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| Aufgabe | Beispiel :
Untersuchen Sie die Funktion f(x) = [mm] \bruch{1}{3}x^3 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] +4 mithilfe des Monotoniekriteriums auf strenge Monotonie. |
Hallo , diese Beispielaufgabe ist aus meinem Mathebuch.
Wir haben letzte Woche mit Monotonie angefangen und die ganzen Kriterien gelernt , aber bei dieser Aufgabe verstehe ich die Lösung nicht :
Lösung:
[mm] f(x)=\bruch{1}{3}x^3 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] +4 besitzt die Ableitung f'(x) = [mm] x^2-2x.
[/mm]
f' hat Nullstellen bei x=0 und x =2.
Für x < 0 ist f'(x) >0 , also ist f nach dem Monotoniekriterium(f'(x) > 0 ) in diesem Bereich streng monoton steigend.
Für 0 < x < 2 ist f'(x) < 0. f ist dort streng monoton fallend(f'x() < 0).
Für x > 2 ist f'(x) > 0. f ist dort also streng monoton steigend(f'(x) > 0).
Also die haben hier erstmal die 1. Ableitung gebildet und dann die Nullstellen errechnet 0 und 2.
Wenn ich aber jetzt 0 in die Ableitung einsetze bekomme ich Null raus , die sagen aber es ist streng monoton steigend , das Kriterium dafür ist f'(x) > 0.
Sobald man 0 einsetzt ist doch die Ableitungsfunktion nicht größer Null , sie ist gleich Null ? Dann muss es doch monoton steigend sein , also f'(x) [mm] \ge [/mm] 0.
Kann mir das bitte jemand erklären , was mit der 0 und 2 gemacht wird , bzw wo es eingesetzt wird. Werde aus der Lösung nicht schlauer.
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Hallo pc_doktor,
zeichne Dir sowohl die Funktion als auch die Ableitungsfunktion mal so in etwa auf.
> Beispiel :
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> Untersuchen Sie die Funktion f(x) = [mm]\bruch{1}{3}x^3[/mm] - [mm]x^2[/mm]
> +4 mithilfe des Monotoniekriteriums auf strenge Monotonie.
> Hallo , diese Beispielaufgabe ist aus meinem Mathebuch.
> Wir haben letzte Woche mit Monotonie angefangen und die
> ganzen Kriterien gelernt , aber bei dieser Aufgabe verstehe
> ich die Lösung nicht :
>
> Lösung:
>
> [mm]f(x)=\bruch{1}{3}x^3[/mm] - [mm]x^2[/mm] +4 besitzt die Ableitung f'(x)
> = [mm]x^2-2x.[/mm]
f(x) ist eine Polynomfunktion dritten Grades mit einem positiven Koeffizienten vor der höchsten Potenz. Der Normalfall ist dann "von unten über Berg und Tal bis in den Himmel" - also "von links" kommend aufwärts bis zu einem Maximum, dann abwärts bis zu einem Minimum und ab da strikt "nach oben".
Das gilt ganz ähnlich für höhere ungerade Potenzen, nur dass sich die Zahl der Berge und Täler normalerweise entsprechend erhöht, bei einer 5. Potenz also Berg, Tal, Berg, Tal.
Soweit die anschauliche Merkregel. Leider ist sie manchmal falsch, nämlich dann, wenn sozusagen Maximum und Minimum zusammenfallen und stattdessen daraus ein Sattelpunkt entsteht - also ein Punkt, wo die 1. Ableitung 0 ist, aber trotzdem kein Extremum vorliegt. Jede Polynomfunktion, in deren weitestmöglicher Faktorisierung ein quadratisches Glied (oder höherer gerader Potenz) auftritt, verfügt über diese Eigenschaft.
Nehmen wir [mm] f(x)=(x+2)^2*(x+1)^3*x*(x-1)*(x-2)^6*(x-3)*(x^2+3x+3). [/mm] Das scheint ziemlich riesig, eine Polynomfunktion 16. Grades. Sie abzuleiten ist recht mühsam, Nullstellen der Ableitung lassen sich auch nur ganz schlecht finden, will heißen: die meisten nur auf numerischem Weg (bei x=-2,-1,2 sind allerdings welche).
