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| Aufgabe | Man berechne die Laplace-Transformatie der folgenden Funktion:
a) [mm] f(t)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } 0 \le t < \bruch{\pi}{2} \\ sin(t), & \mbox{für } t \ge \bruch{\pi}{2} \end{cases} [/mm] |
wir haben diese woche angefangen mit laplace transformationen, ich hab mir im papula durchgelesen was es für rechenregeln gibt, aber die anwendung fällt mir schwer.
Zu beginn hatte ich überlegt auf diese funktion den verschiebungssatz anzuwenden, bis ich zur erkenntnis gelangt bin, dass dies falsch wäre, da die grenzenverschiebung des integrals ja nicht dasselbe ist wie wenn ich die funktion verschieben würde.
kann ich folgendermaßen rechnen?
L[0]=0
L[sin(t)]= [mm] \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\infty}{sin(t)*e^{-st} dt} [/mm]
wenn ich letzteres nicht rechnen darf, wie müsste ich sonst drangehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:15 Do 30.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> Man berechne die Laplace-Transformatie der folgenden
> Funktion:
>
> a) [mm]f(t)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } 0 \le t < \bruch{\pi}{2} \\ sin(t), & \mbox{für } t \ge \bruch{\pi}{2} \end{cases}[/mm]
>
> wir haben diese woche angefangen mit laplace
> transformationen, ich hab mir im papula durchgelesen was es
> für rechenregeln gibt, aber die anwendung fällt mir
> schwer.
>
> Zu beginn hatte ich überlegt auf diese funktion den
> verschiebungssatz anzuwenden, bis ich zur erkenntnis
> gelangt bin, dass dies falsch wäre, da die
> grenzenverschiebung des integrals ja nicht dasselbe ist wie
> wenn ich die funktion verschieben würde.
>
> kann ich folgendermaßen rechnen?
>
> L[0]=0
Was soll das ?
>
> L[sin(t)]=
> [mm]\integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\infty}{sin(t)*e^{-st} dt}[/mm]
So ist es richtig, ich würde allerdings nicht L[sin(t)] schreiben, sondern L[f(t)]
FRED
>
> wenn ich letzteres nicht rechnen darf, wie müsste ich sonst
> drangehen?
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zu: L[0]=0
das ergebnis ist die laplace transformierte für den ersten fall,also dass 0 [mm] \le [/mm] t < [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm]
zum zweiten fall:
ich merke grad das integral darauszuziehen ist ziemlich schwer, ich glaub da muss man mit der substitution dran, aber laplace transformationen werden doch verwendet um schwierige diff.gleichungen leichter lösen zu können, wenn ich aber so ein integral lösen muss bei laplace wirkt das für mich aber nicht einfacher. gibts vielleicht einen alternativen lösungsweg zu dieser aufgabe (einen alternativen weg mit laplace anwendung) ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:45 Do 30.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ich merke grad das integral darauszuziehen ist ziemlich
> schwer, ich glaub da muss man mit der substitution dran,
> aber laplace transformationen werden doch verwendet um
> schwierige diff.gleichungen leichter lösen zu können, wenn
> ich aber so ein integral lösen muss bei laplace wirkt das
> für mich aber nicht einfacher. gibts vielleicht einen
> alternativen lösungsweg zu dieser aufgabe (einen
> alternativen weg mit laplace anwendung) ?
