Metrische Räume und stetige Ab < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:51 Do 31.07.2014 | | Autor: | Calculu |
| Aufgabe | Seien (X,d), [mm] (Y,\partial) [/mm] metrische Räume und sei f: X [mm] \to [/mm] Y eine stetige Abbildung.
Seien K,L nicht leere, disjunkte Teilmengen von X. Zeigen Sie: Ist K kompakt und ist L abgeschlossen in X, so ist inf{ d(x,y) | x [mm] \in [/mm] K, y [mm] \in [/mm] L } > 0. |
Hallo. Ich habe Probleme bei dieser Aufgabe. Da K,L disjunkt sind und x [mm] \in [/mm] K sowie y [mm] \in [/mm] L, muss doch der Abstand zwischen diesen beiden Punkten größer als Null sein.
Wo steckt die Schwierigkeit, oder andersrum: was mache ich falsch?
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> Seien (X,d), [mm](Y,\partial)[/mm] metrische Räume und sei f: X [mm]\to[/mm]
> Y eine stetige Abbildung.
> Seien K,L nicht leere, disjunkte Teilmengen von X. Zeigen
> Sie: Ist K kompakt und ist L abgeschlossen in X, so ist
> $\ inf [mm] \{ d(x,y)\ |\ x \in\ K, y \in L \} [/mm] > 0$.
> Hallo. Ich habe Probleme bei dieser Aufgabe. Da K,L
> disjunkt sind und x [mm]\in[/mm] K sowie y [mm]\in[/mm] L, muss doch der
> Abstand zwischen diesen beiden Punkten größer als Null
> sein.
> Wo steckt die Schwierigkeit, oder andersrum: was mache ich
> falsch?
Hallo Calculu
Zuerst könnte man sich mal fragen, was denn die stetige
Abbildung f und die Menge Y in dieser Aufgabe überhaupt
zu suchen haben. Die eigentliche Aufgabe hat damit ja
offenbar gar nichts zu tun.
Zweitens: dass der Abstand zwischen einem Punkt x von K
und einem Punkt y von L positiv sein muss, ist aufgrund
der Voraussetzungen ebenfalls klar. Aber zu zeigen ist
noch etwas mehr, nämlich dass das Infimum dieser
Abstände positiv (und nicht etwa gleich 0) ist.
Wenn du fragst, wo die Schwierigkeit liegt: die könnte
darin liegen, dass das Infimum einer Menge von Zahlen
(Abständen), die zwar alle positiv sind, trotzdem gleich 0
sein könnte.
LG , Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 Do 31.07.2014 | | Autor: | Calculu |
> > Seien (X,d), [mm](Y,\partial)[/mm] metrische Räume und sei f: X [mm]\to[/mm]
> > Y eine stetige Abbildung.
> > Seien K,L nicht leere, disjunkte Teilmengen von X.
> Zeigen
> > Sie: Ist K kompakt und ist L abgeschlossen in X, so ist
> > [mm]\ inf \{ d(x,y)\ |\ x \in\ K, y \in L \} > 0[/mm].
> > Hallo.
> Ich habe Probleme bei dieser Aufgabe. Da K,L
> > disjunkt sind und x [mm]\in[/mm] K sowie y [mm]\in[/mm] L, muss doch der
> > Abstand zwischen diesen beiden Punkten größer als Null
> > sein.
> > Wo steckt die Schwierigkeit, oder andersrum: was mache
> ich
> > falsch?
>
>
>
> Hallo Calculu
>
> Zuerst könnte man sich mal fragen, was denn die stetige
> Abbildung f und die Menge Y in dieser Aufgabe überhaupt
> zu suchen haben. Die eigentliche Aufgabe hat damit ja
> offenbar gar nichts zu tun.
Ich habe die Frage nicht verstanden. Meinst du, ich soll überlegen wie mir diese Aspekte helfen können oder willst du sagen, dass sie nichts zum Lösen der Aufgabe beitragen. Es gibt noch einen Teil b der Aufgabe, den ich nicht aufgeschrieben habe. In dem braucht man Stetigkeit und die Menge Y.
>
> Zweitens: dass der Abstand zwischen einem Punkt x von K
> und einem Punkt y von L positiv sein muss, ist aufgrund
> der Voraussetzungen ebenfalls klar. Aber zu zeigen ist
> noch etwas mehr, nämlich dass das Infimum dieser
> Abstände positiv (und nicht etwa gleich 0) ist.
