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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - Matrizenberechnung
Matrizenberechnung < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Matrizenberechnung: Aus einem Gleichungssystem ?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:26 Sa 30.07.2005
Autor: d.liang

Hi,

ich bräuchte bei dieser Aufgabe hilfe:

Man berechne die Matrizen X und Y, die das folgende Gleichungssytem erfüllen:

2AX +BY = C

3AX - 2Y = B

mit

A=  [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 3 & 2 } [/mm]

B=  [mm] \pmat{ -1 & 1 \\ 0 & -1 } [/mm]

C=  [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 0 } [/mm]



Das eigentlich ausrechnen später ist ja nicht schwer. Nur wie stelle ich diese beiden Gleichungen entsprechend nach X und Y um ?

Ich weiß auch nicht wie man bei dieser Art der Gleichungssyteme teilt, wenn man z.B. sowas hat:

AX = C

dann kann man ja schlecht sowas machen

X = C/A

oder ?


Danke schonmal !


        
Bezug
Matrizenberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:27 Sa 30.07.2005
Autor: Karl_Pech

Hallo d.liang,

> Man berechne die Matrizen X und Y, die das folgende
> Gleichungssytem erfüllen:
>  
> 2AX +BY = C
>  
> 3AX - 2Y = B
>  
> mit
>
> A=  [mm]\pmat{ 2 & 1 \\ 3 & 2 }[/mm]
>  
> B=  [mm]\pmat{ -1 & 1 \\ 0 & -1 }[/mm]
>  
> C=  [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 0 }[/mm]
>  
>
>
> Das eigentlich ausrechnen später ist ja nicht schwer. Nur
> wie stelle ich diese beiden Gleichungen entsprechend nach X
> und Y um ?


Ich würde sagen, wir rechnen die beiden Gleichungssysteme erstmal aus:


[m]\begin{gathered} 2AX + BY = C \Leftrightarrow \left( {\begin{array}{*{20}c} 4 & 2 \\ 6 & 4 \\ \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}c} {x_{11} } & {x_{12} } \\ {x_{21} } & {x_{22} } \\ \end{array} } \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c} { - 1} & 1 \\ 0 & { - 1} \\ \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}c} {y_{11} } & {y_{12} } \\ {y_{21} } & {y_{22} } \\ \end{array} } \right) = C \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {\begin{array}{*{20}c} {4x_{11} + 2x_{21} } & {4x_{12} + 2x_{22} } \\ {6x_{11} + 4x_{21} } & {6x_{12} + 4x_{22} } \\ \end{array} } \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c} { - y_{11} + y_{21} } & { - y_{12} + y_{22} } \\ { - y_{21} } & { - y_{22} } \\ \end{array} } \right) = C \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {\begin{array}{*{20}c} {4x_{11} + 2x_{21} - y_{11} + y_{21} } & {4x_{12} + 2x_{22} - y_{12} + y_{22} } \\ {6x_{11} + 4x_{21} - y_{21} } & {6x_{12} + 4x_{22} - y_{22} } \\ \end{array} } \right) = C \hfill \\ \end{gathered}[/m]


Dasselbe mußt Du auch mit dem anderen Gleichungssystem machen.

Das erste Gleichungssystem liefert dir nun 4 Gleichungen mit 8 Unbekannten. Das zweite Gleichungssystem liefert dir weitere 4 Gleichungen mit denselben 8 Unbekannten. Damit erhälst du ein Gleichungssystem mit 8 Gleichungen und 8 Unbekannten, welches Du z.B. mit dem MBGauß-Algorithmus lösen kannst.


> Ich weiß auch nicht wie man bei dieser Art der
> Gleichungssyteme teilt, wenn man z.B. sowas hat:
>  
> AX = C
>  
> dann kann man ja schlecht sowas machen
>  
> X = C/A
>  
> oder ?

Richtig, das funktioniert so nicht. Wenn dir A und C bekannt sind, und die sogenannte Inverse von A (man schreibt [mm] $A^{-1}$) [/mm] die gleiche Anzahl an Zeilen hat wie es Spalten in C gibt (Multiplikationskriterium), kannst Du stattdessen $X = [mm] A^{-1}C$ [/mm]
berechnen und das System wäre eindeutig lösbar, sonst ist es nicht eindeutig lösbar. Sieh dir doch mal []folgende Beschreibung zu Matrizen an.


Grüße
Karl





Bezug
        
Bezug
Matrizenberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:08 So 31.07.2005
Autor: DaMenge

Hallo ihr beiden,

Also A und B sind doch offensichtlich invertierbar.

Wieso löst man dann also nicht die erste Gleichung nach X auf und setzt diese in die zweite Gleichung ein?

dann weiter nach Y auflösen und in in die nach X aufgelöste Gleichung eingesetzt ergibt die Lösung.

hier der Anfang : aus der ersten Gleichung folgt:
(1) [mm] $X=\bruch{1}{2}*A^{-1}*(C-BY)$ [/mm]

eingesetzt in die zweite ergibt sich:
[mm] $\bruch{3}{2}*C-\bruch{3}{2}BY-2Y=B$ [/mm]
[mm] $\gdw \bruch{3}{2}*C-(\bruch{3}{2}B-2*E)*Y=B$ [/mm]
(E ist Einheitsmatrix)

die Matrix vor dem Y ist dann auch invertierbar (sieht man leicht), also:
[mm] $Y=\left( \bruch{3}{2}B-2*E \right) ^{-1}(B-\bruch{3}{2}*C)$ [/mm]

dies dann mal tatsächlich ausrechnen und in (1) einsetzen, dann hat man doch die Lösung, oder übersehe ich etwas zu so später Stunde?


nächtliche Grüße
DaMenge

Bezug
                
Bezug
Matrizenberechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:44 So 31.07.2005
Autor: d.liang

Danke, DaMenge auf diese Weise konnte ich die Aufgabe lösen.

Bezug
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