Metrischer Raum, Offene Mengen < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:53 So 19.11.2017 | | Autor: | Son |
| Aufgabe | Ist (Ω,d) ein metrischer Raum und A⊆Ω ≠ ∅. Dann (A, d|_(AxA)) metrischer Raum. Zz:
Menge B⊆A offen ⇔ es gibt offene Menge U mit B=U∩A. |
Die Hinrichtung habe ich bewiesen.
Wüsste vllt jemand wie die Rückrichtung bewiesen wird?
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Sei [mm] $x\in A\cap [/mm] U$. Insbesondere [mm] $x\in [/mm] U$. Da $U$ offen ist, gilt...
Da $x$ beliebig war, ist [mm] $A\cap [/mm] U$ offen in $A$.
Liebe Grüße
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Mo 20.11.2017 | | Autor: | Son |
Da U offen, ist der Schnitt offener Mengen offen --> Also ist B offen , da B=A [mm] \cap [/mm] U
geht es so?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:02 Mo 20.11.2017 | | Autor: | Son |
Ich merk grad dass der Beweis völlig falsch ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:15 Di 21.11.2017 | | Autor: | fred97 |
> Da U offen, ist der Schnitt offener Mengen offen --> Also
> ist B offen , da B=A [mm]\cap[/mm] U
> geht es so?
Nein.
Ich zeig Dir mal wie man das macht.
Dazu einige Bezeichnungen:ich Bezeichne mit [mm] d_0 [/mm] die Metrik [mm] d_{| A \times A} [/mm] und für $w [mm] \in \Omega$ [/mm] und r>0 sei
[mm] $K(w,r)=\{v \in \Omega; d(v,w)
(offene Kugel (in [mm] \Omega) [/mm] um $w$ mit Radius r).
Für a [mm] \in [/mm] A sei [mm] K_0(a,r)=\{b \in A: d_0(b,a)
(offene Kugel (in A ) um $a$ mit Radius r).
Mache Dir klar: [mm] K_0(a,r)= [/mm] K(a,r) [mm] \cap [/mm] A.
Nun sei B eine Teilmenge von A. Zu zeigen ist:
B ist offen in A [mm] \gdw [/mm] es ex. ein U offen in [mm] \Omega [/mm] mit B=A [mm] \cap [/mm] U.
Beweis:
1. Sei B offen in A. Zu jedem b [mm] \in [/mm] B gibt es also ein [mm] r_b>0 [/mm] mit [mm] K_0(b,r_b) \subseteq [/mm] B. Setze
U:= [mm] \bigcup_{b \in B}K(b,r_b).
[/mm]
Dann ist U offen in [mm] \Omega [/mm] (warum ?) und B=A [mm] \cap [/mm] U (warum ?).
2. Sei U offen in [mm] \Omega [/mm] und B=A [mm] \cap [/mm] U.
Ist dann b [mm] \in [/mm] B, so ist b [mm] \in [/mm] U. Also ex. ein r>0 mit K(b,r) [mm] \subset [/mm] U.
Dann ist [mm] K_0(b,r) \subset [/mm] B (warum ?).
Damit ist gezeigt: B ist offen in A.
Wenn Du nun die drei "warums ?" richtig beantwortest, hast Du den gewünschten Beweis.
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