Matrixmenge Gruppenbeweis < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:13 Sa 06.01.2018 | | Autor: | asg |
| Aufgabe | a) Sei [mm] $G_1$ [/mm] die Menge aller ganzzahligen 2x2 Matrizen $A$, für welche
- ganzzahlige inverse Matrizen [mm] $A^{-1}$ [/mm] existieren und
- gilt, dass $det(A) > 0$.
Zeigen Sie, dass [mm] $G_1$ [/mm] zusammen mit der Matrix-Multiplikation eine Gruppe bildet.
b) Sei [mm] $G_2$ [/mm] die Menge aller ganzzahligen 2x2 Matrizen $A$ mit $det(A) = 1$. Zeigen oder widerlegen Sie, dass [mm] $G_1 [/mm] = [mm] G_2$ [/mm] gilt. |
Hallo zusammen und ein frohes neues Jahr,
bei a) muss ich ja die vier Gruppen-Axiome zeigen.
1. Abgeschlossenheit:
Seien $A, B [mm] \in G_1$ [/mm] mit $A = [mm] \pmat{ a & b \\ c & d }$ [/mm] und $B = [mm] \pmat{ e & f \\ g & h }$
[/mm]
Hier muss ich ja zeigen, $A [mm] \cdot [/mm] B$:
i. ist wieder eine ganzzahlige 2x2 Matrix.
ii. ganzzahlige inverse Matrix hat
iii. [mm] $det(A\cdot [/mm] B) [mm] \gt [/mm] 0$
i. und iii. habe ich schon, aber die ii. Bedingung fällt mir schwer.
Für die inverse Matrix soll ja allgemein gelten:
$A [mm] \cdot A^{-1} [/mm] = [mm] A^{-1} \cdot [/mm] A = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }$
[/mm]
Konkret würde es heißen:
$(A [mm] \cdot [/mm] B) [mm] \cdot [/mm] (A [mm] \cdot B)^{-1} [/mm] = (A [mm] \cdot B)^{-1} \cdot [/mm] (A [mm] \cdot [/mm] B) = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }$
[/mm]
Sei (A [mm] \cdot B)^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{ q & r \\ s & t }
[/mm]
Nun wenn ich alles einsetze und ausmultipliziere, komme ich nicht auf [mm] $\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }$
[/mm]
Wie könnte ich es denn zeigen?
2. Neutrales Element: das ist die Einheitsmatrix [mm] $\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }$
[/mm]
3. Inverses Element: Hier habe ich dasselbe Problem wie im 1.
4. Assoziativität: das habe ich durch Einsetzen und Ausmultiplizieren hinbekommen.
bei b) widerlege ich es, indem ich eine 2x2 Matrix $A$ mit $det(A) > 1$ nehme und zeige, dass $A [mm] \in G_1$ [/mm] gilt. Gleichzeitig gilt $A [mm] \not \in G_2$ [/mm] wegen $det(A) > 1$ und somit zeige ich [mm] $G_1 \not= G_2$.
[/mm]
Wären meine Lösungen richtig bzw. wie kann ich die Inverse zeigen?
Danke für jede Hilfe
Viele Grüße
Asg
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> a) Sei [mm]G_1[/mm] die Menge aller ganzzahligen 2x2 Matrizen [mm]A[/mm],
> für welche
> - ganzzahlige inverse Matrizen [mm]A^{-1}[/mm] existieren und
> - gilt, dass [mm]det(A) > 0[/mm].
>
> Zeigen Sie, dass [mm]G_1[/mm] zusammen mit der Matrix-Multiplikation
> eine Gruppe bildet.
>
> b) Sei [mm]G_2[/mm] die Menge aller ganzzahligen 2x2 Matrizen [mm]A[/mm] mit
> [mm]det(A) = 1[/mm]. Zeigen oder widerlegen Sie, dass [mm]G_1 = G_2[/mm]
> gilt.
