Logarithmische Differentierung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Benutzen Sie die logarithmische Differentiation, um die relative Änderungsrate f′(x)/f(x)
der folgenden Funktionen zu bestimmen.
b) f(x) = [mm] x^{2x} [/mm] |
hallo nochmal,
zuerst hab ich das f(x) umgeformt zu f(x) = [mm] e^{x*ln2x}
[/mm]
dann abgeleitet f'(x) = [mm] e^{x*ln2x} [/mm] * (ln2x + x * [mm] \bruch{1}{2x}) [/mm] = [mm] e^{x*ln2x} [/mm] * (ln2x + [mm] \bruch{1}{2})
[/mm]
wenn ich jetzt jedoch [mm] \bruch{f'(x)}{f(x)} [/mm] mache, erhalte ich [mm] \bruch{e^{x*ln2x} * (ln2x + \bruch{1}{2})}{e^{x*ln2x} } [/mm] = ln2x + [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
in der lösung steht allerdings 2 + 2lnx, jedoch komm ich da nicht drauf, hat da jemad nen ratschlag?
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:49 Di 30.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo james!
Du bildest hier eine falsche Teilableitung. Es gilt:
[mm] $$\left[ \ \ln(2x) \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2x}*2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{x}$$
[/mm]
Einfacher geht dieser Aufgabe, wenn Du vor dem Differenzieren logarithmierst:
$$y \ = \ [mm] x^{2x}$$
[/mm]
[mm] $$\ln(y) [/mm] \ = \ [mm] \ln\left(x^{2x}\right)$$
[/mm]
[mm] $$\ln(y) [/mm] \ = \ [mm] 2x*\ln(x)$$
[/mm]
Nun (implizit) differenzieren ...
Gruß
Loddar
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also müsste ich quasi:
ln(y) = [mm] ln(x^{2x})
[/mm]
ln(y) = 2x * ln(x)
y' = 2 * ln(x) + 2x * [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
y' = 2ln(x) + 2
das ist laut lösungsblatt auch die lösung, aber ich dachte beim impliziten ableiten muss man irgendwie was nach y auflösen und dann in y' einsetzn
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:09 Di 30.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo james!
Auf der linken Seite der Gleichung hast Du falsch differenziert. Es muss heißen unter Anwendung von [mm] $\left[ \ \ln(z) \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{z}$ [/mm] sowie der  Kettenregel:
[mm] $$\bruch{1}{y}*y' [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y'}{y}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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hmm, wenn ich das aber dann auf der linken seite habe, ist mein schönes gedachtes ergebnis wieder futsch, weil ich ja wieder nach y' auflösen muss
und dann drüben (das aufm lösungsblatt stehende ergebnis) mit y multiplizieren müsste
ach das ist doch alles ein mist, wozu brauch ich sowas bitte JEMALS wieder ^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:15 Di 30.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo james!
Es ist doch alles in Ordnung. Gemäß Aufgabenstellung ist doch genau der Quotient [mm] $\bruch{f'(x)}{f(x)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y'}{y}$ [/mm] gesucht.
Gruß
Loddar
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ja ich wollte es grad noch dazueditieren, wen ich ja jetzt [mm] \bruch{f'(x)}{f(x)} [/mm] machen würde,
dann hätte ich ja [mm] \bruch{(2*ln(x)+2) * x^{2x}}{x^{2x}} [/mm] , sofern y hier dem f(x) entspricht(ist ja glaubich dann quasi nach y aufgelöst
naja, nun hab ich die b gelöst, jedoch sollte man meinen die a wäre einfacher, jedoch vergeht mir bei [mm] (\bruch{x+1}{x-1})^{\bruch{1}{3}} [/mm] irgendwie die lust, zumal ich in 2h jetzt 2 aufgaben geschafft habe
zumindest denke ich mal, dass man da ebenso erst logarithmieren sollte, sodas man ln(y) = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] ln(\bruch{x+1}{x-1}) [/mm] erhält
wenn ich jetzt jedoch nach de kettenregel auflösen möchte huii, das sieht schon so kompliziert aus:
[mm] \bruch{y'}{y} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] \bruch{1}{\bruch{x+1}{x-1}} [/mm] * [mm] \bruch{-2}{(x-1)^{2}}
[/mm]
laut lösung kommt [mm] -\bruch{2}{3(x^{2}-1)} [/mm] raus,
ich mein ich erkenne ansätze aus meiner rechnung darin, das wars aber auch schon, ich glaub ich spring einfach mal paar aufgaben nach vorne ^^
danke für alles schonma
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juhu, [mm] \bruch{y'}{y} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] \bruch{1}{x+1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] \bruch{1}{x-1} [/mm]
[mm] \bruch{y'}{y} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3(x+1)} [/mm] - [mm] \bruch{1}{3(x-1)} [/mm] = [mm] \bruch{(x-1)-(x+1)}{3(x^{2}-1)} [/mm] = [mm] \bruch{-2}{3(x^{2}-1)}
[/mm]
%) immerhin etwas, jedoch waren das erst die einfachen aufgaben :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:50 Di 30.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo james!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Auch richtig! Merkst Du nun, dass man sich durch das implizite bzw. logarithmische Differenzieren die Arbeit etwas erleichtern kann?
Gruß
Loddar
PS: Dann bin ich mal auf die schwereren Aufgaben gespannt.
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ja so langsam wird mir das implizierte ja auch einigermaßen klar, in der vorlesung haben wir dafür keine 5min zugebracht, ein kurzes beispiel das wars
naja schwer is ja rel, man wird sehen ^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:35 Di 30.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo james!
> [mm]\bruch{y'}{y}[/mm] = [mm]\bruch{1}{3}[/mm] * [mm]\bruch{1}{\bruch{x+1}{x-1}}[/mm] * [mm]\bruch{-2}{(x-1)^{2}}[/mm]
>
> laut lösung kommt [mm]-\bruch{2}{3(x^{2}-1)}[/mm] raus,
Das ist doch beides dasselbe. Fasse Dein Ergebnis mit den 3 Brüchen zusammen.
Gruß
Loddar
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