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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 So 12.10.2014 | | Autor: | Orchis |
Hallo zusammen :),
habe gerade in einem Skript gelesen, dass die euklidische Ebene ausgestattet mit der Manhattan-Metrik
und die euklidische Ebene ausgestattet mit der Maxmimumsmetrik angeblich isometrisch seien, d.h. das eine Isometrie zwischen den beiden metr. Räumen existiert. Hätte jemand da eine konkrete Isometrie parat, die das zeigt? Ich finde irgendwie keine...
Damit man auch weiß wovon ich rede: Manhattan-Metrik auf [mm] \IR^2 [/mm] meint für bel. A,B [mm] \in \IR^2: d_1(A,B):=|x_A [/mm] - [mm] x_B| [/mm] + [mm] |y_A [/mm] - [mm] y_B|
[/mm]
und Maximumsnorm auf [mm] \IR^2 [/mm] meint
[mm] d_{\infty}(A,B) [/mm] := [mm] max\{|x_A - x_B|, |y_A - y_B|\}.
[/mm]
Zu zeigen wäre ja: [mm] \exists [/mm] f: [mm] \IR^2 \to \IR^2 [/mm] mit [mm] d_1(f(A),f(B))=d_{\infty}(A,B) [/mm] (oder [mm] d_1 [/mm] und [mm] d_{\infty} [/mm] vertauschen...). Das ist leider alles, was ich dazu zumindestens beitragen kann...es fällt mir einfach keine Isometrie ein.
Vielen Dank im Voraus, falls sich jemand damit beschäftigt!!! :)
Orchis
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> Hallo zusammen :),
>
> habe gerade in einem Skript gelesen, dass die euklidische
> Ebene ausgestattet mit der Manhattan-Metrik
> und die euklidische Ebene ausgestattet mit der
> Maxmimumsmetrik angeblich isometrisch seien, d.h. das eine
> Isometrie zwischen den beiden metr. Räumen existiert.
> Hätte jemand da eine konkrete Isometrie parat, die das
> zeigt? Ich finde irgendwie keine...
> Damit man auch weiß wovon ich rede: Manhattan-Metrik auf
> [mm]\IR^2[/mm] meint für bel. A,B [mm]\in \IR^2: d_1(A,B):=|x_A[/mm] - [mm]x_B|[/mm]
> + [mm]|y_A[/mm] - [mm]y_B|[/mm]
> und Maximumsnorm auf [mm]\IR^2[/mm] meint
> [mm]d_{\infty}(A,B)[/mm] := [mm]max\{|x_A - x_B|, |y_A - y_B|\}.[/mm]
>
> Zu zeigen wäre ja: [mm]\exists[/mm] f: [mm]\IR^2 \to \IR^2[/mm] mit
> [mm]d_1(f(A),f(B))=d_{\infty}(A,B)[/mm] (oder [mm]d_1[/mm] und [mm]d_{\infty}[/mm]
> vertauschen...). Das ist leider alles, was ich dazu
> zumindestens beitragen kann...es fällt mir einfach keine
> Isometrie ein.
>
> Vielen Dank im Voraus, falls sich jemand damit
> beschäftigt!!! :)
> Orchis
Hallo Orchis,
an der Behauptung der Isometrie habe ich auch so
meine Zweifel. Bevor ich mich aber eingehender in
das Thema vertiefe, habe ich eine wichtige Rückfrage:
Wurde da wirklich eine Isometrie behauptet, oder,
wie ich vermute, nur eine topologische Äquivalenz ?
LG , Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 So 12.10.2014 | | Autor: | Orchis |
Hallo Al-Chwarizmi! :)
Es wurden Isometrien definiert als abstandserhaltende, bijektive Abbildungen zwischen metrischen Räumen. Danach gab es dann ein paar Beispiele dazu mit dem obigen Beispiel eben. Vllt. der Wortlaut:
[mm] "(\IR^2,d_1) [/mm] is isometric [mm] to(\IR^2,d_{\infty})." [/mm] Mehr gibt es dazu nicht. Die Definitionen der Metriken habe ich auch aus dem Skript übernommen und "isometrisch" ist da eben auch definiert...es geht nicht um topologische Äquivalenz. Irgendwie knifflig.
