Matrix A^n berechnen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:48 Mo 03.01.2005 | | Autor: | Nette |
Hallo!
Ich hab ein Problem.
Und zwar brauch ich für ne Aufgabe, dass ich
A= [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 }^{n} [/mm] berechnen kann.
Und zwar muss ich da dann [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 }^{n} \vektor{0 \\ c}
[/mm]
mit c= [mm] \bruch{1}{ \wurzel{5}}(a+b) [/mm] berechnen
Folgendes kann ich doch machen(?)
[mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 }^{n} \vektor{0 \\ c} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 }^{n-1} \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 } \vektor{0 \\ c}= \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 }^{n-1} \vektor{ c \\ c}= \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 }^{n-2} \vektor{ c \\ 2c}= \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 }^{n-3} \vektor{ 2c \\ 3c}= \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 }^{n-4} \vektor{ 3c \\ 5c}
[/mm]
usw.
Allerdings führt mich das zu keinem allgemeinen Ergebnis für n beliebig.
Wäre nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Gruß
Annette
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Hallo Annette!
> Und zwar brauch ich für ne Aufgabe, dass ich
> A= [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 }^{n}[/mm] berechnen kann.
> Und zwar muss ich da dann [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 }^{n} \vektor{0 \\ c}
[/mm]
>
> mit c= [mm]\bruch{1}{ \wurzel{5}}(a+b)[/mm] berechnen
>
> Folgendes kann ich doch machen(?)
> [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 }^{n} \vektor{0 \\ c}[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 }^{n-1} \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 } \vektor{0 \\ c}= \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 }^{n-1} \vektor{ c \\ c}= \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 }^{n-2} \vektor{ c \\ 2c}= \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 }^{n-3} \vektor{ 2c \\ 3c}= \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 }^{n-4} \vektor{ 3c \\ 5c}
[/mm]
>
> usw.
> Allerdings führt mich das zu keinem allgemeinen Ergebnis
> für n beliebig.
Ich würde einfach anfangen, A für n=2, n=3 usw. zu berechnen. Da müsste man relativ schnell sehen, was da für n allgemein herauskommt, und dann kannst du das einfach noch mit deinem Vektor multiplizieren.
(Das müsste aber glaube ich genau das Gleiche sein, was du herausbekommst, wenn du es so weiter machst, wie du angefangen hast, dann müsste man eigentlich auch bald ein Schema erkennen können.)
Ich habe es mal bis n=4 berechnet und es sieht so aus als würde es für n folgendes sein:
[mm] \pmat{n-2 & n-1 \\ n-1 & n+1}
[/mm]
Keine 100%ige Garantie, aber ich meine mich an eine Aufgabe erinnern zu können, wo man das "einfach" so berechnen konnte (vielleicht haben wir es dann noch mit Induktion bewiesen, aber ich glaube, das sieht man recht schnell, dass es so sein muss).
Als Gesamtergebnis erhalte ich dann:
[mm] \vektor{c(n-1)\\c(n+1)}
[/mm]
(wenn du dir anguckst was du berechnet hast, dann ist das genau das Gleiche!)
Vielleicht hilft dir das?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:16 Mo 03.01.2005 | | Autor: | andreas |
> Hallo!
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> Ich hab ein Problem.
> Und zwar brauch ich für ne Aufgabe, dass ich
> A= [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 }^{n}[/mm] berechnen kann.
> Und zwar muss ich da dann [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 }^{n} \vektor{0 \\ c}
[/mm]
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> mit c= [mm]\bruch{1}{ \wurzel{5}}(a+b)[/mm] berechnen
>
> Folgendes kann ich doch machen(?)
> [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 }^{n} \vektor{0 \\ c}[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 }^{n-1} \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 } \vektor{0 \\ c}= \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 }^{n-1} \vektor{ c \\ c}= \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 }^{n-2} \vektor{ c \\ 2c}= \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 }^{n-3} \vektor{ 2c \\ 3c}= \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 }^{n-4} \vektor{ 3c \\ 5c}
[/mm]
>
> usw.
