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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Niveaumenge
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Niveaumenge: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:30 Mi 05.11.2014
Autor: Melisa

Aufgabe
Betrachten Sie die Funktion f: [mm] \IR^2->\IR [/mm] die gegeben ist durch

f(x,y) = [mm] y^2-x^2+x^4 [/mm]

Betrachten Sie zudem noch die Funktion [mm] g:[-1,1]->\IR [/mm]

g(t) = [mm] t\wurzel{1-t^2} [/mm]

i) Zeigen Sie, dass die Niveaumenge [mm] N_{f}(0) [/mm] von f zum Niveau 0 gegeben ist durch die Vereinigung

{(t,g(t): [mm] t\in[-1,1] [/mm] } [mm] \cup [/mm] { (t,-g(t): [mm] t\in[-1,1] [/mm] }

ii) Berechnen Sie zudem fuer jedes [mm] t\in(-1,1) [/mm] das Skalarprodukt
    
             [mm] \left\langle grad f(t,g(t)) ; (1,g'(t))^T \right\rangle [/mm]


Hallo an alle,

ich moechte die Aufgabe loesen und braeuchte Ihre Hilfe, moechte wissen ob ich es richtig gemacht habe oder nicht

[mm] i)N_{f}(0) [/mm] = { [mm] (x,y)\in\IR| [/mm] f(x,y) = 0 }
=>
[mm] N_{f}(0) [/mm] = { [mm] (x,y)\in\IR| [/mm]  y = [mm] \pm \wurzel{x^2-x^4} [/mm] }
=>
[mm] N_{f}(0) [/mm] = { [mm] (x,y)\in[-1,1] [/mm] }

Da [mm] t\in[-1,1] [/mm] => t kann maximal 1 und mininal -1 sein
wenn t = -1 => g(-1) = 0
wenn t = 1 => g(1) = 0
=>
[mm] (t,g(t))\in[-1,1] [/mm]
das Gleiche gilt fuer  (t,-g(t))
=>
[mm] N_{f}(0) [/mm] ist gegeben durch
{(t,g(t): [mm] t\in[-1,1] [/mm] } [mm] \cup [/mm] { (t,-g(t): [mm] t\in[-1,1] [/mm] }

ii)
gradient von f(t,t(g)) = [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm]
und
g'(t) = [mm] (1-2t^2)/(\wurzel{1-t^2} [/mm]
und Skalarprodukt von diesen 2 Vektoren sind immer 0 fuer alle [mm] t\in(-1,1) [/mm]

Vielen Dank im Voraus,
LG



        
Bezug
Niveaumenge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:04 Mi 05.11.2014
Autor: fred97


> Betrachten Sie die Funktion f: [mm]\IR^2->\IR[/mm] die gegeben ist
> durch
>  
> f(x,y) = [mm]y^2-x^2+x^4[/mm]
>  
> Betrachten Sie zudem noch die Funktion [mm]g:[-1,1]->\IR[/mm]
>  
> g(t) = [mm]t\wurzel{1-t^2}[/mm]
>  
> i) Zeigen Sie, dass die Niveaumenge [mm]N_{f}(0)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

von f zum

> Niveau 0 gegeben ist durch die Vereinigung
>  
> {(t,g(t): [mm]t\in[-1,1][/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

} [mm]\cup[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

{ (t,-g(t): [mm]t\in[-1,1][/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

}

>  
> ii) Berechnen Sie zudem fuer jedes [mm]t\in(-1,1)[/mm] das
> Skalarprodukt
>      
> [mm]\left\langle grad f(t,g(t)) ; (1,g'(t))^T \right\rangle[/mm]
>  
> Hallo an alle,
>  
> ich moechte die Aufgabe loesen und braeuchte Ihre Hilfe,
> moechte wissen ob ich es richtig gemacht habe oder nicht
>  
> [mm]i)N_{f}(0)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

= { [mm](x,y)\in\IR|[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

f(x,y) = 0 }

>  =>
>  [mm]N_{f}(0)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

= { [mm](x,y)\in\IR|[/mm]  y = [mm]\pm \wurzel{x^2-x^4}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

}

>  =>
>  [mm]N_{f}(0)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

= { [mm](x,y)\in[-1,1][/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

}

Das ist doch Unsinn !!


>  
> Da [mm]t\in[-1,1][/mm] => t kann maximal 1 und mininal -1 sein
>  wenn t = -1 => g(-1) = 0

>  wenn t = 1 => g(1) = 0

>  =>
>  [mm](t,g(t))\in[-1,1][/mm]


Quatsch. Rechts steht eine Teilmengevon [mm] \IR [/mm] und linksein Element des [mm] \IR^2 [/mm]  !!!


>  das Gleiche gilt fuer  (t,-g(t))
>  =>
>  [mm]N_{f}(0)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

ist gegeben durch

>   {(t,g(t): [mm]t\in[-1,1][/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

} [mm]\cup[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

{ (t,-g(t): [mm]t\in[-1,1][/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

}

>  

Gezeigt hast Du nichts !

Für (x,y) \in N_f(0) gilt y = [mm]\pm \wurzel{x^2-x^4}[/mm][mm] =\pm |x|*\wurzel{1-x^2}=g(|t|) [/mm]

Hilft das ?


> ii)
>  gradient von f(t,t(g)) = [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm]

Das stimmt.


>  und
>  g'(t) = [mm](1-t^4)/(\wurzel{1-t^2}[/mm]

Das stimmt nicht


FRED

>  und Skalarprodukt von diesen 2 Vektoren sind immer 0 fuer
> alle [mm]t\in(-1,1)[/mm]
>  
> Vielen Dank im Voraus,
>  LG
>  
>  


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