Lineares GS = kubische Fkt? < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:53 Do 07.05.2015 | | Autor: | Matze92 |
Hallo,
würden vier kubische Gleichungen (s.u.) ein lineare Gleichungssystem bilden?
[mm] f(x_1)=a\cdot x_1^3+b\cdot x_1^2+c\cdot x_1+d
[/mm]
. . .
[mm] f(x_4)=a\cdot x_4^3+b\cdot x_4^2+c\cdot x_4+d
[/mm]
Ich bin mir nicht sicher, weil kubische Gleichungen sich ja nicht so einfach auflösen lassen. Und ich daher dachte, dass diese evtl. nicht linear sind.
Vielen Dank!
Gruß!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:02 Do 07.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> würden vier kubische Gleichungen (s.u.) ein lineare
> Gleichungssystem bilden?
Das haängt davon ab, was gegeben ist und was gesucht wird.
>
>
> [mm]f(x_1)=a\cdot x_1^3+b\cdot x_1^2+c\cdot x_1+d[/mm]
> . . .
> [mm]f(x_4)=a\cdot x_4^3+b\cdot x_4^2+c\cdot x_4+d[/mm]
>
> Ich bin mir nicht sicher, weil kubische Gleichungen sich ja
> nicht so einfach auflösen lassen. Und ich daher dachte,
> dass diese evtl. nicht linear sind.
Sind [mm] x_1,x_2,x_3 [/mm] und [mm] x_4 [/mm] bekannte Zahlen und sind a,b,c und d gesucht, so ist obiges Gleichungssystem linear.
Sind a,b,c und d bekannte Zahlen und sind [mm] x_1,x_2,x_3 [/mm] und [mm] x_4 [/mm] gesucht, so ist obiges Gleichungssystem nicht linear.
FRED
>
> Vielen Dank!
>
> Gruß!
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:36 Do 07.05.2015 | | Autor: | Matze92 |
Hallo,
also ist es lineare, wenn ich 4 Gleichungen und 4 Unbekannte habe.
Vielen Dank!
Gruß!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:54 Do 07.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> also ist es lineare, wenn ich 4 Gleichungen und 4
> Unbekannte habe.
nein. ich abe doch geschrieben:
Sind a,b,c und d bekannte Zahlen und sind $ [mm] x_1,x_2,x_3 [/mm] $ und $ [mm] x_4 [/mm] $ gesucht, so ist obiges Gleichungssystem nicht linear.
fred
>
> Vielen Dank!
>
> Gruß!
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> Hallo,
>
> würden vier kubische Gleichungen (s.u.) ein lineare
> Gleichungssystem bilden?
>
>
> [mm]f(x_1)=a\cdot x_1^3+b\cdot x_1^2+c\cdot x_1+d[/mm]
> . . .
> [mm]f(x_4)=a\cdot x_4^3+b\cdot x_4^2+c\cdot x_4+d[/mm]
Hallo,
ich vermute, daß es um "Steckbriefaufgaben " geht, etwa so:
sag' eine ganzrationale Funktion dritten Grades, deren Graph die Punkte
[mm] P_1(1|2), P_2(3|4), P_3(5|6), P_4(7|8) [/mm]
enthält.
Eine ganzrationale Funktion dritten Grades ist von der Form [mm] f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,
[/mm]
und die Bedingung, daß die obigen Punkte auf dem Graphen liegen, liefert die 4 Gleichungen
f(1)=2
f(3)=4
f(5)=6
f(7)=8,
also das Gleichungssystem
[mm] a*1^3+b*1^2+c*1+d=2
[/mm]
[mm] a*3^3+b*3^2+c*3+d=4
[/mm]
[mm] a*5^3+b*5^2+c*5+d=6
[/mm]
[mm] a*7^3+b*7^2+c*7+d=8,
[/mm]
ausgerechnet
a+b+c+d=2
27a+9b+3c+d=4
125a+25b+5c+d=6
343a+48b+7c+d=8.
Das ist ein LGS mit den Variablen a,b,c,d.
Es ist linear, weil die Variablen nicht mit höherer Potenz vorkommen, etwa als [mm] a^3 [/mm] oder [mm] c^2.
[/mm]
LG Angela
>
> Ich bin mir nicht sicher, weil kubische Gleichungen sich ja
> nicht so einfach auflösen lassen. Und ich daher dachte,
> dass diese evtl. nicht linear sind.