Tipp:
[mm] L[f(t)] = \integral_{\pi/2}^\infty \sin t e^{-st} dt = \integral_{0}^\infty \sin t e^{-st} dt - \integral_0^{\pi/2} \sin t e^{-st} dt =L[\sin t] - \integral_0^{\pi/2} \sin t e^{-st} dt[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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also gut meine lösung sieht folgendermaßen aus:
>
> [mm]L[f(t)] = \integral_{\pi/2}^\infty \sin t e^{-st} dt = \integral_{0}^\infty \sin t e^{-st} dt - \integral_0^{\pi/2} \sin t e^{-st} dt =L[\sin t] - \integral_0^{\pi/2} \sin t e^{-st} dt[/mm]
>
[mm] \integral_0^{\pi/2} \sin [/mm] (t)* [mm] e^{-st} dt=[-\cos(t) [/mm] * [mm] e^{-st}]-\integral_0^{\pi/2} s*e^{-st}*\cos(t) [/mm] dt
[mm] \integral_0^{\pi/2} \sin [/mm] (t)* [mm] e^{-st} [/mm] dt= 1 - s * [mm] \integral_0^{\pi/2} \cos [/mm] (t)* [mm] e^{-st} [/mm] dt
[mm] \integral_0^{\pi/2} \sin [/mm] (t)* [mm] e^{-st} [/mm] dt= 1-s * [mm] ([e^{-st}*sin(t)] [/mm] - [mm] \integral_0^{\bruch{\pi}{2}} [/mm] -s * [mm] e^{-st} *\sin(t) [/mm] dt
[mm] \integral_0^{\pi/2} \sin [/mm] (t)* [mm] e^{-st} [/mm] dt= 1 - s * [mm] e^{-s*\bruch{\pi}{2}} [/mm] - [mm] s^2 [/mm] * [mm] \integral_0^{\pi/2} \sin [/mm] (t)* [mm] e^{-st} [/mm] dt
[mm] \integral_0^{\pi/2} \sin [/mm] (t)* [mm] e^{-st} dt=\bruch{1-se^{-s*\bruch{\pi}{2}}}{1+s^2}
[/mm]
[mm] L[sin(t)]=\bruch{1}{s^2 + 1} [/mm] - [mm] \bruch{1-se^{-s*\bruch{\pi}{2}}}{1+s^2} [/mm] = - [mm] \bruch{s*e^{-s * \bruch{\pi}{2}}}{s^2+1} [/mm] (für t [mm] \ge \bruch{\pi}{2})
[/mm]
Bemerkung:
Beim ersten mal partiell integrieren:
[mm] u=e^{-st}
[/mm]
[mm] u'=-s*e^{-st}
[/mm]
v=-cos(t)
v´=sin(t)
Beim zweiten mal partiell integrieren:
[mm] u=e^{-st}
[/mm]
u´=-s [mm] *e^{-st} [/mm]
v=sin(t)
v´=cos(t)
ist das so richtig gelöst?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:43 Fr 31.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> also gut meine lösung sieht folgendermaßen aus:
>
>
> >
> > [mm]L[f(t)] = \integral_{\pi/2}^\infty \sin t e^{-st} dt = \integral_{0}^\infty \sin t e^{-st} dt - \integral_0^{\pi/2} \sin t e^{-st} dt =L[\sin t] - \integral_0^{\pi/2} \sin t e^{-st} dt[/mm]
>
> >
>
> [mm]\integral_0^{\pi/2} \sin[/mm] (t)* [mm]e^{-st} dt=[-\cos(t)[/mm] *
> [mm]e^{-st}]-\integral_0^{\pi/2} s*e^{-st}*\cos(t)[/mm] dt
>
> [mm]\integral_0^{\pi/2} \sin[/mm] (t)* [mm]e^{-st}[/mm] dt= 1 - s *
> [mm]\integral_0^{\pi/2} \cos[/mm] (t)* [mm]e^{-st}[/mm] dt
>
> [mm]\integral_0^{\pi/2} \sin[/mm] (t)* [mm]e^{-st}[/mm] dt= 1-s *
> [mm]([e^{-st}*sin(t)][/mm] - [mm]\integral_0^{\bruch{\pi}{2}}[/mm] -s *
> [mm]e^{-st} *\sin(t)[/mm] dt
>
> [mm]\integral_0^{\pi/2} \sin[/mm] (t)* [mm]e^{-st}[/mm] dt= 1 - s *
> [mm]e^{-s*\bruch{\pi}{2}}[/mm] - [mm]s^2[/mm] * [mm]\integral_0^{\pi/2} \sin[/mm] (t)*
> [mm]e^{-st}[/mm] dt
>
> [mm]\integral_0^{\pi/2} \sin[/mm] (t)* [mm]e^{-st} dt=\bruch{1-se^{-s*\bruch{\pi}{2}}}{1+s^2}[/mm]
>
> [mm]L[sin(t)]=\bruch{1}{s^2 + 1}[/mm] -
> [mm]\bruch{1-se^{-s*\bruch{\pi}{2}}}{1+s^2}[/mm] = - [mm]\bruch{s*e^{-s * \bruch{\pi}{2}}}{s^2+1}[/mm]
> (für t [mm]\ge \bruch{\pi}{2})[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:02 Sa 08.11.2008 | | Autor: | BlubbBlubb |
danke fürs durchchecken
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