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Näherung der Binominalverteilung durch Normalverteilung:
Ein Autokonzern beschließt, auch auf die Verschleißteile eines Autos aus Werbegründen eine zweijährige Garantie zu geben. Die Vertragswerkstätten machten in der Vergangenheit die Erfahrung, dass in 6 % aller Fälle Verschleißteile zu erneuern waren. Es werden 12 000 Autos dieses Typs verkauft.
a) Mit wie vielen Garantiefällen muss man mit 95 % iger Wahrscheinlichkeit rechnen?
Mein Versuch:
µ=n*p => µ= 12 000* 0,06 =720
sigma= [mm] \wurzel{p*n*q} [/mm] => [mm] \wurzel{12 000*0,06*0,94}
[/mm]
sigma=26,01538007
P=95%
nach Tabelle ist bei 0,95 z=ca. 1,645
1,645= [mm] \bruch{x-720}{26,02}
[/mm]
x=762,8029 [mm] \sim [/mm] 763 Fälle
Stimmt dass?
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Hallo,
die Frage ist irgendwie missverständlich. Meinst du das in dem Sinn, dass du diejenige Anzahl an Garantiefällen wissen möchtest, die mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% höchstens auftritt?
Für diesen Fall wäre dein Ansatz richtig, allerdings solltest du bei der Anzahl abrunden (von der Sachlogik her).
Bist du dir weiter sicher, dass du mit der Normalverteilung rechnen sollst(es gibt gute Gründe, die eher für eine andere Verteilung sprechen)?
Gruß & frohe Weihnachten, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:31 Mi 25.12.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
nur zur Ergänzung für die Antwort von Diophant, übliche Verteilungen für Verschleißteile sind
a) Expotentialverteilung
b) Lognormal Verteilung
c) Badewannenkurve
d) Weibull Verteilung
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Laut dem Lösungsbuch wurde das aber anders gelöst, denn da wurde das Intervall, wieso auch immer als symmetrisch erachtet.
µ und sigma sind also richtig, jedoch
1, [mm] 96=\bruch{x-720}{26,02}
[/mm]
=720 [mm] \pm [/mm] 50,9992 ca. 51 Teile
Aber wie könnte ich aus dieser Angabe darauf schließen, dass man das symmetrische Intervall sucht?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:43 Do 26.12.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
nur zur Sicherheit: hast du den fraglichen Aufgabenteil im Startbeitrag wortwörtlich und komplett zitiert?
Wie ich schon dargelegt habe: das ist missverständlich formuliert, so wie es oben steht.
Gruß, Diophant
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Leider ist das die komplette Aufgabenstellung habe gerade die Buchseite eingescant und versuche sie hochzuladen.
Trotzdem THX ;)
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Hallo,
> Laut dem Lösungsbuch wurde das aber anders gelöst, denn
> da wurde das Intervall, wieso auch immer als symmetrisch
> erachtet.
> µ und sigma sind also richtig, jedoch
> 1, [mm]96=\bruch{x-720}{26,02}[/mm]
> =720 [mm]\pm[/mm] 50,9992 ca. 51 Teile
> Aber wie könnte ich aus dieser Angabe darauf schließen,
> dass man das symmetrische Intervall sucht?
Wie schon mehrfach angesprochen, ist diese Aufgabe (zumindest in meinen Augen) ziemlich verunglückt, speziell die Frage a).
Ganz offensichtlich soll mit der Normalverteilung gearbeitet werden. Nun sind aber solche Probleme in Wirklichkeit weder binomial- (warum nicht?) noch normalvertreilt. Die gängigste Verteilung für die Lebensdauer von Bauteilen etc. ist die Exponentialverteilung, und die habt ihr offensichtlich nicht durchgenommen.
Jetzt zu meiner Interpretation: viele stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen gehen unter bestimmten Bedingungen approximativ ineinander über. So habe ich die Frage a) nach dem Motto 'wenn schon Normalverteilung, dann halt so' als Wahrscheinlichkeit der Form [mm] P(X\le{k}) [/mm] aufgefasst (und du hast dies ja auch getan). Hättest du die komplette Aufgabe von vorn herein !!!ABGETIPPT, NICHT HOCHGELADEN/EINGESCANNT!!!, dann hätten wir an Hand der Frage b) sofort gesehen, um was es geht.
Aus sachlogischen Überlegungen heraus kann man natürlich, und so ist es offensichtlich gemeint, eine Lösung für die Gleichung [mm] P(\mu-a\le{X}\le{\mu+a}=0.95 [/mm] suchen und finden. Die beiden Grenzen haben dann unterschiedliche Bedeutung. Die untere Grenze signalisiert dem Hersteller, wie viel Kapazität er für die Instandsetzung in jedem Fall zur Verfügung stellen muss, die obere, mit was er im schlimmsten Fall finanziell rechnen muss. Also von daher macht die Fragestellung auf die Realität bezogen in dem Maße Sinn, wie man das halt heute auf sehr niedrigem Niveau in der Schule so pflegt als 'sinnvoll' zu verstehen. Jedoch würde dann wiederum viel eher der Ansatz via Exponentialverteilung naheliegen, da man sich selbst leicht klarmachen kann, dass ein solches Problem in der Realität keine symmetrische Dichte haben kann (noch einmal: warum?).
Der langen Rede kurzer Sinn: der Lösungsweg aus deiner Musterlösung liefert dir eine Umgebung um den Mittelwert, so dass bei einer mit den errechneten Parametern versehenen normalverteilten Zufallsgröße 95% einer Stichprobe entsprechneder Größe innerhalb des Intervalls liegen, und das war wohl gefragt.
Tippe also bitte in Zukunft solche Aufgaben komplett ab, lade keinesfalls eingescannte Buchseiten hier hoch, sondern lies hierzu bitte unsere Forenreglen gründlichst durch!
Gruß, Diophant
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