>
> Vielen Dank!
>
> Gruß!
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:39 Do 07.05.2015 | | Autor: | Matze92 |
Ahh!
Ok. Vielen Dank!
Genauso etwas ist es.
Gruß!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:02 Do 07.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Angela,
> > Hallo,
> >
> > würden vier kubische Gleichungen (s.u.) ein lineare
> > Gleichungssystem bilden?
> >
> >
> > [mm]f(x_1)=a\cdot x_1^3+b\cdot x_1^2+c\cdot x_1+d[/mm]
> > . . .
> > [mm]f(x_4)=a\cdot x_4^3+b\cdot x_4^2+c\cdot x_4+d[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich vermute, daß es um "Steckbriefaufgaben " geht, etwa
> so:
>
> sag' eine ganzrationale Funktion dritten Grades, deren
> Graph die Punkte
> [mm]P_1(1|2), P_2(3|4), P_3(5|6), P_4(7|8)[/mm]
> enthält.
>
> Eine ganzrationale Funktion dritten Grades ist von der Form
> [mm]f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,[/mm]
>
> und die Bedingung, daß die obigen Punkte auf dem Graphen
> liegen, liefert die 4 Gleichungen
>
> f(1)=2
> f(3)=4
> f(5)=6
> f(7)=8,
>
> also das Gleichungssystem
>
> [mm]a*1^3+b*1^2+c*1+d=2[/mm]
> [mm]a*3^3+b*3^2+c*3+d=4[/mm]
> [mm]a*5^3+b*5^2+c*5+d=6[/mm]
> [mm]a*7^3+b*7^2+c*7+d=8,[/mm]
>
> ausgerechnet
>
> a+b+c+d=2
> 27a+9b+3c+d=4
> 125a+25b+5c+d=6
> 343a+48b+7c+d=8.
>
> Das ist ein LGS mit den Variablen a,b,c,d.
> Es ist linear, weil die Variablen nicht mit höherer
> Potenz vorkommen, etwa als [mm]a^3[/mm] oder [mm]c^2.[/mm]
was *Linearität* meint, könnte man genau definieren. Die meisten *sehen*
das und wissen mit dem, was Du sagst, auch, was Du meinst. Dennoch
kann es - streng genommen - auch missverstanden werden:
In dem GS
$2x+y=3$ und [mm] $3\sin(x)+y=5$
[/mm]
kommen die Variablen [mm] $x,y\,$ [/mm] ja auch nur *in einfacher Potenz* vor.
Die zweite Gleichung ist halt keine ![[]](/images/popup.gif) lineare Gleichung in [mm] $x,y\,$...
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:17 Do 07.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Angela,
>
> > > Hallo,
> > >
> > > würden vier kubische Gleichungen (s.u.) ein lineare
> > > Gleichungssystem bilden?
> > >
> > >
> > > [mm]f(x_1)=a\cdot x_1^3+b\cdot x_1^2+c\cdot x_1+d[/mm]
> > > .
> . .
> > > [mm]f(x_4)=a\cdot x_4^3+b\cdot x_4^2+c\cdot x_4+d[/mm]
> >
> > Hallo,
> >
> > ich vermute, daß es um "Steckbriefaufgaben " geht, etwa
> > so:
> >
> > sag' eine ganzrationale Funktion dritten Grades, deren
> > Graph die Punkte
> > [mm]P_1(1|2), P_2(3|4), P_3(5|6), P_4(7|8)[/mm]
> > enthält.
> >
> > Eine ganzrationale Funktion dritten Grades ist von der Form
> > [mm]f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,[/mm]
> >
> > und die Bedingung, daß die obigen Punkte auf dem Graphen
> > liegen, liefert die 4 Gleichungen
> >
> > f(1)=2
> > f(3)=4
> > f(5)=6
> > f(7)=8,
> >
> > also das Gleichungssystem
> >
> > [mm]a*1^3+b*1^2+c*1+d=2[/mm]
> > [mm]a*3^3+b*3^2+c*3+d=4[/mm]
> > [mm]a*5^3+b*5^2+c*5+d=6[/mm]
> > [mm]a*7^3+b*7^2+c*7+d=8,[/mm]
> >
> > ausgerechnet
> >
> > a+b+c+d=2
> > 27a+9b+3c+d=4
> > 125a+25b+5c+d=6
> > 343a+48b+7c+d=8.
