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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:34 Mi 08.12.2004 | | Autor: | rossi |
Guten Abend ;)
komm leider nicht ganz weiter bei einer Aufgabe:
wir haben eine Funktion f(x,y) = [mm] (x+y)^{\alpha}
[/mm]
auf A = ]0,1[x]0,1[ und sollen alle [mm] \alpha [/mm] bestimmen für die die Funktion intbar ist!
Für [mm] \alpha [/mm] >= 0 ist das ja kein Problem, aber weiter komm ich nicht!
Irgendwie habe ich machmal das Gefühl die Funktion kann immer integriert werden - aber das wäre ja dann witzlos ...
Gruß
Rossi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:32 Do 09.12.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo rossi!
Klar ist, dass dies genau für alle [mm] $\alpha>-2$ [/mm] der Fall ist, denn die iterierten Integrale existieren genau dafür, da
[mm] $\lim\limits_{x \to 0} \lim\limits_{y \to 0} \frac{1}{(\alpha+1)\cdot (\alpha + 2)} (x+y)^{\alpha +2}$
[/mm]
genau für [mm] $\alpha>-2$ [/mm] existiert.
Die Frage ist, ob das als Begründung ausreicht. Besser sieht man es auf jeden Fall, wenn man Polarkoordinaten einführt. Das scheint hier nur zunächst schlecht, weil der Integrationsbereich ein Quadrat und kein Kreis ist, da werden dann die Grenzen furchtbar. Andererseits interessiert eh nur die Umgebung um den Nullpunkt: Also könntest du den Einheitskreis als Integrationsbereich betrachten und dann Polarkoordinaten einführen. Dann siehst du sofort (viel einfacher als oben), dass dies genau für [mm] $\alpha>-2$ [/mm] der Fall ist, da man die Existenz des Integrals dann unmittelbar auf den eindimensionalen Fall zurückführen kann (das [mm] $\varphi$, [/mm] die Winkelfunktion, fliegt nämlich raus.)
Viele Grüße
Julius
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