> Hallo zusammen und ein frohes neues Jahr,
>
> bei a) muss ich ja die vier Gruppen-Axiome zeigen.
>
> 1. Abgeschlossenheit:
> Seien [mm]A, B \in G_1[/mm] mit [mm]A = \pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] und [mm]B = \pmat{ e & f \\ g & h }[/mm]
>
> Hier muss ich ja zeigen, [mm]A \cdot B[/mm]:
> i. ist wieder eine
> ganzzahlige 2x2 Matrix.
> ii. ganzzahlige inverse Matrix hat
> iii. [mm]det(A\cdot B) \gt 0[/mm]
>
> i. und iii. habe ich schon, aber die ii. Bedingung fällt
> mir schwer.
Es ist [mm](AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}[/mm].
Damit ist klar, wenn A und B Inverse mit ganzzahligen Koeffizienten haben, so auch AB.
> Für die inverse Matrix soll ja allgemein gelten:
> [mm]A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> Konkret würde es heißen:
>
> [mm](A \cdot B) \cdot (A \cdot B)^{-1} = (A \cdot B)^{-1} \cdot (A \cdot B) = \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> Sei (A [mm]\cdot B)^{-1}[/mm] = [mm]\pmat{ q & r \\ s & t }[/mm]
>
> Nun wenn ich alles einsetze und ausmultipliziere, komme ich
> nicht auf [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> Wie könnte ich es denn zeigen?
>
> 2. Neutrales Element: das ist die Einheitsmatrix [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> 3. Inverses Element: Hier habe ich dasselbe Problem wie im
> 1.
A und [mm]A^{-1}[/mm] haben nach Voraussetzung ganzzahlige Koeffizienten. Was bedeutet das für [mm]A^{-1}[/mm] ?
> 4. Assoziativität: das habe ich durch Einsetzen und
> Ausmultiplizieren hinbekommen.
Die Matrizenmultiplikation genügt immer dem Assoziativgestz. Das muss man nicht für jede Teilmenge einzeln nachrechnen.
>
> bei b) widerlege ich es, indem ich eine 2x2 Matrix [mm]A[/mm] mit
> [mm]det(A) > 1[/mm] nehme und zeige, dass [mm]A \in G_1[/mm] gilt.
> Gleichzeitig gilt [mm]A \not \in G_2[/mm] wegen [mm]det(A) > 1[/mm] und somit
> zeige ich [mm]G_1 \not G_2[/mm].
Wenn du ein solches A konkret angeben kannst, wäre das ok. Ich bezweifle aber, dass dir das gelingt. Was würde denn für [mm]\det A^{-1}[/mm] gelten, wenn [mm]A\in G[/mm] und det A>1 wäre?
>
>
> Wären meine Lösungen richtig bzw. wie kann ich die
> Inverse zeigen?
>
> Danke für jede Hilfe
>
> Viele Grüße
>
> Asg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 Sa 06.01.2018 | | Autor: | asg |
Hallo,
danke für die schnelle Hilfe.
> > a) Sei [mm]G_1[/mm] die Menge aller ganzzahligen 2x2 Matrizen [mm]A[/mm],
> > für welche
> > - ganzzahlige inverse Matrizen [mm]A^{-1}[/mm] existieren und
> > - gilt, dass [mm]det(A) > 0[/mm].
> >
> > Zeigen Sie, dass [mm]G_1[/mm] zusammen mit der Matrix-Multiplikation
> > eine Gruppe bildet.
> >
> > b) Sei [mm]G_2[/mm] die Menge aller ganzzahligen 2x2 Matrizen [mm]A[/mm] mit
> > [mm]det(A) = 1[/mm]. Zeigen oder widerlegen Sie, dass [mm]G_1 = G_2[/mm]
> > gilt.