> >
> > Das ist ein LGS mit den Variablen a,b,c,d.
> > Es ist linear, weil die Variablen nicht mit höherer
> > Potenz vorkommen, etwa als [mm]a^3[/mm] oder [mm]c^2.[/mm]
>
> was *Linearität* meint, könnte man genau definieren. Die
> meisten *sehen*
> das und wissen mit dem, was Du sagst, auch, was Du meinst.
> Dennoch
> kann es - streng genommen - auch missverstanden werden:
> In dem GS
>
> [mm]2x+y=3[/mm] und [mm]3\sin(x)+y=5[/mm]
>
> kommen die Variablen [mm]x,y\,[/mm] ja auch nur *in einfacher
> Potenz* vor.
Na ja....
in
$ [mm] \sin [/mm] (x) = [mm] \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} [/mm] = [mm] \frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}\mp\dotsb$
[/mm]
kommt $x$ aber in ganz schön vielen nicht einfachen Potenzen vor ...
FRED
>
> Die zweite Gleichung ist halt keine
> lineare Gleichung
> in [mm]x,y\,[/mm]...
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:58 Do 07.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > In dem GS
> >
> > [mm]2x+y=3[/mm] und [mm]3\sin(x)+y=5[/mm]
> >
> > kommen die Variablen [mm]x,y\,[/mm] ja auch nur *in einfacher
> > Potenz* vor.
>
> Na ja....
>
> in
>
> [mm]\sin (x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}\mp\dotsb[/mm]
>
> kommt [mm]x[/mm] aber in ganz schön vielen nicht einfachen Potenzen
> vor ...
bau' Dir auch meinetwegen was, wo auch sowas versagt. Unabhängig
davon:
Diese Summe ist nicht endlich (bzw. noch besser gesagt: da steht ja ein
Grenzwert).
Ich ahnte aber schon, dass irgendjemand sowas (Taylor, Potenzreihen, ...)
zu Tage bringt. 
(Wobei ich aber auch denke, dass Angela mit ihrer Aussage auch sowas
gar nicht mitbehandeln wollte. Ihr ging es eher um abbrechende Summen,
denke ich...)
P.S. Oder hättest Du einen besseren Vorschlag, das, was Angela meint, zu
formulieren? Bzw. meinst Du, dass man das eigentlich einfach so übernehmen
kann? Ich zweifle da jedenfalls weiterhin ein bisschen...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:41 Do 07.05.2015 | | Autor: | fred97 |
Vielleicht so:
Ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten [mm] x_1,x_2,...,x_n [/mm] hat die Form:
[mm] \begin{matrix} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 \, + & \cdots & +\, a_{1n} x_n & = & b_1\\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 \, + & \cdots & +\, a_{2n} x_n & = & b_2\\ &&&\vdots&\\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 \, + & \cdots & +\, a_{mn} x_n & = & b_m\\ \end{matrix} [/mm]
mit gegebenen Zahlen [mm] a_{jk} [/mm] und [mm] b_j.
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:01 Do 07.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> Vielleicht so:
>
>
> Ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n
> Unbekannten [mm]x_1,x_2,...,x_n[/mm] hat die Form:
>
> [mm]\begin{matrix} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 \, + & \cdots & +\, a_{1n} x_n & = & b_1\\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 \, + & \cdots & +\, a_{2n} x_n & = & b_2\\ &&&\vdots&\\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 \, + & \cdots & +\, a_{mn} x_n & = & b_m\\ \end{matrix}[/mm]
>
> mit gegebenen Zahlen [mm]a_{jk}[/mm] und [mm]b_j.[/mm]
das meinte ich nicht (das ist lineare Algebra I; und dann kann man auch
direkt die Matrix-Vektor-Gleichung hinschreiben, damit es kompakt wird).
Nebenbei: Meist sagt man ergänzend, dass man solch' eine äquivalente
Darstellung des GS angeben kann.
Ich dachte, ob Du eine Formulierung findest, die *mit den Exponenten
der Unbekannten* arbeitet.
Aber ich glaube, wir lassen das. Irgendwie reden wir sonst vielleicht noch
mehr aneinander vorbei. ^^
Gruß,
Marcel
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