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> Hallo Al-Chwarizmi! :)
>
> Es wurden Isometrien definiert als abstandserhaltende,
> bijektive Abbildungen zwischen metrischen Räumen. Danach
> gab es dann ein paar Beispiele dazu mit dem obigen Beispiel
> eben. Vllt. der Wortlaut:
> " [mm](\IR^2,d_1)[/mm] is isometric to [mm]( \IR^2,d_{\infty}).[/mm] " Mehr gibt
> es dazu nicht. Die Definitionen der Metriken habe ich auch
> aus dem Skript übernommen und "isometrisch" ist da eben
> auch definiert...es geht nicht um topologische Äquivalenz.
> Irgendwie knifflig.
Falls das aus einem zugänglichen Buch stammen sollte:
kannst du die Quelle angeben, so dass man da nachschauen
kann ?
Ich vermute jedenfalls einen Fehler, denn die beiden
Metriken liefern ja offensichtlich im Allgemeinen
unterschiedliche Abstände für ein gegebenes Punktepaar.
Richtig wäre aber die Ausdrucksweise:
" [mm](\IR^2,d_1)[/mm] is topologically equivalent to [mm](\IR^2,d_{\infty}).[/mm] "
oder:
" [mm](\IR^2,d_1)[/mm] is (topologically) isomorphic to [mm](\IR^2,d_{\infty}).[/mm] "
Ein Zitat:
" Der [mm] \IR^n [/mm] besitzt viele verschiedene topologische Strukturen,
von denen wir hier nur eine, die Standardtopologie, benötigen.
Diese wird durch die ..... Euklidische Metrik, aber auch durch
andere Metriken wie die Manhattan-Metrik oder Maximum-Metrik
induziert. "
(www.wiwi.uni-frankfurt.de/Professoren/blonski/...01/.../kap08.pdf)
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:33 So 12.10.2014 | | Autor: | Orchis |
Ich suche das Skript einmal im Internet, habe es nur lokal auf dem PC gespeichert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:36 So 12.10.2014 | | Autor: | Orchis |
Ok, habe es gefunden:
http://arxiv.org/pdf/1302.1630.pdf
auf Seite 15 "1.6. Exercise", was neben "1.5 Exercise" aber halt als Beispiel für Isometrien genannt wird.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 So 12.10.2014 | | Autor: | Orchis |
Hallo nochmal :),
ich war mir nicht so sicher, ob man bei Mitteilungen angezeigt bekommt, ob der Fragensteller geantwortet hat, deswegen hier nochmal:
"Ok, habe es gefunden:
http://arxiv.org/pdf/1302.1630.pdf
auf Seite 15 "1.6. Exercise", was neben "1.5 Exercise" aber halt als Beispiel für Isometrien genannt wird. "
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> Hallo nochmal :),
> ich war mir nicht so sicher, ob man bei Mitteilungen
> angezeigt bekommt, ob der Fragensteller geantwortet hat,
> deswegen hier nochmal:
>
> "Ok, habe es gefunden:
> http://arxiv.org/pdf/1302.1630.pdf
> auf Seite 15 "1.6. Exercise", was neben "1.5 Exercise"
> aber halt als Beispiel für Isometrien genannt wird. "
Naja, schon alles OK. Ich habe den Text betrachtet und
zuerst geglaubt, dass diese Übung 1.6. einfach unsinnig
bzw. falsch sein müsse. Nachdem ich aber dieselbe
Aufgabe auch anderswo gefunden habe (siehe meine
Mitteilung) , muss ich mich doch selber am Kopf kratzen
und mir überlegen, auf welche Weise man denn trotz-
dem eine isometrische Abbildung der auf die zwei
unterschiedlichen Arten metrisierten Ebene konstru-
ieren kann ...