> > 1. Abgeschlossenheit:
> > Seien [mm]A, B \in G_1[/mm] mit [mm]A = \pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] und [mm]B = \pmat{ e & f \\ g & h }[/mm]
> >
> > Hier muss ich ja zeigen, [mm]A \cdot B[/mm]:
> > i. ist wieder eine ganzzahlige 2x2 Matrix.
> > ii. ganzzahlige inverse Matrix hat
> > iii. [mm]det(A\cdot B) \gt 0[/mm]
> >
> > i. und iii. habe ich schon, aber die ii. Bedingung fällt mir schwer.
>
> Es ist [mm](AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}[/mm].
> Damit ist klar, wenn A und B Inverse mit ganzzahligen
> Koeffizienten haben, so auch AB.
>
Ah! ok. Das macht natürlich die Sache einfach.
In unserem Skript steht es leider nicht als Rechenregel/Definition. Es wurde nur einmal in einem Beweis kommentarlos verwendet. Dann verwende ich es auch.
> > Für die inverse Matrix soll ja allgemein gelten:
> > [mm]A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
> >
> > Konkret würde es heißen:
> >
> > [mm](A \cdot B) \cdot (A \cdot B)^{-1} = (A \cdot B)^{-1} \cdot (A \cdot B) = \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> >
> > Sei (A [mm]\cdot B)^{-1}[/mm] = [mm]\pmat{ q & r \\ s & t }[/mm]
> >
> > Nun wenn ich alles einsetze und ausmultipliziere, komme ich
> > nicht auf [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
> >
> > Wie könnte ich es denn zeigen?
> >
> > 2. Neutrales Element: das ist die Einheitsmatrix [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> >
> > 3. Inverses Element: Hier habe ich dasselbe Problem wie im
> > 1.
>
> A und [mm]A^{-1}[/mm] haben nach Voraussetzung ganzzahlige Koeffizienten. Was bedeutet das für [mm]A^{-1}[/mm] ?
Hmm - ich weiß nicht genau, worauf du hinaus willst. [mm]A^{-1}[/mm] ist ja eine ganzzahlige 2x2 Matrix. Meinst du das?
Muss ich denn eigentlich zeigen, dass es inverse Elemente zu jedem $A$ existiert? Das ist ja per Voraussetzung gegeben, wie du es auch angemerkt hast.
D. h. 3. entfällt?!?
> > 4. Assoziativität: das habe ich durch Einsetzen und Ausmultiplizieren hinbekommen.
>
> Die Matrizenmultiplikation genügt immer dem
> Assoziativgestz. Das muss man nicht für jede Teilmenge
> einzeln nachrechnen.
Ok, im Skript habe ich es auch gerade gelesen. Dann ist es noch einfacher.
> >
> > bei b) widerlege ich es, indem ich eine 2x2 Matrix [mm]A[/mm] mit
> > [mm]det(A) > 1[/mm] nehme und zeige, dass [mm]A \in G_1[/mm] gilt.
> > Gleichzeitig gilt [mm]A \not \in G_2[/mm] wegen [mm]det(A) > 1[/mm] und somit
> > zeige ich [mm]G_1 \not= G_2[/mm].
>
> Wenn du ein solches A konkret angeben kannst, wäre das ok.
> Ich bezweifle aber, dass dir das gelingt.
Ich könnte die einfachste Matrix dazu nehmen:
[mm]A = \pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm] mit [mm]A^{-1} = \pmat{ \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 }[/mm] und [mm]det(A) = 2[/mm].
Somit ist [mm]A \in G_1[/mm] und [mm]A \not\in G_2 \Rightarrow G_1 \not= G_2[/mm]
Oder habe ich etwas übersehen?
> Was würde denn für [mm]\det A^{-1}[/mm] gelten, wenn [mm]A\in G[/mm] und det A>1 wäre?
>
Du meinst [mm]A\in G_1[/mm]?
Das weiß ich leider nicht. Kannst du es mir bitte sagen?
Danke nochmals
Viele Grüße
Asg
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> Hallo,
>
> danke für die schnelle Hilfe.
