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| Aufgabe | Sei [mm] f:V\rightarrow W [/mm] ein Homomorphismus zwischen K-Vektorräumen und [mm] (v_1 ,..., v_n) [/mm] ein n-Tupel von Vektoren von V (für [mm] n\in \mathbb{N} ,n\geq 1).[/mm]
Beweise: Ist [mm] (f(v_1),...,f(v_n)) [/mm] linear unabhängig, so ist [mm] (v_1,...,v_n)[/mm] auch linear unabhängig. Gilt auch die Umkehrung? |
Hallo,
ich komme bei dieser Aufgabe nicht ganz weiter.
Also wenn [mm] (f(v_1),...,f(v_n)) [/mm] linear unabhängig, dann folgt ja
[mm] \overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}\lambda_{i}f(v_{i})=0\Rightarrow\lambda_{i}=0\,\,\,\forall i\in\{1,...,n\}[/mm].
Dann gilt doch auf Grund der Linearität: [mm] \overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}\lambda_{i}f(v_{i})=\overset{n}{\underset{i=1}{f(\sum}}\lambda_{i}v_{i})=0[/mm].
Jetzt sehe ich, dass [mm] \overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}\lambda_{i}v_{i} [/mm] Element des Kerns von f ist.
Da nun [mm] v_i \neq 0[/mm] müssen die [mm] \lambda _i=0[/mm] sein.
Kann man den Beweis so führen (bzw. reicht das bis zu diesem Punkt aus oder muss ich noch etwas zeigen)?
Mit der Umkehrung habe ich mich noch nicht so genau beschäftigt, aber rein intuitiv würde ich sagen, dass diese falsch ist. Stimmt meine Intuition da?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:56 Mo 19.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm]f:V\rightarrow W[/mm] ein Homomorphismus zwischen
> K-Vektorräumen und [mm](v_1 ,..., v_n)[/mm] ein n-Tupel von Vektoren
> von V (für [mm]n\in \mathbb{N} ,n\geq 1).[/mm]
> Beweise: Ist [mm](f(v_1),...,f(v_n))[/mm] linear unabhängig, so ist
> [mm](v_1,...,v_n)[/mm] auch linear unabhängig. Gilt auch die
> Umkehrung?
> Hallo,
> ich komme bei dieser Aufgabe nicht ganz weiter.
> Also wenn [mm](f(v_1),...,f(v_n))[/mm] linear unabhängig, dann
> folgt ja
>
> [mm]\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}\lambda_{i}f(v_{i})=0\Rightarrow\lambda_{i}=0\,\,\,\forall i\in\{1,...,n\}[/mm].
Tipp: Anstatt [mm] [nomm]$\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}...$[/nomm] [/mm] benutze einfach einen der Befehle [mm] [nomm]$\sum_{i=1}^n...$[/nomm], [nomm]$\summe_{i=1}^n....$[/nomm] [/mm] oder [mm] [nomm]$\sum\limits_{i=1}^n...$[/nomm].
[/mm]
> Dann gilt doch auf Grund der Linearität:
> [mm]\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}\lambda_{i}f(v_{i})=\overset{n}{\underset{i=1}{f(\sum}}\lambda_{i}v_{i})=0[/mm].
> ...
Das ist richtig, bringt Dir aber nicht. Du musst Dir erstmal klarmachen, was überhaupt zu zeigen ist. Zu zeigen ist nun (unter obigen Voraussetzungen):
Aus [mm] $\sum_{i=1}^n \mu_i v_i=0$ [/mm] folgt (stets) [mm] $\mu_i=0$ [/mm] für [mm] $i=1,...,n\,.$
[/mm]
> Kann man den Beweis so führen (bzw. reicht das bis zu
> diesem Punkt aus oder muss ich noch etwas zeigen)?
Also wie gesagt, Du hast Dir die Aufgabenstellung nicht ganz klar gemacht. Zu zeigen ist (die Universalvoraussetzungen erspare ich mir, sie stehen ja oben):
Wenn gilt:
(V) [mm] $\sum_{i=1}^n \lambda_i f(v_i)=0$ $\Rightarrow$ $\lambda_i=0$ [/mm] für [mm] $i=1,...,n\,,$ [/mm]
so gilt auch
(B) [mm] $\sum_{i=1}^n \mu_i v_i=0$ $\Rightarrow$ $\mu_i=0$ [/mm] für [mm] $i=1,...,n\,.$ [/mm]
(Unter (V) (=Voraussetzung) gilt (B) (=Behauptung)).
Also Ansatz:
Seien also [mm] $\mu_1,...,\mu_n \in [/mm] K$ mit
[mm] $(\star)\;\;\;\sum_{i=1}^n \mu_i v_i=0\,.$ [/mm]
Nun ist zu zeigen, dass dann auch [mm] $\mu_i=0$ [/mm] für $i=1,...,n$ gelten muss.
Dazu wendest Du nun in [mm] $(\star)$ [/mm] auf beiden Seiten die Funktion [mm] $\,f\,$ [/mm] an, beachtest danach rechterhand, dass hier $f(0)=0$ gilt (Warum?) und dann kannst Du linkerhand die Linearität von [mm] $\,f\,$ [/mm] ausnutzen, und die Voraussetzung (V) liefert dann das Gewünschte.