>
> Wenn du fragst, wo die Schwierigkeit liegt: die könnte
> darin liegen, dass das Infimum einer Menge von Zahlen
> (Abständen), die zwar alle positiv sind, trotzdem gleich
> 0
> sein könnte.
Aber dann müsste doch x=y gelten und die beiden Teilmengen K und L wären nicht mehr disjunkt.
>
> LG , Al-Chwarizmi
>
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> > > Seien (X,d), [mm](Y,\partial)[/mm] metrische Räume und sei f: X [mm]\to[/mm]
> > > Y eine stetige Abbildung.
> > > Seien K,L nicht leere, disjunkte Teilmengen von X.
> > Zeigen
> > > Sie: Ist K kompakt und ist L abgeschlossen in X, so ist
> > > [mm]\ inf \{ d(x,y)\ |\ x \in\ K, y \in L \} > 0[/mm].
> > >
> Hallo.
> > Ich habe Probleme bei dieser Aufgabe. Da K,L
> > > disjunkt sind und x [mm]\in[/mm] K sowie y [mm]\in[/mm] L, muss doch der
> > > Abstand zwischen diesen beiden Punkten größer als Null
> > > sein.
> > > Wo steckt die Schwierigkeit, oder andersrum: was
> mache
> > ich
> > > falsch?
> >
> >
> >
> > Hallo Calculu
> >
> > Zuerst könnte man sich mal fragen, was denn die stetige
> > Abbildung f und die Menge Y in dieser Aufgabe
> überhaupt
> > zu suchen haben. Die eigentliche Aufgabe hat damit ja
> > offenbar gar nichts zu tun.
>
> Ich habe die Frage nicht verstanden. Meinst du, ich soll
> überlegen wie mir diese Aspekte helfen können oder willst
> du sagen, dass sie nichts zum Lösen der Aufgabe beitragen.
> Es gibt noch einen Teil b der Aufgabe, den ich nicht
> aufgeschrieben habe. In dem braucht man Stetigkeit und die
> Menge Y.
Gut, dann spielen eben die Menge Y und die Funktion f erst
in der Teilaufgabe b eine Rolle.
> > Zweitens: dass der Abstand zwischen einem Punkt x von K
> > und einem Punkt y von L positiv sein muss, ist
> aufgrund
> > der Voraussetzungen ebenfalls klar. Aber zu zeigen ist
> > noch etwas mehr, nämlich dass das Infimum dieser
> > Abstände positiv (und nicht etwa gleich 0) ist.
> >
> > Wenn du fragst, wo die Schwierigkeit liegt: die könnte
> > darin liegen, dass das Infimum einer Menge von Zahlen
> > (Abständen), die zwar alle positiv sind, trotzdem
> gleich
> > 0
> > sein könnte.
>
> Aber dann müsste doch x=y gelten und die beiden Teilmengen
> K und L wären nicht mehr disjunkt. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Das verstehe ich nicht ganz. Es gibt durchaus Möglichkeiten,
disjunkte Teilmengen A und B eines metrischen Raumes anzugeben,
wobei zwar d(x,y)>0 für alle $\ [mm] (x,y)\in A\times [/mm] B$ und trotzdem
$\ [mm] inf\{\,d(x,y)\ |\ x\in A\ \wedge\ y\in B\,\}\ [/mm] >\ 0$
Die in der Aufgabenstellung weiter angegebenen Voraussetzungen
für die Teilmengen K und L sind also wesentlich.
Ich sehe aber, dass Marcel inzwischen schon eine Antwort gegeben
hat, die darauf eingeht.
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:05 Do 31.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Wenn du fragst, wo die Schwierigkeit liegt: die könnte
> > darin liegen, dass das Infimum einer Menge von Zahlen
> > (Abständen), die zwar alle positiv sind, trotzdem
> gleich
> > 0
> > sein könnte.
>
> Aber dann müsste doch x=y gelten und die beiden Teilmengen
> K und L wären nicht mehr disjunkt.
nein. Wenn dist(X,Y)=0, so bedeutet das nur:
Es gibt eine Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] in [mm] $X\,$ [/mm] und eine Folge [mm] $(y_n)_n$ [/mm] in [mm] $Y\,$ [/mm] mit
[mm] $d(x_n,y_n) \to 0\,.$
[/mm]
Nimm' den [mm] $\IR^2$ [/mm] und betrachte die offene Kugel mit Radius [mm] $1\,,$ [/mm] Mittelpunkt [mm] $(-1,0)\,$ [/mm] und
betrachte die (offene oder abgeschlossene) Kugel mit Radius [mm] $1\,,$ [/mm] und MP [mm] $(1,0)\,.$ [/mm] Diese
beiden Kugeln sind disjunkt, aber deren Abstand ist [mm] $0\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:57 Do 31.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Calculu,
> Seien (X,d), [mm](Y,\partial)[/mm] metrische Räume und sei f: X [mm]\to[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Y eine stetige Abbildung.
