Linearkombination v. Funktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Sei M eine glatte Mannigfaltigkit, dann definieren wir eine k-Form auf ihr, wie folgt:
$w: M [mm] \rightarrow \Lambda^k T_p [/mm] M $
$p [mm] \mapsto w_p$ [/mm]
Wobei [mm] $w_p$ [/mm] eine k-Form auf dem Tangentialraum ist. Die k-Form heißt diffbar genau dann, wenn für alle k-Tupel [mm] $(v_1,...,v_k)$ [/mm] mit [mm] $v_i \in T_p [/mm] M$ die Abbildung
[mm] $w_p: [/mm] T_pM [mm] \rightarrow \mathbb{R}$ [/mm]
differenzierbar ist.
Weiter nennen wir die Elemente [mm] $w_{i_1...i_k}:=w(e_{i_1},...,e_{i_k}): [/mm] U [mm] \rightarrow \mathbb{R}$ [/mm] die Komponentenfunktionen von $w$ mit einer Basis B von [mm] $\mathbb{R}^n$ [/mm] so, dass [mm] $B=(e_1,...,e_n)$.
[/mm]
Dann können wir $w$ wie folgt schreiben:
[mm] $w=\sum_{i_1<...
mit den Komponentenfunktionen, wie oben definiert und [mm] $dx^{i_1}\wedge...\wedge dx^{i_k}$ [/mm] als Elementen der Basis von [mm] $\Lambda^kT_pM$ [/mm] dem Raum der k-Formen über dem Tangentialraum.
Ich weiß, dass ich jede k-Form als Linearkombination der Elemente bekomme, die ich durch das Wedge-Produkt zusammengepackt habe, allerdings sind in diesem Fall die [mm] $w_{i_1...i_k}$ [/mm] Skalare.
Meine Frage ist nun, wieso sind die Skalare im Kontext der k-Form auf einer glatten Mannigfaltigkeit keine Sklare mehr sondern Funktionen?
Meine Hypothese ist, dass wir [mm] $w_{i_1...i_k}$ [/mm] als Funktion von p auffassen, mit anderen Worten werden also k-Tupel [mm] $(v_1,...,v_k)$ [/mm] fixiert und man gibt nur noch p in die Abbildung.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Sa 06.10.2018 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