Also etwas konkreter heißt das:
Aus [mm] $\sum_{i=1}^n \mu_i v_i=0$ [/mm] folgt zunächst [mm] $f(\sum_{i=1}^n \mu_i v_i)=\underbrace{f(0)}_{=0}\,.$ [/mm] Nun gilt...
> Mit der Umkehrung habe ich mich noch nicht so genau
> beschäftigt, aber rein intuitiv würde ich sagen, dass diese
> falsch ist. Stimmt meine Intuition da?
Rein intuitiv: Ja. Aber Intuition ist kein Beweis  .
Die Umkehrung würde ja heißen:
Unter obigen Universalvoraussetzungen (an [mm] $\,f\,$, $\,K\,$ [/mm] etc.):
Wenn stets gilt, dass aus [mm] $\sum_{i=1}^n \mu_i v_i=0$ [/mm] auch [mm] $\mu_i=0$ [/mm] für $i=1,...,n$ folgt, dann gilt auch:
Aus [mm] $\sum_{i=1}^n \lambda_i f(v_i)=0$ [/mm] folgt auch stets [mm] $\lambda_i=0$ [/mm] für [mm] $i=1,...,n\,.$ [/mm]
Dazu zunächst mal etwas Theorie (für die Aufgabe eigtl. nicht wirklich notwendig, aber zum Verständnis der Aufgabe hilfreich):
Wo ist hier die Problematik?
Es ist die Frage:
Kann aus [mm] $\sum_{i=1}^n \lambda_i f(v_i)=0$ [/mm] (stets) [mm] $\lambda_i=0$ [/mm] für $i=1,...,n$ gefolgert werden?
Hier wäre also meinetwegen:
[mm] $(\text{V}_{\text{neu}})$ $\sum_{i=1}^n \mu_i v_i=0$ $\Rightarrow$ $\mu_i=0$ [/mm] für [mm] $i=1,...,n\,.$
[/mm]
[mm] $(\text{B}_{\text{neu}})$ $\sum_{i=1}^n \lambda_i f(v_i)=0$ $\Rightarrow$ $\lambda_i=0$ [/mm] für [mm] $i=1,...,n\,.$
[/mm]
Sei also [mm] $\sum_{i=1}^n \lambda_i f(v_i)=0\,.$ [/mm] Wir wissen momentan nur (und diese Überlegung hast Du quasi schonmal angestellt, nur im anderen Aufgabenteil):
Dann gilt [mm] $\sum_{i=1}^n \lambda_i f(v_i)=f(\sum_{i=1}^n \lambda_i v_i)\,,$ [/mm] und damit folgt dann
[mm] $(\star_2)\;\;\;f(\sum_{i=1}^n \lambda_i v_i)=0\;\;(=f(0))\,.$ [/mm]
Um nun mit [mm] $(\text{V}_{\text{neu}})$ [/mm] überhaupt weiter arbeiten zu können, müssten wir nun irgendwie aus [mm] $(\star_2)$ [/mm] zur Gleichung [mm] $\sum_{i=1}^n \lambda_i v_i=0$ [/mm] gelangen. Dies' geht aber nicht immer bzw., um diese Folgerung durchziehen zu können, benötigten wir, dass [mm] $Kern(f)=\{0\}$ [/mm] (bzw. hier gleichwertig dazu: [mm] $\,f\,$ [/mm] injektiv) ist.
Wie konstruiert man nun ein Gegenbeispiel? Na, man nimmt einfach einen nicht injektiven Homomorphismus. Ein triviales Beispiel dazu:
Betrachte [mm] $f:\IR \to \IR$ [/mm] (mit [mm] $\IR$ [/mm] als [mm] $\IR$-Vektorraum; [/mm] d.h. insbesondere dass die Vektorraumaddition nichts anderes als die Körperaddition in [mm] $\IR$ [/mm] und das die Skalarmultiplikation nichts anderes als die Körpermultiplikation im Körper [mm] $\IR$ [/mm] ist!) mit $f(x) [mm] :\equiv [/mm] 0$ (d.h. $f=0$ , bzw. m.a.W.: $f(x)=0$ für alle $x [mm] \in \IR$). [/mm]
Hier gilt offensichtlich (da [mm] $\IR$ [/mm] als [mm] $\IR$-Vektorraum [/mm] offensichtlich Dimension $n=1$ hat) mit [mm] $v_1:=1$:
[/mm]
Für [mm] $\mu:=\mu_1 \in \IR$ [/mm] folgt aus [mm] $\sum_{i=1}^n \mu_i v_i=0$ [/mm] stets [mm] $\mu_i=0$ [/mm] für [mm] $i=1,...,n\,,$ [/mm] denn:
Es ist ja $n=1$, [mm] $\mu_1=\mu$ [/mm] und [mm] $v_1=1$, [/mm] so dass
[mm] $\sum_{i=1}^n \mu_i v_i=0$ $\gdw$ $\mu_1 [/mm] *1=0$ [mm] $\gdw$ $\mu=0\,,$ [/mm] also [mm] $\mu=\mu_1=0$ [/mm] sein muss.
Weiter gilt aber z.B. für [mm] $\lambda=\lambda_1:=3 \not=0$
[/mm]
[mm] $\sum_{i=1}^n \lambda_i f(v_i)=\sum_{i=1}^1 \lambda_i f(v_i)=\lambda_1*\underbrace{f(v_1)}_{=0,\;\text{ da }f(x)\equiv 0}=3*0=0\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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