> Seien K,L nicht leere, disjunkte Teilmengen von X. Zeigen
> Sie: Ist K kompakt und ist L abgeschlossen in X, so ist
> inf{ d(x,y) | x [mm]\in[/mm] K, y [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
L } > 0.
> Hallo. Ich habe Probleme bei dieser Aufgabe. Da K,L
> disjunkt sind und x [mm]\in[/mm] K sowie y [mm]\in[/mm] L, muss doch der
> Abstand zwischen diesen beiden Punkten größer als Null
> sein.
> Wo steckt die Schwierigkeit, oder andersrum: was mache ich
> falsch?
naja, man sollte hier schon formal das beweisen, was man beweisen will,
denn dann sieht man, an welcher Stelle man welche Argumente braucht.
Eigentlich ist beachtenswert, dass die Kompaktheit hier keineswegs
unbeachtet bleiben darf. Ich selbst würde, bevor ich diese Aufgabe
stellen würde, erstmal folgende Aufgabe formulieren:
"Geben Sie im [mm] $\IR^2$ [/mm] zwei disjunkte, abgeschlossene Mengen [mm] $A,B\,$ [/mm] an,
deren Abstand [mm] ($:=\inf\{d(a,b):\;\,a \in A \text{ und }b \in B\}$) [/mm] den Wert [mm] $0\,$ [/mm] hat!"
Du glaubst jetzt vielleicht, dass sowas doch unmöglich ist? Das ist es aber
nicht:
Sei [mm] $B:=\{(x,y) \in \IR^2:\;\; x \le 0 \text{ und }y \ge 0\}\,.$ [/mm] Sei
[mm] $A:=\{(x,y) \in \IR^2:\;\;x > 0 \text{ und }y \ge 1/x\}\,.$
[/mm]
Dass [mm] $B\,$ [/mm] abgeschlossen ist, ist klar (oder?). Die Abgeschlossenheit von [mm] $A\,$ [/mm]
vielleicht nicht ganz so:
Sei [mm] $((x_n,y_n))_n$ [/mm] eine Folge in [mm] $A\,$ [/mm] mit [mm] $(x_n,y_n) \to (x_0,y_0)$ [/mm] in [mm] $\IR^2\,.$ [/mm] Dann
folgt insbesondere [mm] $y_n \to y_0\,.$ [/mm] Für alle [mm] $n\,$ [/mm] ist
[mm] $y_n \ge \frac{1}{x_n}$ [/mm] (beachte auch [mm] $x_n [/mm] > 0$).
Überlege Dir mal (meinetwegen auch erstmal mit einem anschaulichen
Argument), warum $0 < [mm] x_n \to [/mm] 0$ unmöglich ist. Daher folgt aus [mm] $x_n \to x_0$ [/mm] hier
insbesondere [mm] $x_0 [/mm] > [mm] 0\,.$
[/mm]
Aus [mm] $y_0 \leftarrow \;y_n \ge 1/x_n \;\to 1/x_0$ folgt
$y_0 \ge \frac{1}{x_0}$ mit $x_0 > 0\,.$
Also $(x_0,y_0) \in A\,.$ Da die Folge aus $A\,,$ die einen $\IR^2$-Grenzwert hat,
beliebig war, folgt: Für alle Folgen in $A\,,$ die einen $\IR^2$-Grenzwert haben,
folgt, dass deren Grenzwert auch zu $A\,$ gehört. Folglich ist $A\,$ abgeschlossen.
Eine Frage noch an Dich: Wieso ist $\text{dist}(A,B):=\inf\{d(a,b):\;\,a \in A \text{ und }b \in B\}$ wirklich $=0$?
Und natürlich sollte man sich von $A \cap B=\varnothing$ überzeugen, aber das
geht schnell... (nicht nur anschaulich)!
