ML-Schätzer ermitteln < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Dichtefunktion: f(x)=\begin{cases} \bruch{\lambda^{4}*e^{-\lambda*x}*x^{3}}{3!}, & \mbox{für } x \mbox{ >0} \\ 0, & \mbox{für } sonst \mbox{} \end{cases}
a) Leiten Sie den allgemeinen ML-Schätzwert für \lambda her.
b) Bestimmen Sie den Schätzwert für diese Stichprobe.
|
Hi ihr Lieben,
ich habe ungeahnte Problem beim logarithmieren... *lach*! Habe es einfach schon zu lange nicht mehr gemacht, und brauche echt ein wenig Support  !
zu a)
L = $ \produkt_{i=1}^{n} \lambda^{4}*e^{-\lambda*x}*x^{3}}{3!} $
ln(L) = $ \summe_{i=1}^{n} \vektor{\bruch{\lambda^{4}*e^{-\lambda*x}*x^{3}}{3!}}} $
ln(L) = $ \summe_{i=1}^{n} \vektor{ln(\lambda^{4}*e^{-\lambda*x}*x^{3)}-ln(6)} $
ln(L) = $ \summe_{i=1}^{n} \vektor{ln(\lambda^{4}) - \lambda * x * ln(e) * ln(x^{3}) - ln(6)} $
ln(L) = $ \summe_{i=1}^{n} \vektor{4*ln(\lambda) - \lambda * x * 3 * ln(x) - ln(6)} $
..... tja, aber irgendwie "fühlt" sich das alles nicht so gut an *g*! Kann mir bitte wer helfen!?!
Liebe Grüße
Analytiker
![[lehrer]](/images/smileys/lehrer.gif "[lehrer]")
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:23 Sa 12.07.2008 | | Autor: | vivo |
Hallo,
wenn du in der letzten zeile zwischen [mm] -\lambda [/mm] x und 3lnx noch ein + statt * schriebst sollte es stimmen
und die x müssen natürlich den Index erhalten also: [mm] x_i [/mm]
gruß
|
|
|
| |
|
Hallo,
vielen Dank erst einmal. :)
> wenn du in der letzten zeile zwischen [mm]-\lambda[/mm] x und 3lnx
> noch ein + statt * schriebst sollte es stimmen
Wieso denn das? Geht das mit den Logarithmusgesetzen konform, oder habe ich da gerade wieder nen Brett vorm Kopp *lach*?
> und die x müssen natürlich den Index erhalten also: [mm]x_i[/mm]
Ja, das schon ok... einem solchen "Formalismus" habe ich mich noch nie hingeben *lol*! Da siegt die Faulheit... aber danke für den gut gemeinten Hinweis.
Liebe Grüße
Analytiker
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:59 Sa 12.07.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin,
du hast es hier mit einem Spezialfall der Erlangverteilung zu tun,
die wiederum ein Spezialfall der Gamma-Verteilung ist. Vielleicht hilft
dir ![[]](/images/popup.gif) das auf die Spruenge.
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:13 Sa 12.07.2008 | | Autor: | vivo |
hallo,
das mit dem plus, resultiert aus den rechenregeln des ln
ln(a*b)=lna + lnb
so, dann ziehst du alle unabhängigen teile aus der Summe und bildest die erste und zweite ableitung, erste nullsetzen extrema finden in zweite einsetzen und prüfen ob ein maximum vorliegt,
bie b) sind scheinbar konkrete werte für die [mm] x_i [/mm] gegeben
gruß
|
|
|
| |
|
Moin vivo,
vielen Dank.
> das mit dem plus, resultiert aus den rechenregeln des ln
>
> ln(a*b)=lna + lnb
Jo, die Regel kenn ich *lach*! Aber die muss doch da an dieser Stelle gar nicht angwedent werden, oder? Ich meine ich hol doch nur den Exponenten (3) runter, der Rest bleibt doch so, oder wie?
> so, dann ziehst du alle unabhängigen teile aus der Summe
> und bildest die erste und zweite ableitung, erste
> nullsetzen extrema finden in zweite einsetzen und prüfen ob
> ein maximum vorliegt,
Jo, das wäre der Weg... naja mal sehen, ob ich's heute noch packe *g*!
> bie b) sind scheinbar konkrete werte für die [mm]x_i[/mm] gegeben
Ja, sind auch... das bekomme ich dann selbst hin, den Krams einzusetzen... !
