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Lineare Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:24 Fr 08.07.2016
Autor: Fjury

Aufgabe
Gibt es eine lineare Abbildung f: [mm] \IR^{5} [/mm] -> [mm] \IR^{2} [/mm] mit Ker f [mm] \subseteq \IR^{2}? [/mm] Begründen Sie.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Habe leider keine Ahnung, wie ich bei so eine Frage rangehen muss.

a= [mm] \vektor{v \\ w \\ x \\ y \\ z} [/mm]

auf  [mm] \vektor{s \\ t} [/mm]

Stell ich hier dann eine (2 x 5) Matrix auf?

und berechne den Ker f anhand von reellen Zahlen bspw.?

Gruß Adrian

        
Bezug
Lineare Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:50 Fr 08.07.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Stell ich hier dann eine (2 x 5) Matrix auf?

Grundsätzlich könnte man das so machen

> und berechne den Ker f anhand von reellen Zahlen bspw.?

das wird schwierig, wenn man keine konkrete Abbildung gegeben hat.
Tipp: []Rangsatz

Gruß,
Gono

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Lineare Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:07 Fr 08.07.2016
Autor: Fjury

Hm,

also dann

dim Ker f = dim V - dim IM f

Also den Defekt berechnen!

Heißt dim 5 - Rang 2 = 3 -> nicht im [mm] R^2 [/mm] ? oder wie soll man das verstehen?

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Lineare Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:19 Fr 08.07.2016
Autor: hippias

Ja, so soll man es wohl verstehen. Jedoch möchte ich bemerken, dass die Aussage $Kern [mm] f\subseteq \IR^{2}$ [/mm] meiner Ansicht nach unsinnig ist, da in jedem Fall $Kern [mm] f\subseteq \IR^{5}$ [/mm] ist, aber niemals [mm] $\IR^{2}\subseteq \IR^{5}$. [/mm] Man hätte besser gefragt, ob es möglich ist, dass der Kern von $f$ höchstens die Dimension $2$ hat.

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Lineare Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:45 Fr 08.07.2016
Autor: Fjury

Alles klar, dann wäre das geklärt, das heißt die Rechnung, bzw. Aufstellung der " Rechnung" reicht als Begründung?


Def A= dim A - rang A = 5 - 2 = 3 -> liegt nicht in [mm] R^2 [/mm]

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Lineare Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:00 Fr 08.07.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Alles klar, dann wäre das geklärt, das heißt die
> Rechnung, bzw. Aufstellung der " Rechnung" reicht als
> Begründung?
>  
>
> Def A= dim A - rang A = 5 - 2 = 3 -> liegt nicht in [mm]R^2[/mm]  

Nein. Denn das Bild von f muss ja gar nicht Dimension 2 haben!
Bspw. ist für [mm] $f\equiv 0_{\IR^2}$ $\text{dim im}(f) [/mm] = 0$

Aber einmal abschätzen und du hast es…

Gruß,
Gono


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Lineare Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:49 Mo 11.07.2016
Autor: Fjury

Wie genau meinst du das jetzt mit einmal abschätzen und ich hab es?

Versteh ich gerade nicht

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Lineare Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:24 Mo 11.07.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

na du setzt in der Dimensionsformel $ [mm] \text{dim im}(f) [/mm] = 2$. Das ist im Allgemeinen aber nicht korrekt, sondern nur $ [mm] \text{dim im}(f) \le [/mm] 2$


Gruß,
Gono

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Lineare Abbildung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:54 Mo 11.07.2016
Autor: Fjury

Okay danke!

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