www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Gleichungssysteme" - Lösbarkeit für Parameter a
Lösbarkeit für Parameter a < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Gleichungssysteme"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Lösbarkeit für Parameter a: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:51 Do 08.03.2007
Autor: confused

Aufgabe
ax-2y=a
2x-ay=2

wie bekommt man heraus für welche werte des parameters a eine eindeutige lösbarkeit vorliegt???

danke schon mal im voraus!!

lg

        
Bezug
Lösbarkeit für Parameter a: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:56 Do 08.03.2007
Autor: XPatrickX


> ax-2y=a
>  2x-ay=2
>  wie bekommt man heraus für welche werte des parameters a
> eine eindeutige lösbarkeit vorliegt???
>  
> danke schon mal im voraus!!
>  
> lg

Hallo,

ziehe die erste Gleichung von der zweiten ab:

(2-a)x + (-a+2)y = 2-a
2x-ay=2

Das Gleichungssystem ist eindeutig lösbar, wenn eine Gleichung sich NICHT in 0 = 0 auflöst. Falls a = 2 erkennt man aber, das aus der ersten Gleichung 0 = 0 wird. Somit ist das System für a = [mm] \IR \setminus [/mm] {2} eindeutig lösbar.

Gruß Patrick



Bezug
                
Bezug
Lösbarkeit für Parameter a: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:14 Do 08.03.2007
Autor: confused

ok

1. wie kommst du auf die 2x - ay=2 ???

bei auflösen der klammer komm ich auf 2x - ax - ay + 2y = 2 - a.

wie hast du also  - ax und  2y eliminiert???

und wie kommst du dann darauf, dass 0=0 rauskommt?
sry bin echt confused ... ;)

Bezug
                        
Bezug
Lösbarkeit für Parameter a: Antwort (fehlerhaft)
Status: (Antwort) fehlerhaft Status 
Datum: 22:46 Do 08.03.2007
Autor: schachuzipus

Hallo confused,

ich denke, so einfach, wie Patrick das sieht, ist das nicht, denn:

ax-2y=a
2x-ay=2   Addiere das (-2)-fache der ersten Gleichung zum a-fachen der zweiten Gleichung

ax-2y=a
[mm] (a^2-4)\cdot{}y=0 [/mm]

Für [mm] a\ne\pm2 [/mm] ist die zweite Gleichung nur für y=0 erfüllt, denn [mm] (a^2-4)\ne0!! [/mm]
Für y=0 steht in diesem Falle in der zweiten Gleichung 0=0; anderenfalls hat das Gleichungssystem keine Lösung.

Nach der ersten Gleichung ist mit y=0: [mm] ax=a\Leftrightarrow [/mm] x=1 für [mm] a\ne [/mm] 0, also eindeutige Lösung (x,y)=(1,0)

Und für a=0 ist 0=0, also eine wahre Aussage in Gleichung eins für beliebiges x


Zusammenfassend gibt es also nur für [mm] a\ne \pm2, [/mm] 0 eine eindeutige Lösung


Gruß

schachuzipus



Gruß

schachuzipus


Bezug
                                
Bezug
Lösbarkeit für Parameter a: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) fundamentaler Fehler Status 
Datum: 22:55 Do 08.03.2007
Autor: Kroni

Hi,


wenn ich deine Lösung richtig gelesen habe, sagst du, dass es für [mm] a\not=\pm [/mm] 2 UND für [mm] a\not=0 [/mm] eine eindeutige Lösung gibt.

Beim [mm] a\not=\pm [/mm] 2 stimme ich dir zu.
Aber wenn du mal für a=0 einsetzt, so folgt doch folgendes:

0x-2y=0
2x-0y=2

=> y=0 und x=1
Und das ist für mich schon eine eindeutige Lösung.

Ich weiß nicht, ob der Fragesteller schon den Rechenweg mit der Determinante kennt, aber das Argument möchte ich jetzt einmal bringen:

Ein Gleichungsystem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn seine Determinante ungleich Null ist.

[mm] \vmat{ a & -2 \\ 2 & -a } [/mm] = [mm] -a^2+4 [/mm]
Wann wird [mm] -a^2+4=0? [/mm]
Wenn [mm] a^2= [/mm] => a=2 v a=-2

D.h. für [mm] a\not= \pm [/mm] 2 gibt es eine eindeutige Lösung des Gleichungssystem.

