Nullstellen der Zetafunktion < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:48 So 19.01.2014 | | Autor: | Moebius |
| Aufgabe | Beweise mithilfe der Produktdarstellung der Zeatafunktion: [mm] $\zeta [/mm] (s)$ ist in [mm] $\sigma$ [/mm] > 1 nullstellenfrei.
[mm] ($\sigma$ [/mm] := Re s) |
Soweit bin ich schon:
[mm] $\zeta(s) [/mm] = [mm] \prod \limits_{p}{}(1-p^{-s})^{-1}$
[/mm]
Bei einem endlichen Produkt würde es ja reichen zu zeigen, dass jeder Faktor von null verschieden ist (ist hier ja der Fall). Da es sich hier um ein unendliches Produkt handelt, muss ich noch zeigen, dass das Produkt nicht (gegen Null) konvergiert. Wie mache ich das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:16 So 19.01.2014 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Beweise mithilfe der Produktdarstellung der Zeatafunktion:
> [mm]\zeta (s)[/mm] ist in [mm]\sigma[/mm] > 1 nullstellenfrei.
> ([mm]\sigma[/mm] := Re s)
> Soweit bin ich schon:
> [mm]\zeta(s) = \prod \limits_{p}{}(1-p^{-s})^{-1}[/mm]
> Bei einem
> endlichen Produkt würde es ja reichen zu zeigen, dass
> jeder Faktor von null verschieden ist (ist hier ja der
> Fall). Da es sich hier um ein unendliches Produkt handelt,
> muss ich noch zeigen, dass das Produkt nicht (gegen Null)
> konvergiert. Wie mache ich das?
Schaetze alle Faktoren gegen eine untere Schranke ab. Dann zeige, dass das Produkt ueber diese untere Schranke konvergiert. Zum Beispiel weisst du ja [mm] $\zeta(s) [/mm] > 0$ fuer $s [mm] \in \IR$, [/mm] $s > 1$. Vielleicht kannst du die Euler-Produkt-Entwicklung fuer [mm] $|\zeta(s)|$ [/mm] durch [mm] $\zeta(\Re [/mm] s) > 0$ nach unten abschaetzen?
LG Felix
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