Magische Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:04 Do 24.11.2011 | | Autor: | Coup |
| Aufgabe | A : [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 &1 \\1&1&1 } [/mm] , B [mm] :\pmat{ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 &1 \\1&-1&0 }, [/mm] C: [mm] \pmat{ -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 &-1 \\0&-1&1 }, [/mm] X: [mm] \pmat{ 4 & 9 & 2 \\ 3 & 5 &7 \\8&1&6 } [/mm]
Zeige, dass Spann (A,B,C) die Menge aller magischen Matrizen im [mm] R^3 [/mm] ist. |
Muss ich hier einfach die Einträge von A,B,C Addieren um meine Spannmatrix zu erhalten ? Ich kann mich nichtmehr genau erinnern wie ich es früher gelöst habe. Allerdings waren es da einfache Vektoren. Habe dann einen Vektor X durch addition der anderen dargestellt. Wäre um Hilfe hierbei sehr dankbar :)
lg
Michael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:40 Do 24.11.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo Michael,
> A : [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 &1 \\
1&1&1 }[/mm] , B [mm]:\pmat{ 0 & 1 & -1 \\
-1 & 0 &1 \\
1&-1&0 },[/mm]
> C: [mm]\pmat{ -1 & 1 & 0 \\
1 & 0 &-1 \\
0&-1&1 },[/mm] X: [mm]\pmat{ 4 & 9 & 2 \\
3 & 5 &7 \\
8&1&6 }[/mm]
>
>
> Zeige, dass Spann (A,B,C) die Menge aller magischen
> Matrizen im [mm]R^3[/mm] ist.
Das ist ja ne tolle Aufgabe!
> Muss ich hier einfach die Einträge von A,B,C Addieren um
> meine Spannmatrix zu erhalten ? Ich kann mich nichtmehr
> genau erinnern wie ich es früher gelöst habe. Allerdings
> waren es da einfache Vektoren. Habe dann einen Vektor X
> durch addition der anderen dargestellt. Wäre um Hilfe
> hierbei sehr dankbar :)
Du musst zeigen, dass für alle a,b,c gilt:
[mm]X:=a*\pmat{ 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 &1 \\
1&1&1 }+b*\pmat{ 0 & 1 & -1 \\
-1 & 0 &1 \\
1&-1&0 }+c*\pmat{ -1 & 1 & 0 \\
1 & 0 &-1 \\
0&-1&1 }[/mm] ist eine magische Matrix
Mir fällt da leider keine Abkürzung ein... D.h. du musst zeigen, dass die Spalten-, Zeilen- und Diagonalensummen von [mm]X[/mm] jeweils gleich sind.
Dazu würde ich die Matrix [mm]X[/mm] so zusammenfassen, dass a,b,c in den Einträgen stehen, also
[mm]X:=\pmat{a-c & a+b+c & a-b\\
a-b+c & \cdots & \cdots\\
\cdots & \cdots & \cdots }[/mm].
Dann kannst du relativ schnell zeigen, dass die Summen alle gleich $3a$ sind.
Bemerkenswert finde ich, dass a,b,c beliebig gewählt werden können - also nicht nur natürliche oder ganze Zahlen. Sogar reelle und complexe Zahlen sind erlaubt!
> lg
> Michael
Lieben Gruß,
Fulla
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:25 Do 24.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend:
Du mußt 2 Dinge zeigen:
1. jede Linearkombination von A,B,C liefert Dir eine magische Matrix. Das hat Fulla Dir schon gesagt.
2. Jede magische 3 x 3 - Matrix lässt sich als Linearkombination von A,B,C darstellen.
FRED
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