Matrizen und Kreuzprodukt < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:32 Di 05.07.2016 | | Autor: | Ralfos |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Kann mir vllt. jemand meine Frage beantworten?
Es sei M eine Matrix. a,b seien Vektoren.
Nun habe ich folgendes Kreuzprodukt:
(M*a)x(M*b)
Lässt sich hier M ausklammern?
Also: (M*a)x(M*b)=M*(axb) ?
Freundliche Grüße
Ralfos
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo!
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> Kann mir vllt. jemand meine Frage beantworten?
> Es sei M eine Matrix. a,b seien Vektoren.
> Nun habe ich folgendes Kreuzprodukt:
> (M*a)x(M*b)
> Lässt sich hier M ausklammern?
> Also: (M*a)x(M*b)=M*(axb) ?
>
Nein.
Wähle
[mm] a=\vektor{1 \\ 0 \\ 0} b=\vektor{0 \\ 1 \\ 0} \Rightarrow [/mm] c=axb = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] .
Wähle [mm] A=\pmat{ 0 & 1 & 0 \\1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Dann ist [mm] A*a=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}, A*b=\vektor{1 \\ 1 \\ 0}, A*c=\vektor{0 \\ 0 \\ 0},
[/mm]
aber [mm] (A*a)x(A*b)=\vektor{0 \\ 0 \\ -1}\ne\vektor{0 \\ 0 \\ 0}.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Di 05.07.2016 | | Autor: | Ralfos |
Danke für die schnelle Antwort!
Gilt diese Umformung vllt. nur wenn ich orthogonale Matrizen habe?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:55 Di 05.07.2016 | | Autor: | hippias |
Auch mit orthogonalen Matrizen gilt dies nicht. Ein Gegenbeispiel kannst Du Dir selber überlegen, indem Du z.B. $a$ und $b$ des vorherigen Beispiels übernimmst, aber $M$ anders wählst.
Richtig wird es aber für Drehungen.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:04 Di 05.07.2016 | | Autor: | Ralfos |
Danke!
Es muss also eine orthogonale Matrix mit Determinante 1 sein?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Do 07.07.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:43 Fr 08.07.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Danke!
> Es muss also eine orthogonale Matrix mit Determinante 1
> sein?
>
Wie kommst du darauf, dass das gelten sollte/müsste? Hast du ein Beispiel, wo das funktioniert?
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:46 Fr 08.07.2016 | | Autor: | fred97 |
> Danke!
> Es muss also eine orthogonale Matrix mit Determinante 1
> sein?
Nein. Nimm mal
[mm] M=\pmat{ \bruch{1}{2} & 0 & \bruch{\wurzel{3}}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ \bruch{-\wurzel{3}}{2} & 0 & \bruch{1}{2}}
[/mm]
FRED
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Hallo Fred,
deine Matrix ist doch aber orthogonal mit det=1.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:10 Fr 08.07.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> deine Matrix ist doch aber orthogonal mit det=1.
ja, aber für diese Matrix gilt nicht
M (axb)= (Ma)x (Mb)
fred
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Hallo Fred,
ich kann kein a und b finden, für das die Gleichung nicht gilt.
Beispiele:
[mm] a=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] b=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] c=a [mm] \times [/mm] b = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
[mm] M*a=\vektor{1/2 \\ 0 \\ -\wurzel{3}/2}
[/mm]
[mm] M*b=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
[mm] M*c=\vektor{\wurzel{3}/2 \\ 0 \\ 1/2}
[/mm]
sowie Ma [mm] \times [/mm] Mb = [mm] \vektor{\wurzel{3}/2 \\ 0 \\ 1/2}.
[/mm]
Ebenso mit
[mm] a=\vektor{1 \\ 2 \\ 3}
[/mm]
[mm] b=\vektor{3\\ 2 \\ 1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] c=a [mm] \times [/mm] b = [mm] \vektor{-4 \\ 8 \\ -4}
[/mm]
[mm] M*a=\vektor{1/2+3*\wurzel{3}/2 \\ 2 \\3/2 -\wurzel{3}/2}
[/mm]
[mm] M*b=\vektor{3/2 +\wurzel{3}/2 \\ 2 \\ 1/2-3*\wurzel{3}/2}
[/mm]
[mm] M*c=\vektor{-2*\wurzel{3}-2 \\ 8 \\ 2*\wurzel{3}-2 }
[/mm]
sowie Ma [mm] \times [/mm] Mb = [mm] \vektor{-2*\wurzel{3}-2 \\ 8 \\ 2*\wurzel{3}-2 }.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:23 Sa 09.07.2016 | | Autor: | hippias |
Es ist doch so: Sei $c= [mm] a\times [/mm] b$ und $A$ orthogonal mit [mm] $\det [/mm] A=1$. Sei $d= [mm] Aa\times [/mm] Ab$. Es ist $Ac$ orthogonal zu $Aa$ und $Ab$, also existiert [mm] $\lambda$ [/mm] mit $Ac= [mm] \lambda [/mm] d$. Ferner ist $|Ac|= |c|= [mm] |a||b|\sin(\angle [/mm] a,b)= [mm] |Aa||Ab|\sin(\angle [/mm] Aa,Ab)= |d|$. Somit ist [mm] $\lambda=\pm [/mm] 1$. Wegen [mm] $\det [/mm] A=1$ werden Rechtssysteme auf Rechtssysteme abgebildet: [mm] $\lambda=+1$.
[/mm]
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