Laurentreihe/Residuen/Sing. < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:05 So 05.07.2009 | | Autor: | Stern123 |
| Aufgabe | Nennen Sie alle nicht hebbaren isolierten Singularitäten der Funktion f.
Bestimmen Sie die Residuen und jeweils den Singulären Teil von f.
a) f1(z) = [mm] e^{\bruch{1}{z}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{z}
[/mm]
b) f2(z) = [mm] (z+2)sin(\bruch{1}{z+2}) [/mm] |
z aus den komplexen Zahlen.
Also ich habe versucht, es mal als Reihe zu schreiben.
Dann erhalte ich:
f1(z) = 1 + [mm] \bruch{1}{z} [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{n!}*\bruch{1}{z^{n}}
[/mm]
Ist das jetzt schon eine Laurentreihe?
Kann ich hier schon das Residuum ablesen?
Und woran sehe ich an der Reihe, wo die Singularitäten sind?
Für f2(z) erhalte ich nach Umformungen: [mm] \summe_{i=0}^{n} \bruch{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!} [/mm] * [mm] (\bruch{1}{z+2})^{2n-1}
[/mm]
Bringt mir das etwas bzw. wie muss ich die Reihe umformen, damit es mir was bringt?
Ich hoffe, jemand kann mir helfen, da ich so gar nicht verstehe, wie ich die Funktionen umformen muss, damit ich was damit anfangen kann!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:07 Di 07.07.2009 | | Autor: | Stern123 |
Hat denn wirklich niemand eine Idee?
Ich komme echt nicht weiter ...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:22 Di 07.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Nennen Sie alle nicht hebbaren isolierten Singularitäten
> der Funktion f.
> Bestimmen Sie die Residuen und jeweils den Singulären
> Teil von f.
> a) f1(z) = [mm]e^{\bruch{1}{z}}[/mm] + [mm]\bruch{1}{z}[/mm]
> b) f2(z) = [mm](z+2)sin(\bruch{1}{z+2})[/mm]
> z aus den komplexen Zahlen.
> Also ich habe versucht, es mal als Reihe zu schreiben.
> Dann erhalte ich:
> f1(z) = 1 + [mm]\bruch{1}{z}[/mm] + [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{n!}*\bruch{1}{z^{n}}[/mm]
>
> Ist das jetzt schon eine Laurentreihe?
Ja, aber schreib nicht so schlampig !
Es ist
[mm] $f_1(z) [/mm] = 1 [mm] +\bruch{2}{z}+\summe_{n=2}^{\infty}\bruch{1}{n! z^n}$
[/mm]
> Kann ich hier schon das Residuum ablesen?
Klar doch
> Und woran sehe ich an der Reihe, wo die Singularitäten
> sind?
Du siehst doch schon hieran
$ [mm] e^{\bruch{1}{z}} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{1}{z} [/mm] $
dass o eine isolierte Singularität ist
>
> Für f2(z) erhalte ich nach Umformungen: [mm]\summe_{i=0}^{n} \bruch{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!}[/mm]
> * [mm](\bruch{1}{z+2})^{2n-1}[/mm]
> Bringt mir das etwas bzw. wie muss ich die Reihe umformen,
> damit es mir was bringt?
Anleitung:
Schreib mal die Sinusreihe ordentlich hin, dann berechne
$g(w) = w*sin(1/w)$
Scheibe die entstehende Reihe mal aus. Setze dan $w= z+2$
FRED
>
> Ich hoffe, jemand kann mir helfen, da ich so gar nicht
> verstehe, wie ich die Funktionen umformen muss, damit ich
> was damit anfangen kann!
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 Di 07.07.2009 | | Autor: | Stern123 |
Erstmal vielen Dank für die ausführliche Antwort! 
Aber ich habe noch ein paar Fragen:
Was ist das Residuum?
Laut der Formel auf Wikipedia müsste das Residuum ja hier dann gleich [mm] a_{1} [/mm] (bei unserer Schreibweise der Laurentreihe) sein.
$ [mm] f_1(z) [/mm] = 1 [mm] +\bruch{2}{z}+\summe_{n=2}^{\infty}\bruch{1}{n! z^n} [/mm] $
[mm] a_{1} [/mm] müsste ja dann 2 sein, richtig?
g(w) hab ich nun so geschrieben:
g(w) = [mm] w*sin(\bruch{1}{w}) [/mm] = [mm] w*\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{(2n+1)!} [/mm] * [mm] (\bruch{1}{w})^{2n+1} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{(2n+1)!} [/mm] * [mm] \bruch{w}{w^{2n+1}} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{(2n+1)!} [/mm] * [mm] \bruch{1}{w^{2n}}
[/mm]
Dann w = z+1 einsetzen:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{(2n+1)!} [/mm] * [mm] \bruch{1}{(z+2)^{2n}} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{(2n+1)!} [/mm] * [mm] (\bruch{1}{(z+2)})^{2n}
[/mm]
Aber eigentlich darf doch nur 1/z bzw. z hoch irgendwas in der Reihe stehen oder habe ich das falsch verstanden?