> Allerdings führt mich das zu keinem allgemeinen Ergebnis
> für n beliebig.
ich glaube das führt schon zu einem allgemienen ergebnis für beleibiges $n$, man erhält nämlich eine folge von fibbonacci-zahlen, aber ich befürchte man dreht sich dadurch im kreis, da du vermutlich eine exlizite darstellng für fibonacci-zahlen finden sollst, oder?
was hier zum erfolg führt ist das diagonalisieren der matrix, denn beliebige potenzen von diagonal-matrizen sind ja recht leicht zu berechnen und die transformtaions-matrizen heben sich immer gegenseitig weg, probiere das doch mal. ich erinnere mich aber, dass das eine recht eckelhafte rechnerei war (aber es funktioniert).
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:29 Di 04.01.2005 | | Autor: | Nette |
Hi!
Danke erstmal. Ja, ich muss die explizite Form der Fibonacci-Zahlen [mm] f_{n}=(1/ \wurzel{5})(a^{n}-b^{n}) [/mm] mit a= (1+ [mm] \wurzel{5})/2 [/mm] und b=(1- [mm] \wurzel{5})/2
[/mm]
Ich hab jetzt mal versucht, A zu diagonalisieren.
Dazu brauch ich ja die Eigenwerte, das sind oben definiertes a und b:
D.h. doch A muss ähnlich zu D= [mm] \pmat{ a & 0 \\ 0 & b } [/mm] sein, oder?
d.h. [mm] D=S^{-1}AS
[/mm]
S ist doch dann: [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ a & b } [/mm] (Die Spalten sind doch die Eigenvektoren.)
Also S= [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ \bruch{1+ \wurzel{5}}{2} & \bruch{1- \wurzel{5}}{2} }.
[/mm]
Dann hab ich [mm] S^{-1} [/mm] berechnet:
[mm] S^{-1}= \pmat{ \bruch{ \wurzel{5}-1}{2 \wurzel{5}} & \bruch{1}{ \wurzel{5}} \\ \bruch{1+ \wurzel{5}}{2 \wurzel{5}} & \bruch{-1}{ \wurzel{5}} }
[/mm]
Aber das bringt mich nicht weiter.
Wie soll ich jetzt [mm] A^{n} [/mm] berechnen?
Also [mm] D^{n} [/mm] wäre ja einfach zu berechnen, aber ich muss ja praktisch [mm] (S^{-1}DS)^{n} [/mm] berechnen.
Gruß
Annette
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:13 Di 04.01.2005 | | Autor: | andreas |
hallo anette
so wie ich das sehe stimmt das alles bisher. das tolle an dieser art der rechnung sieht man z.b. schon, wenn man [mm] $A^2$ [/mm] berechnen will, da dann
[m] A^2 = (S^{-1}DS)^2 = S^{-1}D\underbrace{SS^{-1}}_{=E_2}DS = S^{-1}D^2S [/m],
es heben sich also immer die transformationsmatrizen in der mitte gegeneinander auf und man muss nur noch [mm] $D^n$ [/mm] berechnen, sowie eben die basistransformation am anfang und am ende, also vereinfacht sich die berechnung zu
[m] A^n = S^{-1}D^nS [/m]
wenn man es formal übertreiben will kann man dies nun noch mit induktion zeigen. das überlasse ich dann dir. 
ich denke damit sollte man dann weiterkommen.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:57 Mi 05.01.2005 | | Autor: | Nette |
Hi!
Daaaanke. Das hätte ich ja eigentlich wissen können 
Nach "tausendmaligem" Rechen hab ich dann auch endlich das Richtige rausgekriegt
(Ich hatte glaub nen kleinen Fehler drin, ich hatte nämlich [mm] D=S^{-1}AS [/mm] definiert, und dann gilt ja [mm] A=SDS^{-1} [/mm] und ich hatte es andersherum geschrieben).
Gruß
Annette
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:05 Do 06.01.2005 | | Autor: | andreas |
> Daaaanke.
gerne.
> Nach "tausendmaligem" Rechen hab ich dann auch endlich das
> Richtige rausgekriegt
> (Ich hatte glaub nen kleinen Fehler drin, ich hatte
> nämlich [mm]D=S^{-1}AS[/mm] definiert, und dann gilt ja [mm]A=SDS^{-1}[/mm]
> und ich hatte es andersherum geschrieben)
den habe ich dann wohl ganz souverän übernommen. bei solchen transformationsmatrizen glaube ich immer den anderen.
aber solange du das selbst bemerkt hast...
grüße
andreas
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