Multiplikationstafel < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:29 Sa 20.10.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Schreiben Sie eine Multiplikationstafel von [mm] V_4 [/mm] = [mm] \IZ_2 \times \IZ_2 [/mm] . |
Im Internet habe ich herausgefunden, dass die Gruppe Kleinsche Vierergruppe heißt.
Nun [mm] \IZ_2 \times \IZ_2 [/mm] = [mm] \{(a,b)| a, b \in \IZ_2 \}
[/mm]
[mm] \IZ_2 [/mm] = [mm] \{ 1, 0 \}
[/mm]
Die Gruppenelemente sind : (1,1), (1,0), (0,1), (1,1)
Wie ist nun die Multiplikation defeniert?
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moin,
Du musst hier aufpassen: Wenn du [mm] $\IZ_2$ [/mm] als Gruppe sehen möchtest, so brauchst du die Addition, nicht die Multiplikation.
Sind nun $(a,b),(c,d) [mm] \in \IZ_2 \times \IZ_2$. [/mm] Dann ist $(a,b)+(c,d) := (a+c,b+d)$, also die Addition wird eintragsweise berechnet.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 Sa 20.10.2012 | | Autor: | sissile |
Hi,
Das verstehe ich nicht, es steht doch in der Angabe die MULTIPLIKATIONStafel. WIeso sollte ich mir dann die Addition ansehen?
Soll in nun solch eine Tafel schreiben:
wobei die erste Zeile/Spalte die Elemente sind:
Verknüpfung (1,1) (1,0) (0,1) (0,0)
(1,1) (0,0) (0,1) (1,0) (1,1)
(1,0) (0,1) (0,0) (1,1) (1,0)
(0,1) (1,0) (1,1) (0,0) (0,1)
(0,0) (1,1) (1,0) (0,1) (0,0)
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> Hi,
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> Das verstehe ich nicht, es steht doch in der Angabe die
> MULTIPLIKATIONStafel. WIeso sollte ich mir dann die
> Addition ansehen?
Ja, in einer Gruppe gibt es nur eine Verknüpfung, diese wird dann meistens Multiplikation genannt.
Betrachtest du [mm] $\IZ_2$ [/mm] (als Ring oder als Körper) so hast du hier ja eine Addition und eine Multiplikation, also [mm] $(\IZ_2,+,*)$. [/mm] Nun kann man zeigen, dass [mm] $(\IZ_2,+)$ [/mm] eine Gruppe ist, [mm] $(\IZ_2,*)$ [/mm] allerdings nicht.
Daher muss deine Gruppenverküpfung hier die Addition sein, auch wenn sie vielleicht nicht so heißt.
>
> Soll in nun solch eine Tafel schreiben:
> wobei die erste Zeile/Spalte die Elemente sind:
>
> Verknüpfung (1,1) (1,0) (0,1) (0,0)
> (1,1) (0,0) (0,1) (1,0) (1,1)
> (1,0) (0,1) (0,0) (1,1) (1,0)
> (0,1) (1,0) (1,1) (0,0) (0,1)
> (0,0) (1,1) (1,0) (0,1) (0,0)
>
>
Sieht gut aus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 Sa 20.10.2012 | | Autor: | sissile |
Ich würde dazu gerne noch was frage.
Im Internet habe ich nirgends meine Schreibweise gefunden, sondern wenn die Elemente aufgezählt sind : 1,a,b,ab oder 0,1,a,b . Was bedeutet denn dass?
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Hallo sissile,
> Ich würde dazu gerne noch was frage.
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> Im Internet habe ich nirgends meine Schreibweise gefunden,
> sondern wenn die Elemente aufgezählt sind : 1,a,b,ab oder
> 0,1,a,b . Was bedeutet denn dass?
Das sind zunächst einmal jeweils für sich Gruppen (man muss aber u.U. noch dazusagen, wie die Verknüpfung funktionieren soll. Bei deinen beiden Schreibweisen wird bei der ersten offensichtlich multipliziert (mit a*a=b*b=1) und bei der zweiten addiert, jedoch mit 1+1=a+a=b+b=0.
Wenn man jetzt noch zeigen kann, dass diese Gruppen isomorph sind, dann kann man das tatsächlich als unterschiedliche Schreibweisen ein und derselben Gruppenstruktur auffassen. Ich kenne bspw. im Zusammenhang mit der Kleinschen Vierergruppe hauptsächlich die Schreibweise mit den Elementen 1,a,b,ab und der multiplikativen Verknüpfung.
Stelle doch mal spaßeshalber für eine der Schreibweisen auch noch eine VErknüpfungstafel auf, dann siehst du vielleicht was ich meine: jedem Element deiner Schreibweise ist ein Element der anderen Schreibweise eindeutig zugeordnet. Und dieses Element steht in der Tafel genau an der Stelle, wie das entsprehende aus deiner nTafel. Das meint man vereinfacht gesagt auch (bei Gruppen) mit Isomorphie.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 Sa 20.10.2012 | | Autor: | sissile |
Danke für die Info. Es spricht also nichts gegen meine "Vektor"Schreibweise?
Ich habe noch eine Frage dazu:
Warum gibt es keine Untergruppen von [mm] V_4 [/mm] der Ordnung 3?
Ich habe im Internet gelesen weil Ordnung einer Untergruppe immer die Gruppenordnung teilen muss. Diesen Satz hatte ich jedoch nicht in der Vorlesung. Deshalb meine Frage: Kann man das auch anders begründen? Oder mir eine Seite mit dem Beweis dazu empfehlen?
LG
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Hallo,
das ist ja genau die Aussage des ![[]](/images/popup.gif) Satz von Lagrange. Auf der Wikipedia-Seite ist auch ein beweis enthalten.
Der Satz dürfte aber demnächst eingeführt werden, er steht am Anfang der Gruppentheorie, gehört also sozusagen zu den Basics.
Gruß, Diophant
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