LG , Al-Chw.
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> Ok, habe es gefunden:
> http://arxiv.org/pdf/1302.1630.pdf
> auf Seite 15 "1.6. Exercise", was neben "1.5 Exercise"
> aber halt als Beispiel für Isometrien genannt wird.
Danke.
Ich habe etwas weiter gesucht und bin auf folgendes
Papier gestoßen:
![[]](/images/popup.gif) Usher
Interessant sind dabei die Übungen gleich im Anschluss
an die Definitionen 0.1. , 0.2. , 0.3. Als Übung 1. (c)
kommt dann auch genau deine Aufgabe, glücklicher-
weise aber mit einem kleinen Hinweis, wie man vor-
gehen könnte, um eine isometrische Abbildung zu
konstruieren:
(c) Prove that ( [mm] \IR^2 [/mm] ; [mm] d_1 [/mm] ) is isometric to ( [mm] \IR^2 [/mm] ; [mm] d_{\infty} [/mm] ).
(Hint: For the isometry f, try using a linear map
which sends [mm] B_{d_1}((0; [/mm] 0); 1) to [mm] B_{d_\infty}((0; [/mm] 0); 1)).
Es scheint also doch irgendwie zu gehen ...
Leider habe ich den Hinweis aber noch nicht ganz verstanden.
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:52 So 12.10.2014 | | Autor: | Orchis |
Vielen Dank, das ist ja zumindestens mal ein Hinweis, dass es wirklich gehen muss!!! Da werde ich mich gleich mal ans Probieren begeben :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 So 12.10.2014 | | Autor: | Orchis |
Ok, also ich denke, da die Einheitskugel B in der Max-norm das "Einheitsquadrat" ist und in der 1-Norm einer Raute entspricht, muss man eine Abbildung finden, die das Einheitsquadrat auf die Raute abbildet.
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> Ok, also ich denke, da die Einheitskugel B in der Max-norm
> das "Einheitsquadrat" ist und in der 1-Norm einer Raute
> entspricht, muss man eine Abbildung finden, die das
> Einheitsquadrat auf die Raute abbildet.
Genau. Zuerst wusste ich eben gar nicht, was mit [mm] B_d [/mm]
eigentlich gemeint sein soll. Vor ein paar Minuten ist
mir aber die Idee gekommen, dass vielleicht mit
[mm] B_d(P,r) [/mm] die Menge der Punkte in der Ebene gemeint
sein könnte, welche vom Punkt P den Abstand r haben,
also quasi ein der Metrik angepasster "Kreis" :
$\ [mm] B_d(P,r)\ [/mm] =\ [mm] \{\,Q\, |\ d(P,Q)\,=\,r\,\} [/mm] $
Die Raute, die du nennst, ist übrigens ebenfalls ein
Quadrat, und als lineare Abbildung, welche den Über-
gang schafft, kommt man auf eine simple Drehstreckung
mit dem Rotationswinkel 90° und dem Streckungs-
faktor [mm] \sqrt{2} [/mm] bzw. dessen Kehrwert, je nachdem ob
man nun die Abbildung oder die Umkehrabbildung meint.
Es ergibt sich eine ganz einfache Abbildungsmatrix.
Am Ende ist es doch eine sehr nette Aufgabe mit einem
zunächst überraschenden Resultat !
LG und schönen Abend !
Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:06 Do 16.10.2014 | | Autor: | Orchis |
Es ist zwar schon etwas her, aber ich möchte mich nochmal ganz besonders bei dir bedanken! Ich finde es toll, dass du dich auch von gestellten Fragen begeistern kannst! Die Aufgabe ist rückblickend tatsächlich ein nettes Beispiel für eine Isometrie und der Trick mit den Einheitskugeln in der entsprechenden Norm lässt sich sicherlich auch auf einige andere Arten von Isometrie-Beweisen übernehmen.
Liebe Grüße,
Orchis
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