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Lineare Optimierung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:09 Mi 15.05.2019
Autor: rubi

Aufgabe
Gegeben ist das lineare Programm

[mm] 2x_2+5x_1-5x_3-3x_4 \to [/mm] min

[mm] -4x_2-3x_1+3x_3=18 [/mm]
[mm] x_2-7x_4 [/mm] = 1
[mm] 2x_1-2x_3+8x_4 \geq [/mm] 4
[mm] -6x_2-3x_4 \leq [/mm] 2
[mm] x_1,x_2,x_3 \geq [/mm] 0

Transformiere das lineare Programm auf ein LP mit nur 3 Variablen, indem Sie geeignete Variablen eliminieren.

Hallo zusammen,

in der Musterlösung zu der Aufgabe wurde der Ausdruck [mm] x_1 [/mm] - [mm] x_3 [/mm] = z gesetzt und es entsteht folgendes Programm:

[mm] 2x_2+5z-3x_4 \to [/mm] min

[mm] -4x_2-3z=18 [/mm]
[mm] x_2-7x_4 [/mm] = 1
[mm] 2z+8x_4 \geq [/mm] 4
[mm] -6x_2-3x_4 \leq [/mm] 2
[mm] x_2 \geq [/mm] 0

Ich verstehe zwar, was hier gemacht wurde, aber meine Frage ist, ob dies die einzige Möglichkeit ist, Variablen zu eliminieren.
Hätte ich nicht einfach die Gleichung [mm] x_2 [/mm] = [mm] 1+7x_4 [/mm] nutzen können und alle Variablen [mm] x_2 [/mm] durch [mm] 1+7x_4 [/mm] ersetzen können ?
D.h. kann ich eine der Gleichheitsbedingungen nutzen, um eine Variable zu eliminieren ?
Falls ja, könnte ich dann auch beide Gleichheitsbedingungen nutzen, um gleich 2 Variablen zu eliminieren ?
Oder darf man dies bei einem linearen Programm nicht machen ?
Falls es nicht erlaubt ist, würde das bedeuten, dass ich eine Elimination in der Aufgabe nur deshalb durchführen kann, weil "zufällig" in jeder Zeile der Term [mm] "x_1-x_3" [/mm] zu finden ist ?

Vielen Dank für eure Antworten.

Viele Grüße
Rubi

        
Bezug
Lineare Optimierung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:48 Mi 15.05.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,
  

> Ich verstehe zwar, was hier gemacht wurde, aber meine Frage
> ist, ob dies die einzige Möglichkeit ist, Variablen zu eliminieren.
> Hätte ich nicht einfach die Gleichung [mm]x_2[/mm] = [mm]1+7x_4[/mm] nutzen
> können und alle Variablen [mm]x_2[/mm] durch [mm]1+7x_4[/mm] ersetzen
> können ?

Ja, das wäre die offensichtlichere Lösung.

> D.h. kann ich eine der Gleichheitsbedingungen nutzen, um eine Variable zu eliminieren ?
> Falls ja, könnte ich dann auch beide
> Gleichheitsbedingungen nutzen, um gleich 2 Variablen zu
> eliminieren ?

Da spricht erst mal nichts gegen.
Am Ende hättest du sogar nur noch eine Optimierung mit einer Variable... wie langweilig :D

> Falls es nicht erlaubt ist, würde das bedeuten, dass ich
> eine Elimination in der Aufgabe nur deshalb durchführen
> kann, weil "zufällig" in jeder Zeile der Term [mm]"x_1-x_3"[/mm] zu
> finden ist ?

Ich denke darum ging es dem Autor in der Aufgabe, auch zu erkennen, dass man manchmal "Kombinationen" von Variablen ersetzen kann/soll/muss um Dinge zu vereinfachen.
Hier halt: Die Lösung des Problems hängt halt faktisch nur von der Differenz von [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] ab und nicht von den einzelnen Werten, die sind egal.

Bekommst du das Problem denn auf eine Variable reduziert?
Versuch mal!

Gruß,
Gono

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