>
> > > a) Sei [mm]G_1[/mm] die Menge aller ganzzahligen 2x2 Matrizen [mm]A[/mm],
> > > für welche
> > > - ganzzahlige inverse Matrizen [mm]A^{-1}[/mm] existieren
> und
> > > - gilt, dass [mm]det(A) > 0[/mm].
> > >
> > > Zeigen Sie, dass [mm]G_1[/mm] zusammen mit der Matrix-Multiplikation
> > > eine Gruppe bildet.
> > >
> > > b) Sei [mm]G_2[/mm] die Menge aller ganzzahligen 2x2 Matrizen [mm]A[/mm] mit
> > > [mm]det(A) = 1[/mm]. Zeigen oder widerlegen Sie, dass [mm]G_1 = G_2[/mm]
> > > gilt.
>
> > > 1. Abgeschlossenheit:
> > > Seien [mm]A, B \in G_1[/mm] mit [mm]A = \pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] und [mm]B = \pmat{ e & f \\ g & h }[/mm]
>
> > >
> > > Hier muss ich ja zeigen, [mm]A \cdot B[/mm]:
> > > i. ist
> wieder eine ganzzahlige 2x2 Matrix.
> > > ii. ganzzahlige inverse Matrix hat
> > > iii. [mm]det(A\cdot B) \gt 0[/mm]
> > >
> > > i. und iii. habe ich schon, aber die ii. Bedingung fällt
> mir schwer.
> >
> > Es ist [mm](AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}[/mm].
> > Damit ist klar, wenn A und B Inverse mit ganzzahligen
> > Koeffizienten haben, so auch AB.
> >
>
> Ah! ok. Das macht natürlich die Sache einfach.
> In unserem Skript steht es leider nicht als
> Rechenregel/Definition. Es wurde nur einmal in einem Beweis
> kommentarlos verwendet. Dann verwende ich es auch.
Sollte kein Problem sein, die Gültigkeit dieser Formel lässt sich relativ leicht einsehen.
>
> > > Für die inverse Matrix soll ja allgemein gelten:
> > > [mm]A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> > >
> > > Konkret würde es heißen:
> > >
> > > [mm](A \cdot B) \cdot (A \cdot B)^{-1} = (A \cdot B)^{-1} \cdot (A \cdot B) = \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> >
> > >
> > > Sei (A [mm]\cdot B)^{-1}[/mm] = [mm]\pmat{ q & r \\ s & t }[/mm]
> > >
> > > Nun wenn ich alles einsetze und ausmultipliziere, komme ich
> > > nicht auf [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
> > >
> > > Wie könnte ich es denn zeigen?
> > >
> > > 2. Neutrales Element: das ist die Einheitsmatrix [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> >
> > >
> > > 3. Inverses Element: Hier habe ich dasselbe Problem wie im
> > > 1.
> >
> > A und [mm]A^{-1}[/mm] haben nach Voraussetzung ganzzahlige
> Koeffizienten. Was bedeutet das für [mm]A^{-1}[/mm] ?
> Hmm - ich weiß nicht genau, worauf du hinaus willst.
> [mm]A^{-1}[/mm] ist ja eine ganzzahlige 2x2 Matrix. Meinst du das?
A ist die inverse Matrix zu [mm]A^{-1}[/mm].
Damit liegt [mm]A^{-1}[/mm] nach Definition auch in [mm]G_1[/mm], wenn A in [mm]G_1[/mm] liegt. Da muss dann nix mehr nachgerechnet werden.
>
> Muss ich denn eigentlich zeigen, dass es inverse Elemente
> zu jedem [mm]A[/mm] existiert? Das ist ja per Voraussetzung gegeben,
> wie du es auch angemerkt hast.
> D. h. 3. entfällt?!?
>
> > > 4. Assoziativität: das habe ich durch Einsetzen und
> Ausmultiplizieren hinbekommen.