Lieeb Grüße
Analytiker
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:27 Sa 12.07.2008 | | Autor: | vivo |
da steht doch
[mm] ln(\lambda^4 [/mm] * [mm] e^{-\lambda x} [/mm] * [mm] x^3) [/mm] und jetzt wendest du
ln(a*b*c) = lna + lnb+ lnc
an .-) mit dem bruch hast dus doch auch richtig gemacht und am anfang wo du den ln in [mm] \produkt_{i=1}^{n} [/mm] gezogen hast doch auch
gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:11 So 13.07.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin Analytiker,
stell dir vor, es liegt eine Stichprobe [mm] $x_1,\dots,x_n$ [/mm] vor. Dann
lautet die Likelihoodfunktion
[mm] $L(\lambda)=\prod_{i=1}^nf(x_i)=\prod_{i=1}^n\frac{\lambda^{4}\cdot{}e^{-\lambda\cdot{}x_i}\cdot{}x_i^{3}}{3!}=\lambda^{4n}\exp(-\lambda\sum_{i=1}^nx_i)(\prod_{i=1}^nx_i/3!)^3$.
[/mm]
Die logarithmierte L-Funktion ist demnach
[mm] $\ln L(\lambda)=4n\ln\lambda-\lambda\sum_{i=1}^n x_i+\ln(\prod_{i=1}^nx_i/3!)^3$.
[/mm]
Bestimme nun das Maximum von [mm] $\ln L(\lambda)$ [/mm] ...
vg Luis
|
|
|
| |
|
Moin luis,
> stell dir vor, es liegt eine Stichprobe [mm]x_1,\dots,x_n[/mm] vor.
???
> Bestimme nun das Maximum von [mm]\ln L(\lambda)[/mm] ...
Deine Aussagen haben für mich leider wenig Gehalt, denn ich will doch GERADE kein Produkt differenzieren ! Ich meine, ich bin doch noch nicht soweit, die L-Funktion richtig umgestellt zu haben, um sie gut differenzieren zu können, oder wie? Und ich wollte auch jetzt nicht meinen "mühesam" beschrittenen Weg verlassen, und nochmal von "neu" mit nem anderen Ansatz anfangen...
Liebe Grüße
Analytiker
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:12 So 13.07.2008 | | Autor: | vivo |
Hallo,
bei dir steht doch jetzt genau das selbe da wie bei Luis !
deine Summe:
[mm] \summe_{i=1}^{n}(4ln\lambda [/mm] - [mm] \lambda x_i [/mm] + [mm] 3ln(x_i) [/mm] - ln6) =
[mm] n4ln\lambda [/mm] - nln6 + 3 [mm] \summe_{i=1}^{n} lnx_i [/mm] - [mm] \lambda \summe_{i=1}^{n} x_i
[/mm]
= [mm] 4ln\lambda [/mm] - [mm] \lambda \summe_{i=1}^{n} x_i [/mm] + ln ( [mm] \produkt_{i=1}^{n} \bruch{x_i^3}{3!}
[/mm]
[mm] L(\lambda)' [/mm] = ?
gruß
|
|
|
| |
|
Hallo,
> bei dir steht doch jetzt genau das selbe da wie bei Luis !
ja, aber welche Vorteil hat es denn über ein Produkt zu differenzieren...? Dachte immer, es wäre leichter über die Summe? Oder wie?
Liebe Grüße
Analytiker
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:25 So 13.07.2008 | | Autor: | vivo |
Luis weg ging schneller und es steht irgendwie schöner da, denn wenn du jetzt nach [mm] \lambda [/mm] differenzierst, fallen alle Teile die kein [mm] \lambda [/mm] enthalten weg!
es bleibt also stehen:
[mm] L(\lambda)' [/mm] = [mm] 4n\bruch{1}{\lambda} [/mm] - [mm] \summe_{i=1}^{n} x_i
[/mm]
[mm] L(\lambda)'' [/mm] = [mm] -4n\bruch{1}{\lambda^2}
[/mm]
also maximum bei [mm] \lambda [/mm] = [mm] \bruch{4n}{\summe_{i=1}^{n} x_i}
[/mm]
nicht vergessen dies in die zweite Ableitung einzusetzen und zu prüfen ob das Ergebnis < 0 ist !
gruß
|
|
|
| |
|
Hi du,
alles klaro, soweit so gut. Jetzt habe ich für b) fünf Sticprobenwerte, und errechne für diese somit den ML-Schätzwert. Der ist hier 5. Was sagt mir dieser nun? Wie interpretiere ich hier richtig? Aufgabenkontext: Es ist eine SP genommen worde, wo 5 Stückzahlen gezählt worden sind. Was sagt mir nun mein ML-Schätzer in Bezug auf das?
Liebe Grüße
Analytiker
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:08 So 13.07.2008 | | Autor: | vivo |
ML-Schätzer grundsätzlich: der Schätzer für den die Wahrscheinlichkeit maximal wird bzw. die Dichte
in diesem Fall: kommt darauf an was [mm] \lambda [/mm] welches wir ja geschätzt haben bei dieser Verteilung ist.
|
|
|
|
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Ne, eher nicht so *g*! In ein bis zwei Sätzen auf den Punkt gebracht, würde mir mehr helfen. Aber trotzdem vielen lieben Dank für den Versuch :)!
