www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Maximumsnorm als Grenzfall
Maximumsnorm als Grenzfall < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Maximumsnorm als Grenzfall: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:44 Sa 30.11.2019
Autor: Boogie2015

Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Guten Vormittag, ich möchte gerne wissen, warum $\lim\limits_{ p \rightarrow \infty} \vert \vert x \vert \vert_{p} = \lim\limits_{ p \rightarrow \infty}\left (  \sum\limits_{j = 1}^{d} \vert x_{j} \vert ^{p} \right)^{\frac{1}{p}} = max_{j = 1, \ldos, d} \vert x_{j} \vert = \vert \vert x \vert \vert_{\infty}$ gilt.


Ich habe mir dazu den Beweis auf Wikipedia angeschaut, also  diesen:

________________________________________________________________________________________________________________________________

$\lim _{p\rightarrow \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}\!\!\!\!\!=\|x\|_{\infty }\cdot \lim _{p\rightarrow \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {|x_{i}|}{\|x\|_{\infty }}}\right)^{p}\right)^{1/p}\!\!\!\!\!=\|x\|_{\infty }\cdot \lim _{p\rightarrow \infty }S^{1/p}=\|x\|_{\infty }}$,

da für die Summe $1 \leq S \leq n$ gilt und somit der Grenzwert von $ \sqrt[p]{S}$ für $ p\rightarrow \infty $ gleich Eins ist. Die untere Schranke von $S$ wird dabei für einen Vektor angenommen, dessen Komponenten bis auf eine alle gleich Null sind, und die obere Schranke$n$ für einen Vektor, dessen Komponenten alle den gleichen Betrag besitzen.  Durch Weglassen des Limes ist so auch ersichtlich, dass die Maximumsnorm niemals größer als die $p$ -Normen ist.


________________________________________________________________________________________________________________________________

Den Beweis dazu habe ich eigentlich ganz gut verstanden, aber der ist noch nicht so richtig intuitiv, weil da mit $\frac{\vert \vert x \vert \vert_{\infty}}{\vert \vert x \vert \vert_{\infty}}$ gespielt wird.

Ich meine, die künstliche $1$ fügt man nur hinzu, weil man am Ende eh weiß, dass der Grenzwert eben die Maximumsnorm ist. Aber das wusste man ja am Anfang nicht. Daher hätten sie nicht auf so einem Ansatz kommen können.


Meine Frage ist: Wie komme ich auf den selben Grenzwert, ohne mitten in der Rechnung das Maximum aller Beträge zu erhalten oder eine derartige künstliche $1$ hinzuzufügen?


Ich hoffe, ihr wisst, was ich meine.


Wie schaffe ich es also auf natürlichem Weg, die Gleichung $\lim _{p\rightarrow \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}\!\!\!\!\! = \|x\|_{\infty }}$ zu zeigen?




Ich würde z.B. so anfangen:


$\lim _{p\rightarrow \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}\!\!\!\!\! = \lim _{p\rightarrow \infty }  \sqrt[p]{\vert x_{1} \vert^{p} + \vert x_{2} \vert^{p} + \vert x_{3} \vert^{p} +  \ldots + \vert x_{d} \vert^{p}} =  \lim _{p\rightarrow \infty }  \sqrt[p]{\vert x_{1} \vert^{p} \left 1 +\frac{\vert x_{2} \vert^{p}}{\vert x_{1} \vert^{p}} + \frac{\vert x_{3} \vert^{p}}{\vert x_{1} \vert^{p}} + \ldots + \frac{\vert x_{d} \vert^{p}}{\vert x_{1} \vert^{p}} \right )} = \lim _{p\rightarrow \infty }  \sqrt[p]{\vert x_{1} \vert^{p} \left ( 1 + \left ( \frac{\vert x_{2} \vert }{\vert x_{1} \vert} \right )^{p} + \left ( \frac{\vert x_{3} \vert }{\vert x_{1} \vert} \right )^{p} + \ldots + \left ( \frac{\vert x_{d} \vert }{\vert x_{1} \vert} \right )^{p} \right )}$


$ = \lim _{p\rightarrow \infty }  \vert x_{1} \vert \cdot   \sqrt[p]{ \left ( 1 + \left ( \frac{\vert x_{2} \vert }{\vert x_{1} \vert} \right )^{p} + \left ( \frac{\vert x_{3} \vert }{\vert x_{1} \vert} \right )^{p} + \ldots + \left ( \frac{\vert x_{d} \vert }{\vert x_{1} \vert} \right )^{p} \right )}$

Und so weiter. Aber das wird eine ewige Rechnung. Gibt es andere Methoden?





lg, boogie

        
Bezug
Maximumsnorm als Grenzfall: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:11 Sa 30.11.2019
Autor: fred97

Was mit S gemeint ist, hast du nicht  gesagt.

Ich beweise obige Grenzwertbeziehung so, dabei  genügt es, den  Fall d=2  zu betrachten ( die Idee für den allgemeinen Fall dürfte dann klar sein.)

Seien  a und b nichtnegative Zahlen und a [mm] \le [/mm] b. Es folgt

$b [mm] \le (b^{p}+a^{p})^{1/p} \le (2b^{p})^{1/p}=2^{1/p}b. [/mm] $

mit $p [mm] \to \infty [/mm]  $ folgt das Resultat.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de