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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:29 Sa 29.10.2011 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Vektor [mm] \vektor{a \\ b} [/mm] für:
[mm] \pmat{\cos(\beta)-1 && \sin(\beta)*e^{-i\alpha}\\\sin(\beta)*e^{i\alpha} && -\cos(\beta)-1}\cdot\vektor{a\\b}=\vec{0} [/mm] |
Die 2 Gleichungen sind klar:
[mm] $\left(\cos(\beta)-1\right) \cdot [/mm] a + [mm] \left(\sin(\beta)\cdot e^{-i\alpha}\right)\cdot [/mm] b=0$
und
[mm] $\left(\sin(\beta)\cdot e^{i\alpha}\right) \cdot [/mm] a - [mm] \left(\cos(\beta)+1\right)\cdot [/mm] b=0$
nach jeweils a und b aufgelöst ergibt sich folgendes:
[mm] $\left(\cos(\beta)-1\right) \cdot [/mm] a + [mm] \left(\sin(\beta)\cdot e^{-i\alpha}\right)\cdot [/mm] b=0 [mm] \gdw a=-\frac{\left(\sin(\beta)\cdot e^{-i\alpha}\right)}{\left(\cos(\beta)-1\right)}\cdot [/mm] b$
[mm] $\left(\sin(\beta)\cdot e^{i\alpha}\right) \cdot [/mm] a - [mm] \left(\cos(\beta)+1\right)\cdot [/mm] b=0 [mm] \gdw b=\frac{\left(\sin(\beta)\cdot e^{i\alpha}\right)}{\left(\cos(\beta)+1\right)}\cdot [/mm] a$
Setzt man nun a in b oder umgekehrt ein erhält man,
a=a oder b=b....
was ja (für jeden Definitionsbereich?!) erfüllt sein dürfte?
Heißt das, dass man unendlich viele Lösungen bekommt?
Bin diesbezüglich in der LA ein bisschen eingerostet...
Kann man die beiden Gleichungen folgendermaßen umformen und einen "Vergleich" machen?
[mm] $a=-\frac{\left(\sin(\beta)\cdot e^{-i\alpha}\right)}{\left(\cos(\beta)-1\right)}\cdot [/mm] b [mm] \gdw \frac{a}{b}=-\frac{\left(\sin(\beta)\cdot e^{-i\alpha}\right)}{\left(\cos(\beta)-1\right)}$ [/mm] ... so ist der Zähler = a und der Nenner = b?
Wenn ja, wieso darf ich das?
Für die andere Gleichung würde man folgendes bekommen...
[mm] $b=\frac{\left(\sin(\beta)\cdot e^{i\alpha}\right)}{\left(\cos(\beta)+1\right)}\cdot [/mm] a [mm] \gdw \frac{a}{b}=\frac{\left(\cos(\beta)+1\right)}{\left(\sin(\beta)\cdot e^{i\alpha}\right)}$
[/mm]
was ja nicht dem oberen [mm] $\frac{a}{b}$ [/mm] entspricht... (es sei denn man kann das irgendwie auf die selbe Form bringen...
Danke und Gruß
tedd
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Hallo tedd,
> Bestimmen Sie den Vektor [mm]\vektor{a \\ b}[/mm] für:
>
> [mm]\pmat{\cos(\beta)-1 && \sin(\beta)*e^{-i\alpha}\\\sin(\beta)*e^{i\alpha} && -\cos(\beta)-1}\cdot\vektor{a\\b}=\vec{0}[/mm]
>
> Die 2 Gleichungen sind klar:
>
> [mm]\left(\cos(\beta)-1\right) \cdot a + \left(\sin(\beta)\cdot e^{-i\alpha}\right)\cdot b=0[/mm]
>
> und
>
> [mm]\left(\sin(\beta)\cdot e^{i\alpha}\right) \cdot a - \left(\cos(\beta)+1\right)\cdot b=0[/mm]
>
> nach jeweils a und b aufgelöst ergibt sich folgendes:
>
> [mm]\left(\cos(\beta)-1\right) \cdot a + \left(\sin(\beta)\cdot e^{-i\alpha}\right)\cdot b=0 \gdw a=-\frac{\left(\sin(\beta)\cdot e^{-i\alpha}\right)}{\left(\cos(\beta)-1\right)}\cdot b[/mm]
>
>
> [mm]\left(\sin(\beta)\cdot e^{i\alpha}\right) \cdot a - \left(\cos(\beta)+1\right)\cdot b=0 \gdw b=\frac{\left(\sin(\beta)\cdot e^{i\alpha}\right)}{\left(\cos(\beta)+1\right)}\cdot a[/mm]
>
Die Auflösung geht ja nur, wenn [mm]\cos\left(\beta\right)-1 \not= 0[/mm]
bzw. [mm]\cos\left(\beta\right)+1 \not= 0[/mm] sind.
>
> Setzt man nun a in b oder umgekehrt ein erhält man,
>
> a=a oder b=b....
> was ja (für jeden Definitionsbereich?!) erfüllt sein
> dürfte?
> Heißt das, dass man unendlich viele Lösungen bekommt?
Das kannst Du überprüfen, wenn Du die
Determinante der obigen Matrix berechnest.
> Bin diesbezüglich in der LA ein bisschen eingerostet...
>
> Kann man die beiden Gleichungen folgendermaßen umformen
> und einen "Vergleich" machen?
>
> [mm]a=-\frac{\left(\sin(\beta)\cdot e^{-i\alpha}\right)}{\left(\cos(\beta)-1\right)}\cdot b \gdw \frac{a}{b}=-\frac{\left(\sin(\beta)\cdot e^{-i\alpha}\right)}{\left(\cos(\beta)-1\right)}[/mm]
> ... so ist der Zähler = a und der Nenner = b?
Ja.
> Wenn ja, wieso darf ich das?
>
Das darfst Du genau dann, wenn zusätzlich [mm]b \not=0[/mm] ist.
> Für die andere Gleichung würde man folgendes bekommen...
>
> [mm]b=\frac{\left(\sin(\beta)\cdot e^{i\alpha}\right)}{\left(\cos(\beta)+1\right)}\cdot a \gdw \frac{a}{b}=\frac{\left(\cos(\beta)+1\right)}{\left(\sin(\beta)\cdot e^{i\alpha}\right)}[/mm]
>
> was ja nicht dem oberen [mm]\frac{a}{b}[/mm] entspricht... (es sei
> denn man kann das irgendwie auf die selbe Form bringen...
>
>
> Danke und Gruß
> tedd
Gruss
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