab nen Problem, bei dieser Aufgabe hier:
V ist ein endlicher VR über K und T [mm] \in [/mm] L(V).
zu zeigen ist, dass es dann ein N [mm] \in \IN [/mm] und [mm] a_{N-1},...,a_{1},a_{0} \in [/mm] K gibt mit:
[mm] T^{N}+a_{N-1}T^{N-1}+...+a_{1}T+a_{0}Id_{V}=0 \in [/mm] L(V).
Ich weiß hier überhaupt nicht, wo ich anfangen soll.
Mir sieht das alles recht nach einem Polynom aus, wobei doch eigentlich
[mm] T^{N} [/mm] eine Verkettung ist, also ist ja z.B.
[mm] T^{2}=T(T()) [/mm] bzw. da T [mm] \in [/mm] L(V): [mm] T^{2}=L(L(V))
[/mm]
V ist ein Vektoraum wird also eine Basis haben.... *grübel*
Aber das bringt mich hier alles nicht weiter.
Muss ich das mit Dualbasen machen ?
Ich hab das ganze Mal als Summe formuliert:
[mm] \summe_{i=0}^{N} a_{i} T^{i}; [/mm] mit [mm] a_{N}=1
[/mm]
aber kommt dann auch net weiter...
Hat jemand 'ne Idee ?
Danke
Faenôl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:33 Sa 18.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Faenol!
Eine triviale Lösung wäre natürlich das charakteristische Polynom von $T$, denn wenn man $T$ in sein charakteristisches Polynom einsetzt, kommt ja die Nullabbildung raus (Satz von Cayley-Hamilton). Hattet ihr denn das charakteristische Polynom schon? Sonst wird die Argumentation sehr mühselig, fürchte ich. :-(
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:24 So 19.12.2004 | | Autor: | Faenol |
Hi !
HMM, ich weiß gerade nicht, was du mit "Charakteristisches Polynom" meinst, hab im Script nachgeschaut, aber nicht gefunden !
Vielleicht unter einem anderen Namen ?
Kannst du das vielleicht erklären, dann find ich's bestimmt !
Ich glaub net, dass die Aufgabe schwer sein soll.... *g*
Danke
Faenôl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:14 So 19.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Faenol!
Du kennst den Satz von Cayley-Hamilton also nicht (wäre dann ja auch zu einfach gewesen  ).
Wie man die Aufgabe ohne den Satz von Cayley-Hamiltopn lösen kann, hat Lars hier sehr schön angedeutet. Gefällt mir wirklich, dieser Beweis!
Wenn du damit nicht zurechtkommst, kannst du dich ja wieder melden.
Liebe Grüße
Stefan
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