Oder soll ich dann [mm] a_{1} [/mm] wieder vor die summe ziehen und dann schauen, dass ich eine darstellung bekomm mit x * [mm] \bruch{1}{z}, [/mm] aber dann hätte ich ja z in x drin, was vermutlich nciht so sinnvoll wäre ...
Wie mach ich weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:12 Di 07.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Erstmal vielen Dank für die ausführliche Antwort!
> Aber ich habe noch ein paar Fragen:
> Was ist das Residuum?
> Laut der Formel auf Wikipedia müsste das Residuum ja hier
> dann gleich [mm]a_{1}[/mm] (bei unserer Schreibweise der
> Laurentreihe) sein.
> [mm]f_1(z) = 1 +\bruch{2}{z}+\summe_{n=2}^{\infty}\bruch{1}{n! z^n}[/mm]
>
> [mm]a_{1}[/mm] müsste ja dann 2 sein, richtig?
Ja
>
> g(w) hab ich nun so geschrieben:
> g(w) = [mm]w*sin(\bruch{1}{w})[/mm] = [mm]w*\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{(2n+1)!}[/mm]
> * [mm](\bruch{1}{w})^{2n+1}[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{(2n+1)!}[/mm]
> * [mm]\bruch{w}{w^{2n+1}}[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{(2n+1)!}[/mm]
> * [mm]\bruch{1}{w^{2n}}[/mm]
> Dann w = z+1 einsetzen:
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{(2n+1)!}[/mm] *
> [mm]\bruch{1}{(z+2)^{2n}}[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{(2n+1)!}[/mm]
> * [mm](\bruch{1}{(z+2)})^{2n}[/mm]
= [mm] 1-\bruch{1}{3!(z+2)^2}+\bruch{1}{5!(z+2)^4}-+ [/mm] .....
Hier ist doch die Laurentreihe um z = -2 gefragt !
FRED
(übungsblatt Vorl. Schnaubelt ?)
>
> Aber eigentlich darf doch nur 1/z bzw. z hoch irgendwas in
> der Reihe stehen oder habe ich das falsch verstanden?
> Oder soll ich dann [mm]a_{1}[/mm] wieder vor die summe ziehen und
> dann schauen, dass ich eine darstellung bekomm mit x *
> [mm]\bruch{1}{z},[/mm] aber dann hätte ich ja z in x drin, was
> vermutlich nciht so sinnvoll wäre ...
> Wie mach ich weiter?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 Di 07.07.2009 | | Autor: | Stern123 |
Klar, Laurentreihe um z = -2. Da stand ich etwas auf dem Schlauch ...
$ [mm] 1-\bruch{1}{3!(z+2)^2}+\bruch{1}{5!(z+2)^4}-+ [/mm] $ .....
Also das Residuum wäre hier meiner Ansicht nach dann [mm] -\bruch{1}{3!}.
[/mm]
Dann ist es quasi völlig egal, was für eine Zahl an der Stelle n steht? [mm] -\bruch{1}{3!(z+2)^n} [/mm]
Ja, Übungsblatt Vorlesung Schnaubelt ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:30 Di 07.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Klar, Laurentreihe um z = -2. Da stand ich etwas auf dem
> Schlauch ...
>
> [mm]1-\bruch{1}{3!(z+2)^2}+\bruch{1}{5!(z+2)^4}-+[/mm] .....
> Also das Residuum wäre hier meiner Ansicht nach dann
> [mm]-\bruch{1}{3!}.[/mm]
Nein !
Ist [mm] z_0 [/mm] eine isolierte Singularität von f und ist
[mm] \bruch{a_1}{z-z_0}+\bruch{a_2}{(z-z_0)^2}+\bruch{a_3}{(z-z_0)^3}+ [/mm] ....
der Hauptteil der Laurententwicklung von f um [mm] z_0, [/mm] so ist das Residuum der Koeff. [mm] a_1.
[/mm]
Also ist oben das Residuum = 0
> Dann ist es quasi völlig egal, was für eine Zahl an der
> Stelle n steht? [mm]-\bruch{1}{3!(z+2)^n}[/mm]
?????????????????????????????????
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> Ja, Übungsblatt Vorlesung Schnaubelt ...
Na so was
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:54 Di 07.07.2009 | | Autor: | Stern123 |
Nicht so "deutlich" aufgschrieben.
Der Koeffizient [mm] a_{1} [/mm] der Laurentreihe bei [mm] z_{0} [/mm] heißt Residuum, wenn [mm] z_{0} [/mm] isolierte Singularität ist.
Meint vermutlich das gleiche, aber ich wusste nicht ganz, wie ich das zu interpretieren hatte.
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