> >
> > Die Matrizenmultiplikation genügt immer dem
> > Assoziativgestz. Das muss man nicht für jede Teilmenge
> > einzeln nachrechnen.
>
> Ok, im Skript habe ich es auch gerade gelesen. Dann ist es
> noch einfacher.
>
> > >
> > > bei b) widerlege ich es, indem ich eine 2x2 Matrix [mm]A[/mm] mit
> > > [mm]det(A) > 1[/mm] nehme und zeige, dass [mm]A \in G_1[/mm] gilt.
> > > Gleichzeitig gilt [mm]A \not \in G_2[/mm] wegen [mm]det(A) > 1[/mm] und somit
> > > zeige ich [mm]G_1 \not= G_2[/mm].
> >
> > Wenn du ein solches A konkret angeben kannst, wäre das ok.
> > Ich bezweifle aber, dass dir das gelingt.
>
> Ich könnte die einfachste Matrix dazu nehmen:
>
> [mm]A = \pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm] mit [mm]A^{-1} = \pmat{ \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
> und [mm]det(A) = 2[/mm].
> Somit ist [mm]A \in G_1[/mm] und [mm]A \not\in G_2 \Rightarrow G_1 \not= G_2[/mm]
>
> Oder habe ich etwas übersehen?
Ja. Zum Beispiel, dass [mm]\frac 12[/mm] keine ganze Zahl ist und deine Matrix damit nicht in [mm]G_1[/mm] liegt.
>
> > Was würde denn für [mm]\det A^{-1}[/mm] gelten, wenn [mm]A\in G[/mm] und
> det A>1 wäre?
> >
> Du meinst [mm]A\in G_1[/mm]?
>
> Das weiß ich leider nicht. Kannst du es mir bitte sagen?
Es ist [mm]\det A^{-1}=\frac{1}{\det A}[/mm]. Wäre [mm]\det A>1[/mm], so wäre [mm]\det A^{-1}[/mm] nicht ganzzahlig. Dann kann aber [mm]A^{-1}[/mm] keine ganzzahligen Koeffizienten haben und A damit nicht in [mm]G_1[/mm] liegen.
>
> Danke nochmals
>
> Viele Grüße
>
> Asg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:53 Mo 08.01.2018 | | Autor: | asg |
Hallo,
> > > Wenn du ein solches A konkret angeben kannst, wäre das ok.
> > > Ich bezweifle aber, dass dir das gelingt.
> >
> > Ich könnte die einfachste Matrix dazu nehmen:
> >
> > [mm]A = \pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm] mit [mm]A^{-1} = \pmat{ \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
> > und [mm]det(A) = 2[/mm].
> > Somit ist [mm]A \in G_1[/mm] und [mm]A \not\in G_2 \Rightarrow G_1 \not= G_2[/mm]
> >
> > Oder habe ich etwas übersehen?
>
> Ja. Zum Beispiel, dass [mm]\frac 12[/mm] keine ganze Zahl ist und
> deine Matrix damit nicht in [mm]G_1[/mm] liegt.
>
Ups! Ich bin auch blind :(
> >
> > > Was würde denn für [mm]\det A^{-1}[/mm] gelten, wenn [mm]A\in G[/mm] und
> > det A>1 wäre?
> > >
> > Du meinst [mm]A\in G_1[/mm]?
> >
> > Das weiß ich leider nicht. Kannst du es mir bitte sagen?
>
> Es ist [mm]\det A^{-1}=\frac{1}{\det A}[/mm]. Wäre [mm]\det A>1[/mm], so
> wäre [mm]\det A^{-1}[/mm] nicht ganzzahlig. Dann kann aber [mm]A^{-1}[/mm]
> keine ganzzahligen Koeffizienten haben und A damit nicht in [mm]G_1[/mm] liegen.
>
Ah! - das wusste ich nicht. Jetzt leuchtet es mir ein.
Dankeschön nochmals
Viele Grüße
Asg
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