Sláin,

Kroni

Bezug
                                
Bezug
Lösbarkeit für Parameter a: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:01 Do 08.03.2007
Autor: confused

ok
vielen dank das kann ich jetz auch nachvollziehen ... ;)

also wie ist deine Vorgehensweise`?

zuerst nach a auflösen und gucken wie die andere variable beschaffen sein muss?

kann man auch irgendwie direkt sehn ob eine gleichung eine eindeutige oder gar keine lösung hat?

Bezug
                                        
Bezug
Lösbarkeit für Parameter a: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:15 Do 08.03.2007
Autor: Kroni

Hi,

versuch ich also mal das ganze Zusammenzufassen:

Du siehst hier weiter oben einmal die Möglichkeit, die Anzahl der Lösungen mit Hilfe der Determinante zu bestimmen (falls ihr das noch nie gemacht habt, vergess das einfach wieder*g*)
Ansonsten verfolge die Lösung von schachuzipus:
Multipliziere die obere Gleichung mit 2
die untere gleichung mit -a
addiere danach beide Gleichungen.

Das führt dann zu einer Gleichung, die so ausschaut:
[mm] y(a^2-4)=0 [/mm]
Nun fragt man sich: Wann ist dieser Term unabhängig von y?
Denn wenn die obere Gleichung eine Lösung ergibt, egal was du für y einsetzt, so ist diese von y unabhängig.
Also...die obere Gleichung ist von y unabhängig, wenn [mm] a^2-4 [/mm] Null ergibt, denn dann steht da 0=0 , unabhängig von y.
Und das gilt nunmal für a=2 v a=-2

Für alle anderen a gibt es dann eine eindeutige Lösung.

Und zu deiner Frage, ob man das einem LGS direkt ansieht:

Ich denke, man sieht es nur in Ausnahmefällen.

Sláin,

Kroni

Bezug
                                                
Bezug
Lösbarkeit für Parameter a: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:25 Do 08.03.2007
Autor: confused

alles klar :)

vielen dank!

ihr hört bestimmt bald wieder von mir ... :P


P:S: ja die fragestellerin kennt sogar determinanten :P

Bezug
                                        
Bezug
Lösbarkeit für Parameter a: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:49 Do 08.03.2007
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

ich möchte nochmal auf eine relativ komfortable Lösungsmöglichkeiten mittels Matrizenumformungen hinweisen:

Also du hast das LGS

ax-2y=a
2x-ay=2

Das entspricht in Matrixschreibweise: [mm] \pmat{ a & -2 \\ 2 & -a }\cdot{}\vektor{x \\ y}=\vektor{a \\ 2} [/mm]

Hier kannst du nun die sog. erweiterte Koeffizientenmatrix aufstellen:

[mm] \pmat{ a & -2 & | & a\\ 2 & -a & | & 2 } [/mm]

Diese kannst du nun mit elementaren Zeilenumformungen in Zeilenstufenform bringen, wobei 3 Arten von Umformungen erlaubt sind:


(1) Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen

(2) Multiplikation einer Zeile mit einem Skalar (einer Zahl) [mm] \ne [/mm] 0

(3) Vertauschen von zwei Zeilen


Zeilenstufenform meint, dass die Einträge unterhalb des ersten Eintrags einer Zeile allesamt 0 sind


Dies ist eine recht elegante Möglichkeit, lineare Gleichungssysteme zu lösen ohne Variablen "mitzuschleppen" zu müssen


Gruß

schachuzius


Gruß

schachuzipus


Bezug
                                
Bezug
Lösbarkeit für Parameter a: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:05 Do 08.03.2007
Autor: schachuzipus

Ja, der Einwand ist berechtigt, da war ich wohl zu flüchtig ;-)


Also bleibt, dass das LGS für [mm] a\ne\pm2 [/mm] eindeutig lösbar ist.

Für a=0 ist (x,y)=(1,0) in der Tat eine recht eindeutige Lösung ;-)


Gruß

schachuzipus

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Gleichungssysteme"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de