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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Nullstellen
Nullstellen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Nullstellen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:28 Fr 26.06.2009
Autor: Primel

Aufgabe
Bestimme die Anzahl dere Nullstellen
[mm] f(z)=z^{5}+iz^{3}-4z+i, \{1<|z|<2\} [/mm]

Hallo,
ich denke, dass ich bei dieser Aufgabe den Satz von Rouché anwenden muss, aber irgendwie bin ich trotzdem noch unsicher.
Hier mein Lösungansatz:
[mm] f(z)=z^{5}+iz^{3} [/mm]
g(z)= [mm] z^{5}+iz^{3}-4z+i [/mm]
dann gilt
[mm] |-4z+i|\le [/mm] 2 < [mm] |z^{3}||z^{2}+i| [/mm]
für alle z mit |z|=1
Nach dem Satz von Rouché gibt es  2 Nullstellen mit 1<|z|

        
Bezug
Nullstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:39 Fr 26.06.2009
Autor: fred97


> Bestimme die Anzahl dere Nullstellen
>  [mm]f(z)=z^{5}+iz^{3}-4z+i, \{1<|z|<2\}[/mm]
>  Hallo,
> ich denke, dass ich bei dieser Aufgabe den Satz von Rouché
> anwenden muss, aber irgendwie bin ich trotzdem noch
> unsicher.
>  Hier mein Lösungansatz:
>  [mm]f(z)=z^{5}+iz^{3}[/mm]
>  g(z)= [mm]z^{5}+iz^{3}-4z+i[/mm]
>  dann gilt
> [mm]|-4z+i|\le[/mm] 2 < [mm]|z^{3}||z^{2}+i|[/mm]
>  für alle z mit |z|=1

Das stimmt nicht für |z|=1:  [mm]|-4z+i|\le[/mm] 2

Es stimmt nicht für z=1, z=-1, z= i, ...

FRED




>  Nach dem Satz von Rouché gibt es  2 Nullstellen mit 1<|z|


Bezug
                
Bezug
Nullstellen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:19 Fr 26.06.2009
Autor: Primel


Ja, irgendwie versteh ich das noch nicht ganz!

für |z|< 1 gilt

[mm] |iz^{3}+i|\le [/mm] 2 < [mm] |z^{5}-4z| [/mm] ?

Bezug
                        
Bezug
Nullstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:23 Fr 26.06.2009
Autor: fred97


>
> Ja, irgendwie versteh ich das noch nicht ganz!
>  
> für |z|< 1 gilt
>  
> [mm]|iz^{3}+i|\le[/mm] 2 < [mm]|z^{5}-4z|[/mm] ?


Wie kommst Du denn zu Deinen Ungleichungen (stochern im Nebel ?)



Die Ungleichung

[mm]|iz^{3}+i|\le[/mm] 2

ist für |z|<1 richtig.

Diese Ungl.

2 < [mm]|z^{5}-4z|[/mm]

aber nicht, die ist ja schon für z=0 falsch!

FRED



Bezug
        
Bezug
Nullstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:39 Fr 26.06.2009
Autor: prinzpi

Also ich habe erst mal folgendes gemacht:
Zu erst habe ich betrachtet wie viele Nullstellen in der Kreisscheibe D1(0) also für [mm] \left| z \right|<1 [/mm] vorkommen.

Dazu wähle: f1 = [mm] z^5 [/mm] und f2= [mm] iz^3-4z [/mm] +i

Dann den Betrag betrachten:
[mm] \left|f(z)-f[/mm] 2[mm] \right [/mm] | = [mm] \left| z^5 \right| \le \left | z \right |^5 [/mm] = 1  < [mm] \left| f[/mm] 2 [mm] \right [/mm] | = [mm] \left | iz^3-4z+i \right| \le \left | z^3 \right |+4\left | z \right [/mm] | + 1 = 6  (für [mm] \left |z\right|=1) [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm] mit Satz von Rouché, dass f2 und f1+f2 = f(z) gleich viele Nullstellen haben, nämlich 3.

Für [mm] \{1<\left | z \right |<2 \} [/mm] muss man halt nun schauen, wie viele Nullstellen noch überbleiben und für "|z|=2" ( Kreisscheibe mit Radius 2 betrachten)...

grüße
diese Antwort ist natürlich an Primel gerichtet nicht an fred

Bezug
                
Bezug
Nullstellen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:16 Mo 29.06.2009
Autor: Marec

Hi,

also mich würde an dieser Stelle interessieren, wie du darauf kommst, das das Polynom vom grad 3, drei Nullstellen hat und zwar im Kreis mit 0<r<1.

Hast du das berechnet?

Bezug
                        
Bezug
Nullstellen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:21 Mi 01.07.2009
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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