Gruß,
Marcel
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:05 Fr 01.08.2014 | | Autor: | fred97 |
Nimm an, es wäre
$ [mm] \inf \{ d(x,y) | x \in K, y \in L \} [/mm] = 0.$
Dann gibt es eine Folge [mm] (x_n) [/mm] in K und eine Folge [mm] (y_n) [/mm] in L mit
[mm] d(x_n,y_n) \to [/mm] 0.
Da K kompakt ist, enthält [mm] (x_n) [/mm] eine konvergente Teilfolge [mm] (x_{n_k}), [/mm] deren Limes x zu K gehört.
Zeige nun Du: die Folge [mm] (y_{n_k}) [/mm] konvergiert ebenfalls gegen x.
Kann das gutgehen ?
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:52 So 03.08.2014 | | Autor: | Calculu |
> Nimm an, es wäre
>
> [mm]\inf \{ d(x,y) | x \in K, y \in L \} = 0.[/mm]
>
> Dann gibt es eine Folge [mm](x_n)[/mm] in K und eine Folge [mm](y_n)[/mm] in
> L mit
>
> [mm]d(x_n,y_n) \to[/mm] 0.
>
> Da K kompakt ist, enthält [mm](x_n)[/mm] eine konvergente Teilfolge
> [mm](x_{n_k}),[/mm] deren Limes x zu K gehört.
>
> Zeige nun Du: die Folge [mm](y_{n_k})[/mm] konvergiert ebenfalls
> gegen x.
Dann gilt für alle k [mm] \in \IN: [/mm] 0 [mm] \le d((y_{n_k}), [/mm] x) [mm] \le d((y_{n_k}), (x_{n_k})) [/mm] + [mm] d((x_{n_k}), [/mm] x) wobei [mm] d((y_{n_k}), (x_{n_k})) [/mm] als Teilfolge von [mm] d(x_{n}, y_{n}) [/mm] gegen 0 konvergiert und d( [mm] (x_{n_k}), [/mm] x) ebenfalls gegen 0 konvergiert. Also geht insgesamt [mm] (y_{n_k}) [/mm] gegen x für k [mm] \to \infty. [/mm] Da [mm] (y_{n_k}) [/mm] eine Folge in L ist und L abgeschlossen muss x [mm] \in [/mm] L sein. Also muss insgesamt x [mm] \in [/mm] K [mm] \cap [/mm] L, was aber noch Voraussetzung disjunkt ist, also haben wir einen Widerspruch.
Passt das so?
>
> Kann das gutgehen ?
>
> FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:47 So 03.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> > Nimm an, es wäre
> >
> > [mm]\inf \{ d(x,y) | x \in K, y \in L \} = 0.[/mm]
> >
> > Dann gibt es eine Folge [mm](x_n)[/mm] in K und eine Folge [mm](y_n)[/mm] in
> > L mit
> >
> > [mm]d(x_n,y_n) \to[/mm] 0.
> >
> > Da K kompakt ist, enthält [mm](x_n)[/mm] eine konvergente Teilfolge
> > [mm](x_{n_k}),[/mm] deren Limes x zu K gehört.
> >
> > Zeige nun Du: die Folge [mm](y_{n_k})[/mm] konvergiert ebenfalls
> > gegen x.
> Dann gilt für alle k [mm]\in \IN:[/mm] 0 [mm]\le d((y_{n_k}),[/mm] x) [mm]\le d((y_{n_k}), (x_{n_k}))[/mm]
> + [mm]d((x_{n_k}),[/mm] x) wobei [mm]d((y_{n_k}), (x_{n_k}))[/mm] als
> Teilfolge von [mm]d(x_{n}, y_{n})[/mm] gegen 0 konvergiert und d(
> [mm](x_{n_k}),[/mm] x) ebenfalls gegen 0 konvergiert. Also geht
> insgesamt [mm](y_{n_k})[/mm] gegen x für k [mm]\to \infty.[/mm] Da [mm](y_{n_k})[/mm]
> eine Folge in L ist und L abgeschlossen muss x [mm]\in[/mm] L sein.
> Also muss insgesamt x [mm]\in[/mm] K [mm]\cap[/mm] L, was aber noch
> Voraussetzung disjunkt ist, also haben wir einen
> Widerspruch.
>
> Passt das so?
Ja
FRED
>
>
> >
> > Kann das gutgehen ?
> >
> > FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:14 So 03.08.2014 | | Autor: | Calculu |
Ok, vielen Dank an euch drei für die Hilfe!
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