Trotzdem wissen wir sofort, dass bei x=-1 ein Sattelpunkt vorliegt, und auch nur dort. Sogar die Verteilung mancher besonderen Punkte können wir ablesen: der Graph der Funktion verläuft von [mm] x=-\infty [/mm] an erst einmal abwärts (kommt also von [mm] y=+\infty), [/mm] hat im Punkt (-2,0) ein Minimum, zwischen x=-2 und -1 ein Maximum, bei (-1,0) einen Sattelpunkt, dann zwischen x=-1 und 0 ein Minimum, bei x=0 eine Nullstelle, zwischen x=0 und 1 ein Maximum, bei x=1 eine Nullstelle, zwischen x=1 und 2 ein Minimum, bei x=2 eine Nullstelle, die zugleich Maximum ist, zwischen x=2 und 3 ein Minimum, bei x=3 eine Nullstelle und ab da nichts besonderes mehr, sondern nur noch streng monoton wachsend.
Lass es Dir mal plotten (z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier) und versuche nachzuvollziehen, wie man diese Aussagen gewinnt, ohne auch nur ein bisschen gerechnet zu haben.
> f' hat Nullstellen bei x=0 und x =2.
Ja.
> Für x < 0 ist f'(x) >0 , also ist f nach dem
> Monotoniekriterium(f'(x) > 0 ) in diesem Bereich streng
> monoton steigend.
>
> Für 0 < x < 2 ist f'(x) < 0. f ist dort streng monoton
> fallend(f'x() < 0).
>
> Für x > 2 ist f'(x) > 0. f ist dort also streng monoton
> steigend(f'(x) > 0).
>
> Also die haben hier erstmal die 1. Ableitung gebildet und
> dann die Nullstellen errechnet 0 und 2.
>
> Wenn ich aber jetzt 0 in die Ableitung einsetze bekomme ich
> Null raus , die sagen aber es ist streng monoton steigend ,
> das Kriterium dafür ist f'(x) > 0.
Ja. Bei x=0 ist ja gerade die Grenze zwischen steigend und fallend, da bei x=0 ein Maximum vorliegt.
> Sobald man 0 einsetzt ist doch die Ableitungsfunktion nicht
> größer Null , sie ist gleich Null ?
Völlig korrekt.
>Dann muss es doch
> monoton steigend sein , also f'(x) [mm]\ge[/mm] 0.
Nein. Du musst nicht die beiden Punkte betrachten, wo die Ableitung Null wird, sondern eben alles andere.
> Kann mir das bitte jemand erklären , was mit der 0 und 2
> gemacht wird , bzw wo es eingesetzt wird. Werde aus der
> Lösung nicht schlauer.
Die werden gerade nicht eingesetzt. Da wissen wir doch schon, dass die Ableitung Null wird. Interessant ist, was "vor der 0" passiert, dann zwischen 0 und 2, und schließlich auch "nach der 2".
Das beste ist also, Du setzt versuchsweise x=-1 ein, dann x=1 und x=3. Oder Du überlegst Dir, wie die Ableitungsfunktion eigentlich verläuft - eine Parabel mit einem positiven Koeffizienten vor dem Glied mit der höchsten Potenz.
Grüße
reverend
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Vielen Dank für das ausführliche Erklären.
Das heißt , sobald man die Nullstellen hat , 0 und 2 , wird einmal errechnet , wie sich die Ableitung verhält bei Zahlen kleiner 0 , Zahlen größer 2 oder Zahlen zwischen 0 und 2.
Habe ich das richtig verstanden ?
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Hallo pc_doctor,
> Vielen Dank für das ausführliche Erklären.
>
> Das heißt , sobald man die Nullstellen hat , 0 und 2 ,
> wird einmal errechnet , wie sich die Ableitung verhält bei
> Zahlen kleiner 0 , Zahlen größer 2 oder Zahlen zwischen 0
> und 2.
>
> Habe ich das richtig verstanden ?
Ja, das hast Du richtig verstanden.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:51 Sa 19.11.2011 | | Autor: | pc_doctor |
Alles klar vielen Dank für die Hilfe.
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