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Forum "Folgen und Reihen" - Monotonie einer Folge
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Monotonie einer Folge: 2n-te Wurzel aus n
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:45 Sa 20.04.2019
Autor: gaussdiemaus

Aufgabe
Gegeben sei die Zahlenfolge [mm] $a_n [/mm] = [mm] (\sqrt{n})^{\frac{1}{n}}$ [/mm] für $n [mm] \in \N$. [/mm] Zeigen Sie, dass es ein $N [mm] \in \N$ [/mm] gibt, so dass die Folge für $n [mm] \geq [/mm] N$ streng monoton fallend ist, daher [mm] $a_n>a_{n+1},\ [/mm] n [mm] \geq [/mm] N$ gilt. Geben Sie das kleinste derartige $N$ an.

Hallo liebe Helfer,

ich frage mich, wie man obige Aufgabe mit beschränkten Mitteln (also zB keine Differenzialrechnung) lösen kann.

Egal, wie ich versuche [mm] $a_n Vielen Dank für die Hilfe,
GaussDieMaus

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Monotonie einer Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:31 Sa 20.04.2019
Autor: fred97


> Gegeben sei die Zahlenfolge [mm]a_n = (\sqrt{n})^{\frac{1}{n}}[/mm]
> für [mm]n \in \N[/mm]. Zeigen Sie, dass es ein [mm]N \in \N[/mm] gibt, so
> dass die Folge für [mm]n \geq N[/mm] streng monoton fallend ist,
> daher [mm]a_n>a_{n+1},\ n \geq N[/mm] gilt. Geben Sie das kleinste
> derartige [mm]N[/mm] an.
>  Hallo liebe Helfer,
>  
> ich frage mich, wie man obige Aufgabe mit beschränkten
> Mitteln (also zB keine Differenzialrechnung) lösen kann.
>  


Das geht ganz elementar.

Aus der  Ungleichung  [mm] a_n> a_{n+1} [/mm]

wird durch  Äquivalenzumformungen  ( quadrieren,  hoch n und hoch (n+1) ) die Ungleichung

(*)  n > [mm] (1+1/n)^n. [/mm]

Die letzte Ungleichung ist zweifellos ab einem N richtig,  denn die linke Seite wird beliebig groß und die rechte  Seite bleibt kleiner als 3.

Wenn Du  nun einige wenige Zahlen in (*) einsetzt,  so solltest Du schnell sehen, wie das kleinste N ausschaut.  



> Egal, wie ich versuche [mm]a_n
> nicht weiter.
>  Vielen Dank für die Hilfe,
>  GaussDieMaus
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


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