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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:39 So 13.12.2009 | | Autor: | mathemak |
| Aufgabe | Gegeben ist mit $V$ ein $K$-Vektorraum und mit [mm] $\mathrm{id}$ [/mm] die identische Abbildung auf $V$. Weiterhin sei $f$ eine lineare Abbildung von $V$ nach $V$ für die gilt $f [mm] \circ [/mm] f - f + [mm] \mathrm{id} [/mm] = 0$. Die Null in der Gleichung sei die Nullabbildung.
Zu zeigen ist: $f$ ist invertierbar. Die Inverse ist explizit anzugeben. |
Hallo Forum!
Aus der Uni-Mathematik bin ich seit fast 10 Jahren im Lehramt raus. Für eine ehemalige Schülerin arbeite ich mich gerade wieder ein.
Ich habe mir zur lineare Abbildung eine Matrix $A$ gegeben und versucht, das Problem über Matrizen zu lösen.
$$
A [mm] \cdot [/mm] A - A + E = 0
$$
Die Matrix $A$ muss dann quadratisch von der Form $n [mm] \times [/mm] n$ sein, da sonst keine Einheitsmatrix für die identische Abbildung existiert.
Wenn $f$ invertierbar ist, muss es auch eine invertierbare Matrix $A$ geben, so mein Gedanke. Obige Matrizengleichung nach $A$ aufzulösen hat aber nicht geklappt. Wenn ich mit [mm] $A^{-1}$ [/mm] von links durchmultipliziere und umstelle, komme ich auf
$ A - E + [mm] A^{-1} [/mm] = 0 [mm] \iff [/mm] A + [mm] A^{-1} [/mm] = E$.
Da nutze ich aber m.E. die Invertierbarkeit, bevor ich sie nachgewiesen habe.
Woran hängt es da?
Ein anderer Weg wäre, die Surjektivität und die Injektivität nachzuweisen. Daraus folgt dann die Bijektivität und die Existenz der inversen Abbildung.
Was ich hineinstecken könnte:
$f$ ist ein Endomorphismus von $V$ nach $V$. $f$ ist linear, dann ist auch $f [mm] \circ [/mm] f$ linear. Die Summe linearer Abbildungen ist wieder linear (linear ist sowohl die Identität, als auch die Nullabildung).
Für die Surjektivität wäre zu zeigen, dass [mm] $\exists \, [/mm] x [mm] \in [/mm] V: f(x)=y$.
[mm] $f^2(y) [/mm] - f(y) + y = 0 [mm] \iff [/mm] y = f(y) - f(f(y))$.
Wie kann ich an der Stelle die Linearität ausnutzen?
Hat da jemand einen Tipp für mich?
Danke!
mathemak
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:50 So 13.12.2009 | | Autor: | pelzig |
Wenn $V$ endlich-dimensional ist, dann ist das sehr einfach. Dann reicht es zu zeigen dass f injektiv ist. Dazu reicht es (hoffe du weißt das) zu zeigen, dass [mm] $\ker [/mm] f=0$ ist.
Beweis: Sei [mm] $x\in\ker [/mm] f$. Dann ist [mm] $0=(f\circ f-f+\operatorname{id})(x)=f(f(x))-f(x)+x=x$. [/mm] Fertig.
Edit: Das oben war zwar nicht falsch, aber es wurde ja explizit nach der Inversen gefragt und wenn man die hat braucht man das oben gar nicht mehr. Probier doch mal als Inverse [mm] $\operatorname{id}-f$!
[/mm]
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 So 13.12.2009 | | Autor: | mathemak |
Hallo Robert!
Soweit klar. Da $x=0$ ist $f$ injektiv. Da die Dimension (vermutlich) endlich ist, folgt sofort die Surjektivität und die Bijektivität. Dann exisiert auch eine inverse Abbildung.
Wo liegt der Denkfehler beim Übergang zu den Matrizen?
Gruß
mathemak
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:26 So 13.12.2009 | | Autor: | pelzig |
> Wo liegt der Denkfehler beim Übergang zu den Matrizen?
Also prinzipiell ist es einerlei ob du mit Matrizen oder mit Endomorphismen rechnest. Du hast ja schon richtig gefolgert:
Wenn f invertierbar ist, dann folgt aus [mm] $f^2-f+\operatorname{id}=0$ [/mm] durch Anwenden von [mm] $f^{-1}$ [/mm] die Gleichung [mm] $f-\operatorname{id}+f^{-1}=0$, [/mm] also [mm] $f^{-1}=\operatorname{id}-f$. [/mm] Jetzt musst du noch noch zeigen das [mm] $\operatorname{id}-f$ [/mm] tatsächlinch invers zu $f$ ist.
Gruß, Robert
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